Traite elementaire de calcul differentiel et de calcul integral par S.F. Lacroix

TRAITE
ELEMENTAIRE DE

CALCUL
DIFFERENTIEL ET

DE CALCUL.

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

DE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL,

Par S.-F. LACROIX.

SIXIÈME ÉDITION,

Par MM. HERMITE ot J.-A. SERRET.

TOME PIIEMIER.

PARIS,

MALLET- BACHELIER, IMPRIMEUR- LIBRAIRE
: l'écou iw-iniALK j'oirtEtiiMocE , du bitikàg i
Quai de» Augustira, 55.

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL.

• OigilLzedt)/ Google

L'Éditeur dû cot OuTra(m so réserve le droit do le traduire nu de le faire
traduira on toutes langues Il poursuivra , on vertu des Lois, Décrets et Traites
internationaux toute contrefaçon , soit du tcito, soit dos Gravures, ou toute
traduction faite au méprit de soi droits.

.Le dépôt légal do cet Ouvrage (tome I") a âté fait b Paria dans le moia
do Mai 1861, et toutes les formalités prescrites par les Traites sont remplie»
dans les divers États avec lesquels la France a conclu des conventions littéraire».

Tout exemplaire du prosont Ouvrage qui no porterait pas, comme ei-dcuous,
la griffe du Libraire-Édllaur, sera réputé contrefait. Les mesures nécessaires
seront prise) pour atteindre, eonforméiioiU a la loi, les fabricants et les débi-
tants de ces exemplaires.

- IrupriTii.Tic .ii' 11ii.lt.:-1!.h.[i1:lhs, rue tk' Stiiic-SaitiMicrmain, 1".

près l'Institut. '

Digitized b/ Google

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL,

Par S.-F. LACROIX.

SIXIÈME ÉDITION,

REVUS ET AUGMENTÉE DE HOTES

Par MM. HERMITE et J.-À. SERRET,

m premier. |.7; "Jt\,

PARIS,

■ MALLET-BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
de l'école impériale polvteciinioue , du bubead des longitudes,
Quai dca Auguslins, 55.

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

Cette nouvelle édition du Traité élémentaire de Calcul
différentiel et de Calcul intégral de Lacroix est exactement ,
conforme à la précédente publiée en 1837 sous les yeux
de l'auteur; elle en diffère seulement par les Notes qui
ont été ajoutées et que MM. Hermite et J.-A. Scrret ont
bien voulu rédiger. Ces Notes se rapportent à diverses
questions importantes d'analyse; leur étendue est telle,
qu'il a paru indispensable de diviser l'ouvrage de ma-
nière à en composer deux volumes. Le, premier volume
comprend les Éléments du Calcul différentiel et du Calcul
intégral, et l'on a réuni dans le second volume l'Appen-
dice relatif Ma théorie des différenceset des séries, lesNotes
de Lacroix qui faisaient partie de la précédente édition,
et enfin les Notes nouvelles de MM. Hermite et Serret.

TABLE DES MATIÈRES.

PREMIÈRE PARTIE.

CALCUL DIFFERENTIEL.

Ce qu'on entend par lomot fonction, i
De ta limite dont est susceptible le rapport dos accroissements d'une fonc-
' tion à ceux de lit variable dont elle dépend,. a
Définitions relatives au Calcul différentiel, 4
Des différent iel les des fonctions égales, et des quantités qui sont les limites
d'une mémo grandeur variable, - fi
Détermination de la limite du produit et de celle du quotient de deux
quantités qui varient ensemble, ; ' 8
Différentiation des fonctions de fonction, 8
Régies r^urdifférentier les fonctions algébriques d'une seule variable, 1 1

Des différentiations successives, 18
Développement d'une fonction quelconque d'un binùme, (
Tojlor,

Théorème de Stirling, pour développer les fonctions,
Dr la iliffërentintioa'des fonctions transcendantes,
Des fonctions exponentielles et de leur développement,
Des fonctions logarithmiques et de leur développement,

Div. 1i.-iu-:ii.m.- exp- 'iitic'.li^ romimquiii'?.

Des fonctions circulaires,
Développement des fonctions circulaires,

vin TABLE DES MATIÈRES.

De la différcatialion des fendions de deux ou d'un plus grand nombre

tuées dans un ordre varié,

■s pour !ii <lilfrH-i']itl.ili"Li de- fondions de deux variable-,

UisLinctiop ontro les différt

Rj't'luîri'lii: 'ti-s i iifiliriiTils dillcreuliels de- divers ordres, \<)

Remarque» sur les diverses acceptions dans lesquelles on peut indi -

quer la diiïéron lis lion des fondions, et sur les relations qui

Règle générale pour dj
Du (Ji'.velojipi'menl

l>e lu diffère nlutUun dci tquauorts. quelconques à deui v

De celle des puissances,

Application un développement dus fond ions.

l's>e.e du ('.aïeul tlill'i-ri'nlii::! pour li

algébrique

Application du Calcul différentiel à la théorie des courbes,

Réflexions sur Ij nu-l.iptivsum.' du Calcul tlilFéimiticI,

A quelles lignes correspondant les différentielles, ■

Noie sur la manière dont Lcibmlz envisageait le calcul différentiel,

Noie sur les différente ordre» d'infiniment petite,

Comment on rec onnaît de quel côté un e courbe U

Limite du rapport de l'an- d'une cour lu; ù lit corde, qui ln suus-lend, fi
Eipreaaion de la différentiel le de l'un.: d'une reurlir- nm i. inique, 74

Expression de la différentielle de- l'aire d'une courbe quelconque, 7_5

Kxprcssions de la saus-langc-iilt», de la misante, de la normale et de la

sous-normale,

ftquations de la tgnggnM at dé lu normale, ' 77

Dm Baymplotea dea ; g nrbgg, • 81

Des courbes osruUitrices, ; 33

Ou cercle o-culaU-m- <■[ de su Ji [ r miiiatiOP. 8j

II. s i^i iL.iliiiiis ri de- divnis c.i.iii lacis »'u minorai, «2

l'iupiiOlus du ceirlo osculateur, 88

liéiiuiuou de lu nuuiiiur il du ra yon de courbure. B9

DlgrtizM by Google

TAULE DES M ATI È [LES

IX

Propriétés de la développée,

9^

Application dé la théorie du rayon do courbure,

Recherche des /xtinls singuliers 'li s tourbes, cl exan

\cn des valeurs

particulières que les coefficients différentiels promet

96.

Du mn.rinmm nt du minimum des ordonnées el de-

> abscisses des

courbes,

De Yi/i'i'rJ-mn et du rirbrousscmcnl,

9»

Du ri-bnnisxeiiicitt île lu seconde espèce, loi

Des jmnts imi/ri/jlcs, 101

[ll'i /fiii/ilv icj/V'j ull ,~iiiljt!!ilii'->.

Du ce que deviennent les coefficients différentiels, dans
Coi nmciil 1,1 série dr Tiiilor li'mlu' en iléfoul.

les points singu-
io.[-
■ □S

Règle générale pour découvrir les points singuliers,

Recherche des vraies valeurs des expressions qui devient

Régie générale pour les fonctions données explicitement par uno seule

variable,

Règle générale pour colles qui dépendent d'une équatïoi

oii les variables

Boni mitéea, 117

Détermination analytique des maximumBl des minimum

, ' 118

E.temiile de P Analyse d'une courbe.

113

Des courbes trait.u ri-.'unti::.

l3i

Du la loearitlimiQue, i3»

De la cycloïdo,

m

Des spirales,

139

Des coordonnées polaires, 1 ta

, Expressions des différentielles on coordonnées polaires

génies, etc., 1 ji

Transformation des coordonnées rectangles en polaire

i, et réciproque-

ment, ,ji

Transformation, on coordonnées polaires, do l 'express

ion du rayon do

courbure,

Dit r/itmgrmeiit rfr In variable itiilrpriulatite, on cumin.

,'las, ,5,

Formules [mur transformer uno expression différentielle dans laquelle on

DlgrtizBdO/ Google

S TABLE DES HATIVES

;i suiiiuïst'- i.iiist-inlc l'une (les ilillcreiitiellc?, en iino

nuire où l

doux -oient variables, i >i

Passade de celle ti-irislbrmaliou ,1 une relation donné*. 1 .

■ 53

Interprétation Géométrique de ces cbariiemonls,

,3.)

Ile i; ililïéri'islhti'jii îles équations simultanées,

i5.î

Do l'climinalion enlre deux éiTualiuns diiirn-iiiirLe-.

i5G

Pc ùi d<ffiremu,mn de, é-j-umoai contenant plu, tPatu

■ vuriabtc ,

,„!,■-

pendante,

■ 50

HUE, reulidlion île; equ.it 11: es l:ms v.in.iUe-.

i5G

I>ilîé;eutu( êi;i(.:l.<m? j |>!il- de trniK variables, a6t>

Élim.ojLun dr o fun. :inn- artiilrains, . t6)

. Ipplicmlun da Calcul differtnhrl à la théorie des uirfnrrt

eviirbes.

[G3

lie l.i ieii^r.i'iirn t:es 'iicfjiia,

itij-

Condition do leur r..iniiiniLie, e.iuaiiotis différentiel) os

do leurs

normales.

](SH

Do lii courbure des surfaces.

.71

lh:-, points ûitgtttiers des Mirlnm oiuriii-* , et 'les mttiiraum et minimum

. des fonctions de plusieurs variables.

ITU

Procédé analytique pour déterminer tes maximum a\ ees

'7.1

De rnjiplicalion du Calcul différentiel aux courbes il double eourbur

des surfaces ikh'eloppablcs,
Leurs Lansenlps, plans, osrulatcurs, dillerenlielle do leur arc,

iS3
iB3

Des surfaces dévcluiitiables, et des plans normaux des courbes,

Des ilivrises i-iiuiiiinv? ml ltr.ritms des courbes.

CA1CDL INTÉGRAL.

Ile rinlt'çntiiw i/n fonction' r,:ti.miie!ie< ifaae seule variable, 107

Délinilioi) [lu Ijilnil intégral, ij)7

sur l'on:ine du -i^iu 1 |. el Mil' les lilirs du Lril.uil/. rnnn 111 K-
i .,l. ul uUei'Ial. JjQS

DigiitioO Google

TAULE 1)1» MATlÈlUiS.

Constantes (|u 'on peut sortir du signe j.

Intégration des fonctions monômes,

II)C,

Intégration ilo lu différentielle loisirillimiijiic

m

Intégration des [onctions [motion nu ires, -joc

Décomposition dis; fïaciinnpi :i iniO^rer, on [ruilions partielles,

l'intégration de celles-oi.

Procédés abrégés pour opérer celte décomposition.

ï<ii>

Movên d'éviter les Imaginaires,

Exemple , ? 1 r y

De Pinlègralinn iie\ fiiiieli'm. iretiliimnelie\;

Des iQncUông contenant lu ra'dical +- il.r + Ca? ,

lig

Expressions do* sinus et des cosinus en exponentielles i

Rechurclio dos [acteurs de lu [onrliun ,c" =f ir.

'i'/li

Itr'rhorclie des [acteurs de lii fonction r 1 * — jjx* + r/.

Du fi/ilègriuioii des diffèreiitieUes binùmet. ,

a3u

Dans quels cas on les rend rationnelles,

Ce .jUM c.'esl qui. 1',.^ ■?,:;:,;>, ,,<„■ /„„!„:.

■iM

Procédé pour ramener les différentielles binômes a d'aï

lires {dus simples

jnii i ,i[i]iijrt .m v dpos.inis.

»3J

De t'Jntègmtt.m ,mr les séries, ■

Ma'

Expression du logarithme.

M3

Expression île l'un- de cercle pur s.i tarmenic,

■').!

Distinction des séries en ascendantes et descendantes,

■M4

Impression de l'arc de cercle par son sinus,

ï47

De fintègritliim lies Jimidmi.. Iti"iiri//miiiiite.\ i l ,:i i,nuri

Miellés,

■j.5«

Des fonctions logarithmiquu6, ajo

Des l'oocuiins l'Npiiiienlielles,

jj3

De Piatègnilion de! fonction.- timilnires.

afe

Conversion des puissances i tu nisinii> cl lu -uni- d'un ,irc, en cosinus et

sinusde ses multiples.

Intégration immédiate des différentielles dé la l'orme il :

:", aGli

Metlmle grnrriiti- /-m • ■iiirnie 1rs ni!riir> ti/i/iriir/iri^ île.

De In nature des intégrales, et des constantes qu'il [aul

v ajouter.

a-i

Ce qu'un entend |-,ar les limite* il une intégrale,

aja

Intégrales imlr/mie:., intégrales définies, ce que e'esl, -ijt

Séries pour uppi uelnT .| .n:,. int.'j ■ i|iieltompi('.

Commoiit une inlégnelo est une somme.

DlgltuBdD/ Google

XII TABLE DES MATlfcRES

Limite* dt- sa valeur, a;B

i iTitirnulion de ce tpn précède, par de» cflntidératiOM géométriques, 379

Application do la méthode ci-dessus, aBj

Développement lio s intégrale- y;ir ia série île Bornoulli, i8£
lit: l'intégration des fonctions différentielles du second ordre cl des ordres

supérieurs, 187

Application du Calcnl intégral à la qnadratnre des courbes et à
leur rectification, à l'évaluation dea volumes terminés par des
surfaces courbe» et à la quadrature da le ara aires.

De ht quadrature des courbes, 390

De celle des paraboles, aga

De celle des hyperboles cl de leurs espaces a sympto tiques, ?t)i

Du cercle, do l'ellipse et de l'hyperbole, ag§

l>e leurs secteurs. ; apC

De la logarithmique, agg

Do la courbe dont l'équation est y~—\ 3oa

Ue la cydoïde, 3oa

Dea api raies, 3oî '

De la rectification des courbes, 3oj

De celle des paraboles, 3oJ

Du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole, 3uti

Da la cydoïde, 3»7

Dos spirales, , 3qB

Z)r: in citbtilure des ntrjis termine* par des surfaces courbe*, de In i/tm-

denture de leurs aire*, cl de ririiej;r„ti-iii de. dilfreratieUe* par-
tielle^ îaS
Des surfaces de révolution. 3op,
Dos volumes terminés par des surfaces courbes en général, lu
Ile l'iTitc^rationili'siJillérentutlIespartk'llc.--, eu des iiiU'^ralcs doubles, 3ia
Wcsur les intégrales définies de ce genre, ii3
Application à la sphère, 3_l3
Dea intégrales doubles, considérées comme des sommes, 3n

lien aiivsihs surfont cinirlx's en général, jig
Applicalimi ii la BuhjjTBj 3ifl
■■ iii'.- .: i.iIc? tripler, iiai

OlgiLiad Oy Google

TABLE DES MATIÈRES

De Plntégralim ikt diffêrentietlei Malet coatewM plusiettrî

,:<,,„!,/,■.

indépendantes, j».

ftilférenlielles à deux variables.

Différentielles à plus do deux variablos.

.l-.fi

UotnmenL on peut diffi rentier sous lo signe /,

De l'intégration des équations différentielles à denx variables,

De la séparation des variables dans les équations différentielle

s du pre-

«feront, 1 3

Dos équations homogènes.

11,

De l'équation du premier degré et du premier ordre,

334

Des équations a deux et à trois [ormes.

«ï

De l'équation de Riceati,

13G

Recherche du facteur propre h rendre intégral'!'- une équation

dilfèren-

ticlle du premier ordre.

3St

Équation d'où dépend le facteur,

lia

Théorème des fondions homogènes,

3*5

Des équations du premier ordre dam lesquelles les différentielles passent

le premier degré.

347

Équations que la différends tion rend plus Tacites à intégrer,

J5i

Exemple d'une sulutian particulière,

3Sa

De r intégration des équations différentielles des ordres supérieurs en

général, et de celles du second en particulier.

353

Développement do l'intégrale d'une équation différentielle d'

in ordre

quelconque a deux variables, nombre des constantes arbitrai

contient,

.111

De la multiplicité des intégrales de ces équations,

3Sfi

[migration de quelques équations qui ne renfermenl jjoint les

Tiiriiiblos

primitives,

35<>

Intégration d équati&iis nui non rfii ferment qu'une,

363

Des équations du premier degré d'un ordre quelconque.,

364

Des équations simultanées du premier degré,

Î77

De l'élimination entre les équations simultanées quelconques du

3Hr

Des solutions particulières des équations différentielles du

MS

Leur liaison avec l'intégrale complète,

3a,j

Commehi on les déduit de 1 e'|u;ii:on diuerenliellu

3qo

OigiLzeOQy Google

Xlv TABLE DES MATIERES.

. i-.iii- résoudre par si},priuumiii,ni les équations différentielles
du premier et du sernad ordre . . 3g5

KtKi.-'lutii'ii de ijiiel.pn • i'!"iili vm-\ -t : umé/riipies dépendants de s é< pmtin n i

différent /elles, ; 3gg

Problème dm trajectoires, ; 4m '

Du l.i ronstrncliuii goometriejiie des Onualiona difliirciUiclIea, jo3

InteruriSlalion ;;MWiéti-i[pu- des -uUilii.u.- jiarlu ulii-res, fo5

De l'intégration des égnationa différentielles

mi plus grand nombre da variables.

ffirenlielles nu [lassent pas lu jjyeinifi' iliyiv, puisse avoir pour intd-,
yr.ili' une-seide ri|u.uiuii primitive. 408
As;!' .- nnidHiofi iin.iîiil JijjQror.ii.-l'.i-ii élevi-us. 4 1 ■/.

Des équations différentielles totales •pii ne wuisftmt pus aux euaditions
dUntégrabiUlé, ji3

Intégration des i-ijtt,ili'iii> différentielles partielle.) du pie mit r ordre, 41 ",
,Vntf sur [fa considérations par lesquelles M(iii«e liai! l'iii [.'^ration des
équations ddféuTitieiles partielles ;n.-iir la -é.néraiiyn des surinées, .jiij

Or l'intégration îles équations différentielles partielles des ordres supé-
rieurs au premier, - 4a».

Exemples d'intégrales en afiries, - J3i

De la dclerminniiori des furet inni arbitraires dans les iuté^niles des épia-
tions dilfc.rentielles parjjejjfg, j jïj

Ba la méthode des variations.

Recherche de In variation tg ggfl feggfal quelconque, 436

But (le celle ri'i licrelie.

i- dont Liiler représente les variMioiis, par des djjjfe -

jluveluppemeni de lii ■■■;in; I 1 '- iV>ii<-ii"ii- diiïrivuNellr- ,i des inié-

OigilrzeO by Google

TAULE DES MATIÈRES. x^
F/luaUiiiis •[:.• l'uinliliuii 1 1 1 1 a ilni^eni mnir lii-u |>nui (ju'uiit' Imirtiui dilh'-

rentielln soït intégrable par elle-même, {44

née,, u :

Ce que. c'est uni! li'n fiirmuli'S inte^rak-s iml, terminée*,

Itos t-ijLiiiliuns qui déterminent la relation entre 1> > v.iri.ihli s, \\%

Des variations relatives aux limites îles iui^nlcH un>['i>.-ees> \fy

Recherche de h li^ne la plus courte fïitn; ileu\ puinls, ,(S3
Recherche Je la li^'rie de !,i plus \ilc descente, un hntehhtnehrone,

[lis maximum et flea minimum relatifs, .j."M)

Exemple du prohjtrmo îles isopérimitres, 4(io

3 Planches (Calcul différentiel ),
2 Piakcjies (Calcul intégral).

Kl* DE LA TABLE DES MATIERES Di; PREHIER VOLDME.

Oiginzed Dy Google

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL.

PREMIÈRE PARTIE.

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Notions préliminaires et principes de la difiercntiation des
fonctions d'une seule variai)] e.

1. Dans cette partie de l'Analyse, on prend pour sujet le
passage d'une ou plusieurs quantités par différents étais de
grandeur, et les changements qui en résultent dans d'autres
quantités dont la valeur dépend de celle des premières (').

2. Pour exprimer qu'une quantité dépend d'une ou de plu-
sieurs autres, soit par des opérations quelconques, soit même
par des relations impossibles à assigner algébriquement, mais
dont l'existence est déterminée par des conditions certaines ,
on dit que la première est fonction des autres. L'usage de ce
mol en éclaircira la signification.

(*) L'ordre al la brièreté m'ont paru demander qu'on réduisit la plus pos-
sible Ira notions préliminaires , et qu'on séparât coa notions, purement analy-
tiques, des applications çéomé triques; mais le lecteur qui voudrait prendre
d'ahord une ïdéo do l'origine du Calcul diflércnliel et de se» uiap», pourra
consulter, à la fin du livre, la Nota A, formant une sorte d introduction à a-
Traité.

a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On emploie souvent une leure comme signe ou caractéris-
tique du mol fonction ; ainsi les symboles

expriment que u, v et a sont diverses fonctions de x.

3. La quantité considérée comme changeant de grandeur,
ou pouvant en changer, csl appelée variable; cl l'on donne le
nom de constante à celle qui conserve toujours la même va-
leur dans le cours du calcul. On voit d'après cela que c'esl la
naiure de la question proposée qui détermine quelles sont les
quantités qu'on doil regarder comme variables ou comme con-
stantes.

i. Pour éclaircir ceci, je vais donner quelques exemples.
Soit u = ax, a désignant une constante; u est une fonction
de x, de l'ordre le plus simple, puisque c'esl une quantité pro-
portionnelle à celle variable. Si l'on suppose que x devienne
x 4- h, ei qu'on représente par u' la nouvelle valeur de u, on
aura u' = ax + ah, d'où u' — u=ak; et en divisant les deux
membres par h, il viendra " ^ " =g, c'est-à-dire que le rap-
port de l'accroissement de la fonction à celui de la variable est
indépendant de leur valeur particulière.

Je passe à la fonction un peu plus compliquée tt = ar'; en
y mettant x + h au lieu de x, il vient u'=a(x'-r-2xfi-\~h'),
cl en retranchant la première équation de la seconde,
u' — u = iaxh + ah>; divisant les deux membres par h, on

aura '^—j^=2ax-\-ah. Ici le rapport des accroissements de

la fonction et de la variable est composé de deux parties; l'une
ne dépend point de la valeur particulière des accroissements,
et l'autre est affectée de k. Si l'on conçoit que celle dernière
quantité aille en diminuant, le résultai s'approchera sans cesse
de 2oc, et n'y atteindra qu'en supposant h = o; en sorte que

%ax est la limite du rapport — y- — i c'est-à-dire la valeur vers

laquelle ce rapport tend à mesure que la quantité h diminue,
rt dont il peut approcher autant qu'on le voudra. ■ .

u = f[x), »=F[x), « = ,(*)

DigitizM by Google

CALCUL DIFFERENTIEL

DE CALCUL

■AL.

3

Il est aisé de voir que la différence uf — u s'anéanlit tou-
jours en même temps que h, puisque c'est l'existence seule
de celle dernière quantité qui donne lieu à la première; ce-
pendant leur rapport ne s'anéantit pas : il est de l'espèce de
quantités indiquée dans le n° 70 des Eléments d'algèbre.

Lorsque u = ax*, on a, par la substitution de x -i- h au lieu
de *,

u'— «(*■+- ky=ax>-\- Zax'h + 3axh'+ ah.';

en retranchant la première équation de la seconde, on trouve
u'— u = 3 ax'li + 3 axl? + ah', et prenant le rapport des ac-
croissements, — ^ — — inx'+3axh + 0/1'. On voit encore ici

un terme indépendant de loute valeur particulière des accrois-
sements, et vers lequel leur rapport tend sans cesse, lorsque A
diminue, en sorte que ce rapport a aussi une limite qui est
Zax'.

Soil encore 0=-; il viendra *(' = — — r .

a:' x + k

puis u'—u = — ^—7 — - = — r, en réduisant au même

r x + h x x' + xh

dénominateur les deux termes du second membre; on trouve
ensuite que le rapport des accroissements " ^ — — _^^ »
valeur qui ne s'évanouit pas quand !i = o, mais atteint la
limite — — •

Cet exemple diffère des précédents, en ce que la limite
— — ne se montre point à part de l'expression générale; mais
pour isoler cette limite, il suffit d'ajouter et de retrancher en

même temps ; au second membre de l'équation ci-dessus,

qui devient alors

et de réduire les deux derniers termes au même dénomina-

4 TRAITÉ ÉLéMEKTAJBB

leur; car on obticni

>£—u_ a al>

valeur complète, dont le premier terme est la limite, et dont
le second s'évanouit quand h = o.

Ce premier terme, ou celle limite, n'est pas particulier aux
fonctions que je viens d'examiner : l'exposition des procédés
par lesquels on l'oblient pour toutes les fonctions employées
dans les éléments de Mathématiques, et ensuite la considé-
ration des courbes (58,59) montreront évidemment qu'il se
rencontre dans toute fonction en général. Ainsi, lorsque les
accroissements respectifs d'une fonction et de sa variable s'éva-
nouissent, leur rapport ne s'évanouit pas, mais il atteint une
limite dont il s'est approché par degrés; et il existe, entre cette
limite et la fonction dont elle dérive, une dépendance mutuelle
gui détermine l'une par l'autre.

5. Je ferai d'abord connaître les signes par lesquels on ex-
prime les nouvelles relations que les notions précédentes
établissent entre les grandeurs. Pour en montrer la conve-
nance, je reprends la fonction u = «*», déjà considérée dans le
n" 4.

En y mettant x + h, au lieu de x, et retranchant la quan-
tité ax- du résultat, on a obtenu, dans l'expression

u'— a = 3 ai? h -+- îtask' 4- al,',
le développement de la différence des deux étals de la fonc-
tion u, ordonné suivant les puissances de l'accroissement A
qu'on suppose à la variable .r ; et la limite Zax* du rapport des
accroissements u' — u el h ne dépend que du premier terme
Zax'k de celle différence (i). Ce premier terme, qui n'est
qu'une portion de la différence, s'appelle différentielle ; et on
!e désigne par du, en se servant de la lettre d, initiale du nom,
comme d'une caractéristique : on aura donc, dans l'exemple
proposé, Au = 3ax'h.

Pour passer de là à Zax\ qui est la limite cherchée, il faudra
diviser par h, el l'on obtiendra — 3nx'; mais quand il s'a-

Oigiiizod bjr Google

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. S

git d'une variable simple, comme la quantité x, qui se change
en x'=.x + h, on a x' — x = A; la différence et la différen-
tielle ne sont alors qu'une même chose : on remplace en con-
séquence la quantité A par le signe d x, afin de mettre de
l'uniformité dans les calculs, et il vient

ûu = 3rtj:'d x, — = 3ax\

La première expression sera la différentielle de u ou de ax*,
et la seconde, qui appartient à la limite du rapport des chan-
gements simultanés de ta fonction et de sa variable, prendra le
nom de coefficient différentiel, parce que la quantité qu'elle
représente n'est autre chose que le multiplicateur de la diffé-
rentielle dx dans l'expression de la différentielle du. II suit
de là que la limite du rapport des accroissements, ou le coeffi-
cient différentiel, s'obtiendra' en divisant la différentielle de
la fonction par celle de la variable; et réciproquement, on
obtiendra la différentielle, en multipliant la limite du rapport
des accroissements, ou le coefficient différentiel, par la diffé-
rentielle de la variable.

Cette remarque est importante, parce qu'il j a des fonctions
dont le coefficient différentiel se trouve plus facilement que
la différentielle. En effet, pour parvenir immédiatement à cette
dernière, il faut écrire x + dx au lieu de x, dans la fonction
proposée, développer le résultat suivant les puissances de dx,
en l'arrêtant au terme affecté de la première, et retrancher du
résultat l'expression primitive. On voit que celle méthode
suppose qu'on sache développer la fonction proposée, ce qui
peut demander des secours étrangers, dont la considération
des limites dispense le plus souvent.

D'après ces notions, on peut dire que le Calcul différentiel
est la recherche de la limite du rapport des accroissements
simultanés d'une fonction et de la variable dont elle dépend.

6. 11 faut bien se garder de confondre en général la diffé-
rentielle d u avec la différence u'— u. En effet, dans l'exemple
du n" 4, l'une est 3ax'h, et l'autre

3ax'h + Z«xh- + «A';

OigilizM Dy Google

G TRAITÉ ÉLÉ1IEHT&IBE

mais on voit que lorsque la quantité h est très-petite, la diffé-
rentielle 3«Wi forme la partie la plus considérable de la dif-
férence u' — u, cl que celle-ci s'approche de plus en plus de
la différentielle, à mesure que h diminue. En général, 3 ya
d'autant moins d'erreur à prendre ta différentielle pour la
différence, que l'on suppose plus petite la valeur de l'accrois-
sement de la variable.

La même conséquence se lire aussi de la considération des
limites; car si le rapport des accroissements simultanés u' — u
et h a pour limite une fonction p, et que pour une valeur
quelconque de h, on ait

—r— — P, ce qui revient à ~ =p + { P — p),

il faudra que la quantité P — p diminue en même temps que h,

et s'évanouisse quand h=o: l'équation — ^ — = p sera donc

d'autant plus exacte, que l'accroissement A sera plus petit, et,
dans celte hypothèse, on peut faire u'—u = ph (*).

De là résulte la forme des premiers termes du développe-
ment du second étal u'. En effet, la quantité P — p, s'évanouis-
sanl avec h, doit nécessairement avoir cet acecroissement au
nombre de ses facteurs; et ce qu'on peut (aire de plus géné-
ral est de supposer que P — /> = Q /i", l'exposant n étant posi-
tif, mais quelconque d'ailleurs, cl Q ne devenant pas infini
lorsque h = o : alors l'équation

-- j p- " =p + Q/r donne u' = u + pA -j-QA»*'.

7. Il est aisé de voir que deux fonctions égales ont des dii-
iïn'iui^llcs égales; car, lorsque deux fonctions sont égales
entre elles, quelle que soit la valeur de la variable dont elles

( " ) C'est sur ce principe que Lclbnili a fondé le Calcul différentiel , on re-
nard.iiil les différentiel] « comme des différante! infiniment petites; mais i] ne
faut pn> penlte de me <j li i_- l'équation du = p<i, fondée sur la définition de la
dilt'riiTilieLle (!>), est toujours vraie, quelle que soi! h , quantité arbitraire,
dontp val indépendant, et qui reste indéterminée, tant qu'il no s'tujit que du
rapport des différentielles.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. <]

dépendent, il faut que les changements respectifs qu'elles
reçoivent en conséquence de celui qu'on attribue à cette va-
riable soient toujours égaux. Si, par exemple, u el p désignent
des fonctions de x telles que u = v, quel que soit x, el que
quand x devient x + Ax, u se change en u' et v en v', on aura
encore o'— v 1 ; retranchant de cette équation la précédente,
il en résultera

puis divisant par Ax, on obtiendra

quels que soient x el Ax. Si donc p et g désignent les limites
respectives des rapports ci-dessus, les valeurs générales de ces
rapports pourront, d'après ce qui précède, être représentées
par p-\-a, q -+- ff, p et q ne dépendant pas de Ax, tandis que a
et p décroissent et s'évanouissent en même temps que Ax; et
l'on aura

p+« = q + $. d'où p — q=£ — a .

Il suit de là que p — q; car si l'on supposait p — q = D, il
en résulterait que la quantité p — a ne pourrait pas tomber
au-dessous de 1), tandis qu'elle s'évanouit : il faut donc que
D = o (*) : donc pAx = qàx et du=df, en observant que,
d'après le n° 5, pAx et qâx sonl les différentielles des fonc-
tions u et v.

L'inverse de cette proposition n'est pas généralement vraie,
et l'on aurait tort d'affirmer que deux différentielles égjles
appartiennent à des fonctions égales. En effet, si l'on avait
a+bx, en substituant ar+da: à on obtiendrait a+bx+bAx,
et en retranchant a 4- bx, on trouverait bAx, résultat dans
lequel il ne reste aucune trace de la constante a. La diffé-
rentielle bAx appartient donc également à a + bx ou à bx, et
elle convient en général aux différents cas que présente la
fonction a + bx, lorsqu'on donne à a toutes les valeurs pos-

(* ) Ceni prouve tp>e leriqat .U-ur <j nantir» mm la limite d vue même quantité
•vwiMe, rllc ml ïptn ailrc ,-IIr,.

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

sibles. On voit aisément par là que lorsqu'on différent e une .
fonction quelconque, toutes les constantes séparées des va-
riables par les signes -+■ et — disparaissent, tandis que les
autres restent dans la différentielle.

8. Avant de passera la recherche des différentielles par les
limites, il faut remarquer

i°. Que ta limite du produit de deux quantités variables en
même temps est le produit de leurs limites correspondantes;
a". Que la limite du quotient des mêmes quantités est aussi le
quotient de leurs limites.

En effet, soient P et Q les deux quantités proposées, p et q
leurs limites correspondantes ; les premières, considérées dans
leur état général, peuvent être représentées par p + o, q -+- p,
en désignant par a et p des quantités susceptibles de s'éva-
nouir en même temps, après avoir passé par tous les degrés de
petitesse (i) : on aura donc en général

PQ = [p+*) (ï + P) = M+fP + î« + »P-
Le second membre de cette équation se r* - 1 1 < i i i à pq, lors-
que, pour prendre les limites, on fait a = o, (3 = o. On voit
d'ailleurs qu'en donnant aux quantités a et p des valeurs con-
venables, on peut rendre aussi petite qu'on voudra la diffé-

PQ— pq=p? + q«-4-«ï.
Maintenant, si l'on fait PQ = II, et pq = r, r sera la limite
de R; mais puisque Q = p> et 9 = y " s 'ensuit que la limite
du quotient est aussi le quotient des limites.

9. Au moyen des remarques précédentes on obtient le coef-
ficient différentiel d'une fonction rapportée à une variable dont
elle ne dépend pas immédiatement. Soient, en effet, trois quan-
tités v, u, x, telles, que la première soit une fonction de la
seconde, cl celle-ci une fonction de la troisième, c'esi-à-dire
qu'on ait

»='("). «—*(*);

il semble d'abord qu'il faudrait, par l'élimination de u, obtenir
l'expression immédiate de v en x; mais on va voir qu'il n'en

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL DtfEGHAL. 9

est pas besoin. En effet, si ces quantités passent simultanément
à un nouvel état de grandeur, représenté par v", «', x", ou
prennent les accroissements respectifs

u'—a, x-—x,

on aura

y 1 — y v' — v a' — Il '
x'~x~ a'— u X *' — *'

et les limites des trois rapports

pr y" — y v' — y u' — it

étant représentées par

dv Au
dx' du 1 dx 1
on conclura de la première remarque du numéro précédent que

Pour bien montrer le sens de cette expression, je vais l'ap-
pliquer à un exemple, en Taisant

On trouve d'abord, par les n™ 4 et 5,

et la formule ci-dessus donne ensuite =6a$U'x, résultat
dx

où l'on peut remplacer «' par sa valeur a'x 1 , et qui devient
alors ètPbx 1 . Ainsi l'on a, dans ce calcul, transposé l'élimina-
ion de u après la différentiation.
En indiquant cette élimination avec les symboles généraux

l'on ne ftisnit pas attention à Ii diiïérenre qui etisie entre le d n diviseur de dv,
pendant du second , qui n'est qu'un» partie do l'nrcrDissemenl que reçoit m à

Digitizcd 0/ Google

IO TRAITÉ ÉLÉuevrAinG

employés au commencement de cel article, on aura

ce qui veut dire que v est une fonction d'une autre fonction
de x; et, d'après ce qui précède, le coefficient différentiel
d'une fonction de fonction s' obtiendra en multipliant l'un par
l'nutri: Icscn/'ffirirritx diffri* ntich de ces fonctions, rapportées
chacune à sa variable immédiate.

Lorsque deux quantités « et a; sont liées par une .dépendance
mutuelle, on peut dire également que « est fonction de x, ou
bien que x est fonction de u, selon que l'on veut regarder u
comme déterminé par x, ou x comme déterminé par «. Le
coefficient différentiel peut aussi se présenter sous chacun de
ces points de vue; et comme

il suit de la seconde remarque du numéro précédent que

du - d«'
Jx

puisque l'unité étant une quantité constante, est elle-même sa
limite.

Soit, par exemple, u = x\ d'où x = !/u = u > ; on aura

valeur qui revient à —,=—/=•
3«' 3 *"''

Plus généralement encore, lorsqu'on suppose v = Ç{u),
x = F (a), c'csl-à-dirc que deux des variables sont exprimées

par la troisième, on a p~^ = "r~~:' et par conséquent, à la

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAL- ■ ■

limite,

d*.

_ dj<
dx~~ dx'
du

10. Je vais appliquer maintenant ce qui précède à la re-
cherche des différentielles des fonctions qui se présentent
dans les Éléments d'Algèbre, c'est-à-dire des sommes, des
différences, des produits, des quotients, des puissances el des

Premièrement, lorsque plusieurs quantités dépendantes dax,
el dont on sait trouver la différentielle, sont jointes ensemble
par addition et soustraction comme dans u + c — w, si la sub-
stitution j- + dx, au lieu de x, fait changer

u en » + v en w en iv+v.

l'expression u ■+- y— w deviendra

u-\-v — w + a-\-$—/.
Son changement, formé des termes « + p — 7, el comparé à
l'accroissement dx de la variable x, donnera

« . P - 2
d^d* dx'

quantité dont la limite sera

p+q — r,

en désignant par p, q, r, les limites respectives des rapports
particuliers i> ^\ et si l'on multiplie par la quan-
tité p-r-q — r, le résultai pAx+qdx — rdx sera la diffé-
rentielle de la fonction proposée (5); mais pix, qàx, rdx,
sont les différentielles propres de chacune des fonctions u, v
el w, et on les représente par du, de, dw. on aura donc

d(« + (!—«•) =du + dv — dw,
c'csl-à-dire que la différentielle d'une. fonction de x, compo-
sée de plusieurs termes, s'obtiendra en prenant la différentielle
de chaque terme avec le signe dont ce terme est affecté.

I a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

11. Secondement, si dans Te produit des deux fondions u
et v, u se change en u + a, v en v + p, ce produit devient

uv + up + vx-hB$i
et son accroissement

«f + M + .f.
comparé à àx, donne l'expression

Ax^ Ax' r Ax ? '
En désignant comme ci-dessus, par p et q, les limites respec-
tives des rapports puis faisant attention que l'ac-
croissement p s'évanouit en même temps que Ax, dont les
quantités u et v sont d'ailleurs indépendantes, on reconnaît que

la limite du terme ^p est p.o, par conséquent zéro (8), et
que celle des deux autres est

uq -+- vp.

On conclut de là (5) que la différentielle de uv est
uqAx-hvpAx;

mais qAx et pAx sont représentés par Av et d» : donc
A.uv = uAv + vAu (*],

La formule à.uv = uAv-r-vAu nous apprend que pour
avoir la différentielle du produit de deux fonctions, il faut
multiplier chacune par la différentielle de l'autre, et ajouter
ensemble les deux résultais.

Quand l'un des facteurs est constant, u par exemple, on
a du = o, et par conséquent A.uv = uAv,

Pour obtenir immédiatement cette dernière formule, il ne
faut que changer v en v -+- p, d'où il résulte l'ace roissem en i up,

et ensuitele rapport "j^> dont la limite uq — «g^i cl par

conséquent A.uv= uAv.

(*) Lorsque l'on Irouie un point après la car>cu>ris(îc|ue d, cola veut dire
iliosv que dfw), ci â.f la mime dune que il («").

Digitizcd Dy Google

0B CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL

n divise les deux membres de l'équation

par la fonction primitive

ce qui conduira facilement à l'expression de la différentielle
d'un produit composé d'autant de facteurs qu'on voudra. Pour
y parvenir, on supposera que » = ts ; il viendra
dv A. ta At . d*

r conséquent

on trouvera de la méine manière que
d.uïjretc. Au At As

Si*I'o» fait évanouir les dénominateurs dans l'équation

on trouvera A.uts — tsAu -+- tuAt + ut A s, et l'on verra aisé-
ment que, quel que soit le nombre des facteurs, la différen-
tielle de leur produit sera égale à la somme des produits de (a
iliffêrentielle de chacun, multipliée par tous let autres.

12. On obtient la différentielle de - en faisant - = f; car il
vient alors u = vt, cl d'après ce qui précède, dw = vAt-htAv:
prenant la valeur de d /, et substituant au lieu de / la fraction -,
on aura At = ~ — ou, en réduisant au même dénomi-
,,_,d«-«d*

i il résulte que pour trouver In différentielle d'une frac-

■ 4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

lion, il faut multiplier le dénominateur par la différentielle
du numérateur, 'retrancher de ce produit celui du numéra-
teur par la différentielle du dénominateur, et diviser le tout
par le carré du dénominateur.

Quand !e numérateur de la fraction proposée est constant,
w, ne dépendant point de x, n'a point de différentielle, c'est-
à-dire que du — o, et il vient seulement

13. La fonction «■ désignant, lorsque n est un nombre en-
tier positif, le produit de n facteurs égaux à u, on déduira du
n°il,

où le dernier membre renfermera autant de fois — qu'il y n

de facteurs dans u\ c'est-à-dire n : on aura donc

d.u- _ndu f ■

u* tt

d'où l'on conclura d.»"=/iii"-'du.
Si le nombre n est fractionnaire, en le représentant par -,

on fera u'=v, d'où u'=V; et comme les nombres r et s sont
supposés entiers, on aura, d'après ce qui précède (7),

ru'~'iu = sv—'dv;

d'où l'on tirera

En réduisant, on trouve

àv=-u' du,
ce qui revient encore à d.u" = /i«— 'du, n étant égal à -

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 19

Enfin le nombre n étant négatif, on a u— = ^. d'où l'on
lire, par la dernière formule du a° 1%

et comme, d'après ce qui précède, d.«*=n«— 'du, dans tous
les cas où n est positif, on a donc

De cette énuméralion, on conclut que pour différent ier une
puissance quelconque d'une fonction, il faut la multiplier par
son exposant, diminuer ensuite cet exposant d'une unité, et
multiplier le résultat par la différentielle de la fonction (').

il. Les règles énoncées dans les n M 10, il, 12, 13, suffisent
pour différcniier toutes les fonctions où la variable n'est enga-
gée que par addition, soustraction, multiplication, division,
élévation aux puissances entières ou fractionnaires, positives
ou négatives, fonctions qui, résultant des opérations algébri-
ques, se nomment par cette raison fondions algébriques. On
n'a besoin que de se rappeler que la différentielle de la simple
variable *. est dx (5).

D'abord, pour la fonction monôme, u = a3? t dans la-
quelle a désigne une constante, la règle des produits (11)
donne du=ad.x", et la règle des puissances (13) conduit à
du = nax"-'dx.

Passons maintenant aux fonctions complexes; soit

i°, u = a + bt/x — en prenant séparément la différen-
tielle de chaque terme de celte fonction, le premier disparaît

(') J'aurais pu déduire i m média témoin ilu développement du bino-
ns |i + di)", la différentielle de i", puisque ce développement c-um

W'dar-t-ele., si l'on en rclrsneho i'
sera «""'dr; mais je n'ai pas voulu supposer lu lit
du binôme, paies que le Calcul diacre mi el on fournit ti

Oigiiizfid by Google

,6 1T1A1TÉ ÉLÉMENTAIRE

parce qu'il est constant (7); le second, mis sous la forme bx\
donne, par l'application de la règle. du n" 13, ±bx'"bx, ou
le troisième, --, conduit à +^ {12);réunissanlces
*<Jx x
résultats partiels (10), on trouvera

{ b c\. , du b u

u _ n+ i £_ + l- en écrivant celle fonclion

comme il suit,

a=.a-\-bx ' — ex >+ex— ,
l'application de la règle du n° 13 donnera

zbdx , ÇcAx neAx
^ 5 "?

, , *bAx , 4fdj: aeda;

ce qui re».cm. d « =~ 3^ + 3-^ *~

î°. «= (a+i^"]'! cetie fonction ne peut être décomposée
en monômes, sans un développement préalable, mais qui
n'est pas nécessaire pour sa différentiation, parce qu'en fai-
sant a -+- bx"= z, elle prend la forme monôme u = z", et en
y appliquant la règle des puissances (13), on trouve
du = na-'dï = n{a ■+■ bx*)- ' d {a -+- bar)

= n [a ■+■ bx"}—' X mbxr-' dx = mnbx—'Ax [a ■+- bar}—*.

15. Comme on a souvent besoin do différentier des radicaux
du second degré, on a formé, pour ces fonctions, une règle à
part qui résulte du calcul suivant:

Soit

e=Vu» d'où u=« 7 ;

il vient

et, par conséquent, la différentielle d'un radical du second

Oigiiized û/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. jy

degré s'obtient en divisant celle de lu quantité qui se trouve
sous le signe, par te double du radical.

16. La règle donnée! pour diffé rentier les produits (i i), étant
appliquée à la fonction

U = x[a , + m'} da'—x',

conduit à

d« = dj:(« , + j;') da'~ x' + x yV— x'.A( «'+ x>)

Les deux derniers termes de cette expression renferment des
opérations qui ne sont qu'indiquées, ninis qui s'effectuent suc-
cessivement, en observant que

d (a'-t- = d (*>) = tscAx,

■ V*

et l'on trouve ensuite

d«= jV-t-*') + 2x' Jâ r -x> — ^ o "' + ^ ] àx ;

réduisant tous les termes au même dénominateur, on a enfin
Au _ {u> + (l 'x'-~ix')dx
ja'—x*

La règle concernant la diffé renliation des fractions, appli-
quée à la fonction a = ■ , —, ~ . > donne Immédiatement
du _ ( a -+ a >x>+x-)<Ha'- x') — {a'— a'x'-hx-j ^

d'où l'on lire

du =

~[<l> + II' X 1 X')'

Je terminerai ces exemples par la fonction

qui renferme plusieurs opérations algébriques à effectuer
successivement. Pour en faciliter la différentiation, on peut

6- éd. I. a

TRAITÉ ÉLéMBNTAIItB

faire

et l'on aura

la règle du n° 13 donnera

a« = )(«-r+«)* 'd(«-.r+»)

= il«--«-)" i X(-»xd*)=- 1 i5iii
3 Ce' — jt'

en substituant ces valeurs et celles de j-ei de s dans l'expres-
sion de du, il viendra

17. Le coefficient différentiel étant une nouvelle fonction
' de x, peut être soumis à la diffère miation, et donner, par la li-
mite du rapport de son accroissement à celui de la variable x,
son propre coefficient différentiel, qui sera aussi une fonction
de x. En faisant ainsi succéder des différen dations les unes
aux autres, on déduit de la fonction proposée une suite de li-
mites ou de coefficients différentiels, que l'on dislingue en
ordres, d'après le nombre de différentiaiions qu'il a fallu effec-
tuer pour les obtenir.

Si l'on Tait == p, jj£ = q, jj^ — r, etc., p représentera le
coefficient différentiel du premier ordre de la fonction propo-

Des diffères tiations successives.

DigilizKi Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 19

sée, q celui de la fonction p, ou le coefficient du second ordre
de la lonciion proposée, r celui de la fonction q, ou le coeffi-
cient du iroisième ordre de la fonction proposée, etc.

Il faut observer d'abord que les coefficients 9, r, etc., se
tirent des différentielles successives de du, prises en y regar-
dant l'accroissement dx comme une constante. En effet, les
équations

du dp d 0

-r- = P> -r- = Q, -r L = >'' etc.,
(\x r Ax a Ûx

donneront

Au = pAx, dp — qtlx, dg = rd*, etc.;
mais si l'on différentie pdx sans y faire varier dx, on aura
dpdx, expression qui devient qAx' (*), lorsqu'on y met pour
d^ sa valeur qdx, et qu'il suffit de diviser par dx' pour en tirer
celle de q. Soient donc

d(d«) = dd« = d'i», d (d'«) = d'«. etc.,
les symboles des différentielles successives de du, prises en y
regardant dx comme constant; et rappelons-nous toujours que
l'exposant qui affecte la caractéristique d, indique une opéra-
tion répétée, et non pas une puissance de la lettre d, qui n'est
jamais considérée comme une quantité, mais seulement comme
un signe d'opération: nous aurons alors, au moyen des valeurs
précédentes de dp, Aq, etc., les équations

du— pdx, d'u = ApAx= qAx',
d'u = dqAx' = rdx>, etc.,
desquelles nous tirerons

du d'M d'u

18. Si la fonction proposée était, par exemple, ax; on trou-
verait d.ax* = nax—'Ax (14); les facteurs na et dx étant
regardés comme constants dans la différentielle première
nax— d x, il suffit, pour obtenir la différentielle seconde , de

.■lenlet à (di)', (Ax)' et non pas e d.i», d.i*,.... [Voyr, li iiaus

pa E e 1 1.)

Oigiiized by Google

30 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

(lifTéronticr a*-' et de multiplier le résultat par naér; mais
d.sc"-' = (n — i) a^-'da-i en aura donc

d'.(tr-= n(n_ i) tw— 'dar 1 .
On trouvera d'une manière semblable,

A'.ax" = n( L n—i)(it—n)<u?->dx 1 ,
d:ax- = n (n-i)(n- :i ){n-3)mf->tix',
me,

et les cocffifietiis différentiels auront les valeurs suivantes :

d'. ax*

BIC.

On remarquera sans peine que dans le cas où l'exposant n
est un nombre entier positif, la fonction ax" n'a qu'un nombre
limité de différentielles dont la plus élevée est

*.«*•=»(»-.)(,.- 2)..... «d*-;
expression qui n'est plus susceptible de différenliation, puis-
qu'elle ne contient plus de variables ; on aura donc alors pour
le dernier coefficient différentiel,

d'.ax- , . . .
_ r _- = n ( n _ l ){n—*)...t.a,

c'est-à-dire une quantité constante.

19. Les dilTérentiations nianilestent dans les fonctions des
propriétés qui en facilitent beaucoup le développement. Rien
n'est plus aisé que de déduire de ce qui précède un dévelop-
pement de l'expression {x +}')"; mais au lieu de nous arrêter
à ce cas particulier, nous allons nous occuper d'une fonction
quelconque du même bim'mie x + y. Nous ferons d'abord re-
marquer qu' une. fonction quelconque du binôme x-Hy donne
le même coefficient ilifi'èrenliel, quelle que soit celle des deux

Digiuzefl 0/ Google

DE CALCUL DIPPÛnBlmEL ET DE CALCUL IKTBGHAL. 31
quantités x, y qu'on prenne pour variable. Si par exemple
celle fonction est {x+y)', on trouve, dans l'un ci l'autre
ras, n[x-\-y}— '. En général, si l'on fail x-hy = x', dans une
fonction quelconque t(x-\-y}, elle devient f(.r'), et l'on a
df {x , ) = p'dx', le coefficient différentiel p' étant une fonc-
tion de x' dans laquelle Ax 1 n'entre pas, et qui demeure par
conséquent la môme, soii qu'on prenne ùx 1 — di, en faisant
varier x, ou d x 1 = ây, en faisant varier y.

20. Cela posé, si l'on fail

f ( x + r ) = L -+- M/ 1 -+- >V + Pj* -+- etc.,

L, M, N, P, etc., étant des fonctions inconnues de x, sans y,
ei a, p, 7, etc., des exposants indéterminés, il est d'abord évi-
dent qu'aucun de ces exposants ne peut être négatif; car un
terme de la forme My* ou pj> par exemple, devenant infini

lorsque y = o, rendrait infini le second membre de l'équation
ci-dessus, tandis que le premier se réduirait à f [x); mais si
les exposants sont tous positifs, on aura alors L — ({x). For-
mant ensuite le coefficient différentiel du développement de
f {x-hy), en prenant d'abord x pour variable, on trouvera
dL dM « dN . , dP , , .

Jx + Jx-r+dx^ + Âx- r/+elc -

puis prenant / pour variable, au lieu de x, on obtiendra le ré-
sultat

«M^-' + pN^-'-r-vP/^'-i-eic.,

qui devra être identique avec le précédent, quel que soit y, ce
qui ne peut arriver sans que les exposants des puissances de y
et leurs coefficients ne soient les mêmes dans l'un et dans
l'autre. Or, si les exposants sont rangés par ordre de grandeur
dans le premier, ils le seront dans le second : il faudra donc
qu'on ait

a — | = o, B — i = a, 7 — I = p, etc.,

d'où

Digitized by Google

22 ni un; l!

et lu comparaison des coefficients donnera les équations

(lesquelles, en faisant

i»=«

t àx' ^ i.ad* 1 ' ' i.a.Sdx 3 ' etc "'

du r d'w j J d'« t J

« = « + -j— £ + 5— J h j -, -■ — 5 -1- etc.

d.r 1 6x' i.a di 4 1.2.3

Telle est la formule appelée Tla'-orime de Taylor, du nom
du géomètre anglais qui l'a découverte (').

21. Ce théorème donne tout de suite le développement
de [x-\-y\'; car, dans ce cas, •

u=x "' aî-"*""'- elc -

d'où l'on conclut

, .(.—)(.-,).

f.es règles de la différciubiinti ayant été établies ci-dessus,
sans supposer le développement de la puissance n du binôme,
on doit le regarder maintenant comme prouvé pour tous les cas
où l'exposant n est entier ou fractionnaire, positif ou négatif.

(-) La d<

a donnée dans let tlémoirei de l'Académie de Berlin, année 1771, pace ' B 7. *•
depnii, dans la Théorie dei fonction anaXjtiqmm niiti l'emploi des lignai dlfle-
nsnliols l'abri»;.- el la simplifie beaucoup.

Lo Uttarontg do Tajlor <ilanl devenu In base des application! du Calcul difle-
rcnLiel, 011 en a donne beaucoup de d é mon lira lia nt ; j'en ni rapporte plu-
sieurs dans mou Traité du Calcul différentiel et du Ùilcal intégral, \o-if> ; vorct
la deiiii^me édition, lome I, |>aco« 1G0 el 377; tome III, paaes Oo, 3yû cl
399 (Date).

DigiiizEd 0/ Google

DE CALCUL DIFFÊHBNT1EL ET DE CALCUL INTÉGRAL.

En mettant, par exemple, les expressions

sous la forme

•(-5)

-ht

on en obtient le développement, suivaDt le procédé indiqué
dans le n" (44 des Éléments d'Algèbre; mais alors la formule
ne se termine plus : on tombe dans une série infinie, comme
celle que l'on a fait remarquer dans len*a36 de l'ouvrage cité.

22. Si l'on faitar=o, et qu'on désigne par U, V, U", IT.etc,
les valeurs particulières que prennent
du d'« d'«
"* dV 52' E?' elc "

dans cette supposition, qui change f(ï + j-) en f(j-), it
viendra

f(r) = U-t-U'^ + U"^ + U- T ^- 5 -(-eU:.; ,

mais celte équation ayant lieu quel que soit y, on pourra
écrire x au lieu de y, ce qui ne changera rien aux quan-
tités U, II', U", U", etc., qui ne contiennent point celle lettre,
et l'on aura alors la formule

f(ar) ou a = U + \}'^ + li--f i + W~^ + eic.,

qui exprimera le développement de f{x) suivant les puis-
sances ascendantes de x.
En faisant u={a + x)", d'où il résulte d'abord

valeurs que x = o change en

Oigilized by Google

a4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

on oblienl encore

(a + x]" = ar.-h "a— g-r- W g-' a? 1 + etc. {*).

23. Le théorème de Taylor donne aussi le développera en i
du second élat d'une fonction quelconque u = t[x), lorsque*
devient x + h, puisqu'en changeant y en A, on a f [x + h], ou
d « A d'u k* d'à A*

11 suit de là que les divers coefficients différentiels ont en-
core la propriété remarquable de former, lorqu!on les divise
respectivement par les produits

i, i.»,3, etc.,

les multiplicateurs des puissances de l'accroissement h, dans

(*) Pcacock i mil remarquai- que lu detcloppement de C(r) rapporte ci-
deuui , ol faussement attribué ou Géomètre anglais Maclourin , «voit clé donné
dé» 1717 par non compatriote Mi[ lin.; , 'bris /.irr.'.L r.-M.'j 0: Jtnii Newtoniatta:,
Prop. III. La manière dont Slirlinj; y parvient ne diffère de ln luiïanlc que
parla Dotation.

Soit

A, B, C, D, K, etc., étant des coefficients constants et indéterminés; « l'on
|>asse oui coefficient! différentiels

^ = b -+- iCz-h 3 Dx* -h 4 E x" + etc. ,

^,= ..ïO + ».3B*^.3.4Ei 1 -t-elc..

■jp = i-3-3D-(-i.3.4Ea-r-etc.

et qu'on y fassq 1 = 0, ainsi que dans u , en désignant par L', D', V, li", etc.,
lesralennquc prennent alors celle Conçu* on cl ses coefficients ditTcrciitiels.aous
leur Terme non développée . en mira

A => U, K = i D", C = ~ V, [> = —L- u-, etc.,
H = U-H,'*+I '-f- + I " t ~ ■+ etc.

OigiiizKi by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL KT DB CALCUL 1VTÉGRAL l5

le développement complet de In différence
du h d'à k' d'« h'
"-" = j7; + ^,^ + ^7X3 + e,c 'C'
Ce développement, lorsqu'on y change h en d x, devient (17)

formule très-simple qui montre comment la différence de a,
correspondante à l'accroissement quelconque d^, se compose
avec les différentielles des divers ordres, relatives au même
accroissement.

Os la différentiation des fonctions transcendantes.

■ 24. Les fonctions qui ne sont pas comprises dans rémuné-
ration faite au n" H se nomment transcendantes. La fonction
exponentielle «=•<** est la plus simple de ce genre. Lorsqu'on
y substitue x-\-Ax au lieu de x, on trouve le rapport des
accroissements

d* <Xx
pour le développer suivant les puissances de i\x, on fait

puis

««-■iid.-.) ..

:ul Cire déterminé lorsqu'on »e prépose do calculer lo chnnfjo-
io subit lu fonction u ponr on chanrjemi'nl HitflDd à r.
prm- «.'pendant a ce 'tut- fou ccriio dr au lieu ile fi; maïs alors
ilillcrculii'ls se rhauucnl dans k's dill'.'rcnik-lloi , comme i<» la 1

Oigiiizod by Google

a6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

et si l'on fait Ax = o, dans le second membre de celle équa-
tion, il restera, pour la limite

lb f ¥ \

(ï-7 + T- elc -)-

Remettant pour b sa valeur a — 1, il en résultera (5)
ainsi, en prenant

on aurad.a r = ^o , ir*. Telle eslla forme de la différentielle de
la fonction proposée; el l'on trouvera bientôt une nouvelle
-expression du nombre constant k.
25. Il est visible que

d'. t? = k dard . a" = l< d x',
d'.fl* =l>'tfdx',

cl il suit de là que

*•=!*■, p.=**, ë=«-«'. «c

da: di" d#>

Lorsque a: = o, la fonction h el ses coefficients différentiels
deviennent

U = i, U'=fr, 0* = A*, U" = /i% etc.;
on obtiendra donc (22)

a- |.| kx i i ^ | etc

20. Le développement de la fonction a*, trouvé ci-dessus,
servira pour reconnaître de quelle quantité la série représentée
par k lire son origine.
! Si l'on suppose * = j' «'viendra

Oigiiized ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 27

et en désignant par e la valeur du second membre, dom tes
douze premiers termes convertis en décimales donnent
e = a, 7183818,

on aura l'équation

ê = e, d'où l'on tirera a = t*\
prenant alors le logarithme de chaque membre, on obtiendra

\a = k\e et h = ~

On aura donc par là

d.o*=/r<? ûx=Y^ifdx ('),

27. Le nombre e se présente souvent dans les recherches
analytiques; on le prend pour base d'un système logarithmique,
que j'ai appelé Népérien, du nom de Néper, inventeur des loga-
rithmes, el que je représente par la caractéristique I' (** ) : on

(*) Élégant et simple, lu procédé suivi ci-dessus pour parvenir 1 ce résullil,
cl employé pur LaRTange, 11 para défectueux a quelques géomètres, à cause que
la série Irouvéo d'abord pour* (M) n'ml eonvorgenlo que quand a diffère pou
de l'unité. Mils outre que ce premier développement no sert qu'à obtenir la
forme de la différentielle cherchée, on peut toujours partir d'une exponentielle
dont lu base suit trrwuisiun d.i l'unité; il ne faut, pour cela, que chamjor

a m une valeur suffisamment grande, un pourra rendre ^ë, duo', aussi pou
différent de l'unité qu'on le voudra, et l'an en conclura

d.o» = d.n'''= H*»' dr';
moisi*' = ^1 &*'= mix; donc d .1' = J"di, quel que soit a.

("•) Ces logarithme» étaient connus sous les noms fort impropres; de ioga~
rithmei lUMrWl ou hjptrhollquri. Ils ne sont pas tout h Ml identiques avec
■ccni que Mëpor a calcules en premier lieu, mais ils n'en différent que par l'ordre-

; et négatifs, le Iob A est néro. ( Vof dans le
■îeatrc , ou dans la ConnolKaicc tirs Temps Jiour
noire de HE. Iliol sur ce sujet.

a8 TRAITÉ ÉLKHËKT.URll

aalorsl'e=i, et il vient

û.a'=a-dx.Va,

, =1+ £l!y + £lM + £lM' + . tt . (25)

Si l'on faisait a = e, on aurait seulement

x x> X*

e*=i-h- + — + ,., 3 + ctc --

expression où II n'entre plus de logarithmes.

Si l'on prend a pour base d'un système de logarithmes, alors
\a = i,x = \u, ei, par conséquent,

-+îlî+î!î{ë) + rb(ë) , +- -

série qui fait connaître le nombre « par son logarithme, et qui
finit toujours par être convergente.

En effet, si l'on pose, pour abréger, M, deux termes
consécutifs, pris dans un rang quelconque, étant représentés par
M» M'*'
i. a .3...« + i.2.3.. n( B -H)'

seront dans le rapport de i à î maïs le nombre n augmen-
tant avec celui des termes de la série, finira toujours par l'em-
porter sur M, qui ne change point de valeur, el ces ternies de-
viendront de plus en plus décroissants.

28. On peut obtenir maintenant la différentielle de la fonc-
tion logarithmique, au moyen du second théorème du n° 9, car
ayant trouvé ^ = |^ a*, lorsqu'on regarde u comme fonction
de x, dans l'équation « = «', il s'ensuit que jj— = j— • -,' lors-
qu'on regarde x comme fonction de u, ce qui répond à lï'quu- .
lion x = ~ t \ mais alors a étant la base du système, l« = t, et
l'on a seulement

Ax le \e

OigitizBd B/ Google

DK CAI.CUI, MFFKIIEIÏTIEI. ET DE CALCUL MITÉCRAL. ai)

g = L« M d ,„ = „l2.

Pour passer du système dont la base sernli e à celui dont Ni
hase serail a [Algèbre, a5t>), en désignant res systèmes par l(!S
caractéristiques I' et 1, on aurait

et comme l'on compare tous les systèmes de logarithmes au
système népérien, on appelle module le nombre le, par lequel
il faut multiplier l' «, pour obtenir le logarithme correspondant
dans un autre système : on dit en conséquence que la diffé-
rentielle du logarithme, ou la différentielle logarithmique, est
égale au produit du module, par la différentielle du nombre,
divisée par le nombre même (*).

29. Si l'on voulait passer de là au développement de x en u,
ou du logarithme, suivant les puissances du nombre, on trou-
verait que les quantités

fl-r d' x
x, —, — — - 1 etc.,
d« du'

deviennent infinies par la supposition de u = o, el l'on en con-
clurai! que le logarithme ne saurait se développer dans la forme

x — A -+- B a + C «' + D u' + etc.
C'est aussi ce qu'il est facile de reconnaître à priori, en ob-
servant que la fonction x devient inlinie lorsque » = o
[Algèbre, 25i), ce qui ne résulte pas de la série ci-dessus, qui
se réduit alors à x = A.
Il n'en serait pas de même si l'on changeait u en car

(•) Boida «I quelques outres |[éom*trcs prennent pour module l'inverse j— i
il» posent lu = i Vu; alors, quand u = a.on a l = aï»l d'où M — Va, et

L'.-n i :-.'J L7

3o TRAITÉ Él.KMENTMHF,

on aurait

»='(■+•). jî=r^ï= , '('- | -«)-''

g[=_Ie (,+ «)-, etc.;
Taisant alors u = o et le = M, on obtiendrait

30. La série du second membre n"esi assez convergenic
(v«7gé&re, a3fi) pour être employée au calcul des logarithmes,
que lorsque u est une fraction; mais on a trouvé des moyens
de la transformer en d'autres qui s'appliquent, avec plus ou
moins d'avantage, aux différents cas. On a observé d'abord
qu'en changeant -t- u en — «, il venait

'!-■>-» (— ?-r-f -?--)■

et en retranchant celle équation de la précédente, on a trouvé
I (.+«) -1 (,-„) - 1 (i±Jj) = „M (2+ £ + etc.) i

(■) On aura remarqué uni douto que l'dqoalion * = *ï du n°26, jointe
a l'cipressiou du n° 34,

._ (--■) (,_,)■ [,-.;■ [■,-,)'

I * 3 4 '

conduit à

.a, .'u faiiant a

IjiBrangc a tnunlro qu"on pouvait rondre celle séria convergcnU! en observant
que li — ml i/.T, d'où

...,,[%^'_%iÏH-%i'-.u.],

s rapidement qua n
un aura do plia on ;

.- Rs-a

parce qoe ' décroît plus rapidement qua m n'n
qu'en prenant ni (res-Brand, un aura do plus en plus

DigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3l

faisant ensuite |— ^ = i-t-^, ce qui donne h = - B » et

observant que I ~J = ' =!(»-(- a) — In, il en

est résulté

d'où l'on a conclu

'(»+')="■+»»■ tii + 5 («Si) + 5 (îfc)'+H-

Celte série, qui fait connaître le logarithme de n ■+- a, lors-
qu'on a celui de n, donne, en y supposant n = i et a =i,

» a = ï »(ï + r5 + si- , - eK -)'

puisque 1 1 = o. Elle est déjà très-convergente et le devient en-
core plus pour un nombre plus grand. Si l'on prend M = i , on
trouve Y a = o,6cj3t4î '80.

Le module M s'obtient en calculant le logarithme d'un mime
nombre dans le système qu'on veut adopter, et dans le système
népérien, et en prenant le rapport des deux résultats (28). On
arrive assez prompieineni au module des logarithmes ordi-
naires, en calculant d'abord le logarithme népérien de S par
celui de 4. qu'on déduit de relui de a, puisque 14= a ta] puis
connaissant I' 5 et l'a, on u l'io = l'5 + r ■- On trouve ainsi

l'.o = 3,3 u *585o<)3i
et divisant par ce dernier logarithme l'unité , qui est le loga-
rithme ordinaire de 10, on a, pour le module cherché,

M = o,4343Q448a.
Tel est le nombre par lequel il faut multiplier les logarithmes,
népériens pour obtenir les logarithmes ordinaires (ou deltriggs].

Réciproquement, pour revenir :m\ logarithmes népériens, il
faut diviser les logarithmes ordinaires par ce nombre, ou les
multiplier par

33 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

31. Je vais donner quelques evemples île l'application des
règles de la dilïérenliation des fonctions logarithmiques; mais
pour plus de simplicité, je supposerai dorénavant que les loga-
rithmes sont népériens, à moins que je n'avertisse expressé-
ment du contraire.

Soit

—Us)'

en faisant -

= = z, on aura

, puisque =_(2

'0' + ^ — v 7 " —
ce qui donnera

«=,(£)=,r-u,

mois on a

; _ = — (j*-t-i-)d g

Digiiized D/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL UITÉGRAL. 33

et en observant que y+z'= 4, yz = aa?, on trouvera enfin
x</i— a?

Cet exemple est remarquable par les réductions qu'éprouve
la différentielle , et par sa simplicité, eu égard à la fonction
dont elle dérive; il sera facile maintenant d'effectuer le calcul
des exemples suivants, dont je ne rapporterai que les résultats.

V— i
\<Ji + x> — x)

A AX

Si l'on avait u = (la:)*, en faisant \x = z, on trouverait
u = z", du =«**-' d«;
et remettant au lieu de z et de dz leurs valeurs, il viendrait

n.(i*)-=»(i*)«^.

Soll enfin u = \.\x, c'est-à-dire le logarithme du logarithme
de x; posant, comme ci-dessus, [x—z, on aura d'abord

i j ds , , . dx
u = \z, d« = — , dz = d.[x = — ,

Z X

d'où l'on déduira ensuite d u =

32. La considération des logarithmes facilite beaucoup la
difTérentiation dos formules exponentielles, lorsqu'elles sont
compliquées,

i". Soii, par exemple, u = s, z et y étant deux fonctions
quelconques de x; en prenant le logarithme de chaque mem-
bre, on aura \u = y\s, et différenlianl ensuite, on obtiendra

—=dyïz+yi.is = iyls-i-y— (11,28),

et de là

du = « {dy\zA-y d.&=zr (dylz-hy~j-

34 TRAITÉ ÉLÉHEVrAlIUi

Soil u — <P\ on Torii b'=y, cl l'on aura
u = aT, Au = a?àyla (27);
mais d/=d.* I =t , dxlft: donc

3°. Soil n=i' 1 , ;, (eu étant des fonctions de .r; on fera
f*=j*j il viendra

et par conséquent

d«= J ',.(d.iil=+ ! -iili+^).

Au moyen de ces formules, on trouvera facilement la différen-
tielle d'une fonction exponentielle quelconque.

33. Les sinus, les cosinus, les tangentes et les autres lignes
trigonom étriqués, considérées par rapport ;i l'ai e de cercle donl
elles dépendent, sent aussi des fonctions transcendantes; on
les nomtitt- !issc7 <iViYin;iiit-u;i-nl foiiclitiiii rirriifairm.

Cherchons d'abord la différentielle desinx; pour cela pre-
nons les équations

ii,i(»+/.) = s """'°'''i: , "''"'°" ,

ei retranchons la seconde de la première, pour obtenir

. . ,, , , asinicosa
sin {a + b) — sin [a — 6) = ^— ,

au moyen de quoi nous trouverons

. , . . . asinida: COsfx-t-Tdar)
sirt(.r+d^) — sinx= - ^ !— -',

en faisant

Passant ensuite au rapport des accroissements de x et de

OigilizKi By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 35

situr, nous aurons

sinj x-Jrdx) — sinj: _ n sin-J d x cos ( x -t- ] d xY
dx ïûTï

_ sin t il x ms[x -t- \ il *)

~~ jiu n ;

en divisant par % le numérateur ei le dénominateur du second
membre. Pour passer à la limite, il faut chercher ce que de-
viennent les deux facteurs lorsque l'accroissement dx s'éva-
nouit (8), circonstance qui réduit d'abord le second facteur à

Quant au premier, , , sa limite est l'unité; carde

tanga= ^ËiEf , ondéduit sinn =^^; et puisque cosa=ll,
° cosn langa R r *i

lorsque a = o, le rapport entre le sinus et la tangente a donc
l'unité pour limite, quand l'arc s'évanouit; or, l'arc étant moin-
dre que la tangente, et plus grand que le sinus, le rapport

sera toujours compris entre en , et aura par conséquent

aussi i pour limite.
On aura donc, en vertu de ces remarques,

d.sin^c cosa; . . dx cosx

—--r el -i—

34. Cette différentielle obtenue, les autres s'en déduisent
sans peine ; car

i». cosa: = sin(iï — x), d.cosa- = d.sin(i' — x) : mais, par
ce qui précède,

•d.sin(iT— i) = -~d[n— a7)cos(ii— a?) =— ^d*cos(iï— x],
et cos [ii — x) = smx; donc

darsinjc
d.cos#= — -;

a°. sin. verser =B — cosa:: donc

•ixsinx

d.sin.vcrse^ = — d.cosr= — 5 — ;

Oigiiizod by Google

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

R cos.rd . sin x — R sin xi . cos x
d.tang* =

_ (CQSar'+sin^') dx

mais cos^'-f-sin-r^R' : donc

tangx

R'd.tangg

lang^ 1 lang^cosa;'
en mettant pour tanpj: sa valeur;
5°. séc:t = -5— »

sinx
R'd.sinr

Rd jsinjr '^ djtangjs^cj
cos x' ~ R'

Dans l'usage ordinaire on fait le rayon R = i, ce qui simpli-
fie les formules ci-dessus, cl donne

d.sinr = dx cosx, d.cos.r = — darsina:,

Ax dx
a.Ungj:= , d.rot.r = : — ■•

COSJ' Sina:'

35. Avec ces formules, on peul trouver la différentiel le de
toute expression renfermant des sinus, cosinus, tangentes, etc.;
ilfaudra pour cela différenlier en regardant ces quantités comme
des fondions particulières, cl mettre, au lieu de leurs différen-
tielles, les résultats ci-dessus : je n'en donnerai qu'un seul

DigiiizMBy Google

DL CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 37

exemple, savoir, u — cos #*'". On fera

cosx = s, sin*=j-;

on aura « = V ei

du = d . a7= s* Uylz -+■ ■î—^

=d*cos:r""('cos*l.cos:r— (32).

36. Après avoir iraité les sinus, cosinus, etc., comme des

fondions de l'arc, il convient de regarder l'arc successivement

comme une fonction de son sinus, de son cosinus, etc., et

d'en déterminer la différentielle sous ces divers points de vue.

Pour cela, soit x la fonction proposée et u la variable dont celle

fonction dépend : i». à cause de sina7 = Ket cos* = v*— «*,

,,. . . . diteosa; , dWR* — "b*

1 équation d.sin* = ^ donne iu= !-g , et,

par conséquent, d x — ( 9 ) : Iel,e esl la valeur de la

différentielle de l'arc exprimée par le sinus et par sa diffé-
rentielle.

2". Si l'on voulait exprimer la différentielle de l'arc par son

cosinus, il faudrait partir de l'équation

dxsinjc
d .cos x = — y

qui donne, en faisant cos.r = u,

dr^ H'— «" „ , Rdu

dw = - et d* = -

Pour passer de là au sinus verse, on ferait u = K—y,
puisque cos* = R — sin. verse on aurait, par consé-
quent, d« = — dy et dx = — =j=j

R'dx

ditcosx'.

- cos**

; mais comme séca;
on a C0S * J = g^rp' P ar conséquent d* = ^rp\ et, à cause

3S TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

qui! scca; 1 = R'-H langa" = R=+ u', il vient enfin

En faisant R = t, les trois expressions de d* obtenues ci-
dessus en dd se réduisent à

ix-

d»=-

Je terminerai cet article par l'exemple suivarit.
Soit x un arc ayant pour sinus la fonction ai-
fera

37. On peut, par le moyen des expressions différentielles
obtenues précédemment, former les développements des prin-
cipales fonctions circulaires.

i°. Pour sin.r, on a

d ! «

d'à

- cos a',~ = — sin x, ^= — cos x, ~ = sin x, etc. ;
da:' dx 3 dx 1

faisant ;c = o, il viendra, par le n° 22, U = o et

V'=i, LT=o, L"= — W'=o, etc.,

d'où l*on conclura

sin x =

. On trouvera pour c
=— sin x, -j— - — — c

Oigiiizcd by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL 3g
frisant x = a, il en résultera li = i et •

U'= o, I
ce qui donnera

Ces deux formules, dont la loi est très-évidente et très-
simple, offrent une des méthodes les plus exactes et les plus
expêditives pour calculer le sinus et le cosinus correspondant
à un arc donné, surtout lorsque cet arc n'est pas très-grand.
On en trouvera d'analogues pour la tangente et les autres
lignes tri gonom étriqués ; mais la loi de ces dernières formules
n'est pas aussi simple que celles des précédentes, et elles
sont beaucoup moins commodes dans l'application que les
relations qui donnent la tangente, la sécante, etc., parle moyen
du sinus et du cosinus : c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas;
mais je ferai remarquer que les premières, finissant toujours
par devenir convergentes (27), s'étendent aux arcs surpassant
même la circonférence.

38. On pourrait former de même le développement de l'arc,
soit par le sinus, soit par la tangente; mais, dans ce cas, l'ex-
pression des coefficients différentiels, se compliquant à mesure
que leur ordre s'élève, laisserait difficilement apercevoir la
loi qu'ils suivent, inconvénient que n'a pas le procédé ci-
dessous.

Le coefficient différentiel de l'arc considéré comme fonction
du sinus étant

'(30),

on peut le développer en série par la formule du binôme (21);
et, en ne faisant aucune réduction aux coefficients numé-
riques, on

î.4-6

Ce développement, ne contenant que des puissances paires
de h, montre que celui de x n'eu doit contenir que d'impaires;

4o TllMTÉ É

et il faut poser en conséquence

* = A«4-B« , + Ct('4-DM' + etc. l
sans terme indépendant de a, alin que l'arc x s'évanouisse
quand u = o ; cela fait, en différen liant, on obtient

^ = A + 3 B u= -i- 5 C u' -1- 3 D it' -h etc.,
et, comparant à la première série, on trouve

A = >, 3B = i, 5Ç=^|. lD = ii|, ..=.,
d'où

.p _ M + 1 î£ + 1 - 3 fil + '- 3 -^ î£ + eic

Comme on ne peut pas prendre «> i, on voit que la série
ci-dessus ne saurait donner pour x une valeur plus grande
que le quart de la circonférence ; cette expression de l'arc par
son sinus est donc moins générale que celles du sinus et du

Pour exprimer l'arc par la tangente, il faut développer
d'abord

ce qui donne

= u'-i-u' — W+ etc.;

d'où il résulte

~ =A-r-3BM'4-5Co'+7Du 8 -Hetc.,

Ce dernier développement donne une expression remar-
quable de l'arc oi,5, dont la tangente est, comme l'on sait,
égale à i ; en effet, si l'on suppose u = i , il vient

DigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL ISTÉCRAL. 4i

Cette série est trop peu convergente pour être employée;
mais on pe-ut calculer le même arc en plusieurs parties, dont
chacune, ayant une tangente plus petite que l'unité, sera ex-
primée par une série irès-con verge nie. Le géomètre anglais
Machin a trouvé que l'arc de of,5 est égal à quatre fois celui
qui a pour tangente T , moins l'arc dont la tangente est 777, ce
dont il est aisé de s'assurer en observant que si tang a = j, il
en résulte (Trig., 27)

2 tang a -5

tang 2

- tang a'

tang4»= T g2 " „ =— •
1— (tang ao]' 119

Le dernier nombre, un peu plus fort que l'unité, tangente

de oi,5, montre que 4" >ot,5. Faisant donc

4« = A, oi,5 = B,

on a, pour la différence 4a — o«,5 ou A — B,

tana f A — Bl - ^"6 A — tang B

tang (A 1 ' 1 _)_ A [allg b — 239'

et, posant A — B = ô, il vient o',5=4« — b.

Or, en prenant successivement » = g> M = ^j' on tr Ouve

les valeurs de a et de b, et ensuite

o«,5 =

4 [5 3.5' ~*" 5.5' 7.5'* l_elC "]j

- [âj-îrôi+ïrô- elc -] j

d'où l'on déduira promptement que la demi-circonférence
= 3,i4i592653.

Se la dlffèrentlation des fonctions de deux on d'un plus grand
nombre de variables,

39. Soit f [x, y) une fonction quelconque de x et de en
supposant d'abord que la variable x change seule et devienne
j+A, il faudra regarder y comme une constante, et traiter la
fonction proposée de même qu'une fonction de x seul : on
aura donc par le théorème du n° 23, en faisant, pour abréger,

Oigiiized bjr Google

4a THA1TÉ KI.KMENT.UlîB

t[x,r)=u r

Pour trouver ce que devient la fonction proposée, lorsque r
seul prend un accroissement h, on regarderait x comme une
constante, el f [x,y), ou u, comme une fonction de jseul; par
là on aurait

Dans le cas où les quantités x ei y varient en même temps
ei deviennent x+ h et y + k, comme on n'a assigné aucune
forme particulière à la fonction f[x,y), il n'est pas possible
d'y Taire à la fois les deux substitutions indiquées; mais il est
aisé de voir qu'on parviendra au même résultat en changeant
d'abord x en x-\-h, et mettant ensuite y ->r k yoar y, dans le
développement qu'on aura obtenu par la première opération.

On a déjà

t(x+h,y} =

«représentant !{x,y). Pour développer les coefficients des
différents termes de relie série, en ayant égard au changement
arrivé à y, j'observerai d'abord que dans chacun d'eux, x doit
être regardé comme une quantité constante, et qu'on doit les
traiter par conséquent comme des fonctions de In seule variable
r- D'après cela, f (x, y), ou u, deviendra

dr i dj"t.2 d_j J 1.3.3
Si, dans ce développement, on écrit jj-^, au lieu de u, on aura

pour résultat ce que devient la fonction lorsque y se change
cn_ï'-f- If ; c'est-à-dire,

Oigiiizod by Google

1>K CALCUL DIFFt

aux y qu'elle contient, la fonction e

sultat par dj. On voit ainsi qu'à partir de «, il y a deux diffé-
rentiations faites successivement, la première, en ayant égard
a la variabilité de x seule, et la seconde en ne considérant que
celle de y. On donne à celte expression une forme plus simple

en l'écrivant ainsi : " • On représente de même
Par d"7d^ ; 61 Gn 6 énéral - 11 faul entendre par ;r ^JJ,'
coefficient différentiel de l'ordre n, déduit de la fonction

en n'y supposant que y variable, tandis que cette fonction est
elle-même le coefficient différentiel de l'ordre m de la fonction
proposée, en n'y supposant que x variable.
Cela posé, la substitution de y-\- k au lieu de y changera

dx en c^ + d7d^7 + d7^7^ + d7^7^3 + clc -'

en dTdV' ï + d^fc + d£fc . .VT3 + eU: "

En substituant ces valeurs dans le développement île
l{x + h,y), et en ordonnant de manière que tous les termes
dans lesquels les exposants de fi et de k font une même somme,
soient placés dans une même colonne, il viendra

' r ( » + /,, r+t ) = „ + ^ + *• £ + *ï +

44 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Pour bien entendre ce que signifie cette formule, il suf-
fit de faire u=x*y, et d'en déduire le développement de
[x-\- h) m [y-{- k)", qu'il est aisé de formera priori.

40. On a obtenu le développement précédent en menant
d'abord x -+- A au lieu dex, et ensuite jr-+- k au lieu de y; mois
on aurait pu procéder dans un ordre inverse, et commencer
par la substitution relative à y, alors f [x, y) serait devenue

f(*,r+*)>

du k d'u k- d'u k 1

u+ dï-i+w—z+-dy—3 +elc -

La substitution de x -+- A, au lieu de x, dans cette série, au-
rait d'abord changé

du du d'u A d'u h' d'u A'
d r ™ d> d^djT + dtf'dj- i.a + d*»d> i.a.3" 1
d'u d'u d'« h d'u A' d'u A'
à~p en d^ + dxdj J i " t "d^d/' i,i + d^d/ i.s.3
d'u d'u d'« A d'u A 1 d'u A 1
.àj* df àxdy i + d*'d^i.3 + da:»d i r' i.a.3 4
etc.;

on aurait eu par conséquent

d-r" i.2 d-r* 1.2.3
du* d'u A k d' u A' A-
d/T + da:dji T + d^'dji.2 i 4
d'u A' d'u A A'
+ Ô7T^ - 1 -d^d?T772- He,c -

+ d/» ..2.3 +

il est évident que ce second développement doit cire iden-
tique avec le premier; car il est indifférent de changer d'abord

OigilizM Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 45

x «n x-\- h et ensuite y en y + h, ou de faire les mêmes sub-
stitutions dans un ordre inverse, puisque d'une manière ou de
l'autre on obtient également î{x-{- h, y-\-k).

Si l'on compare, dans ces deux développements, les termes
qui sont affectés des mêmes puissances de h et de k, on trou-

vera cette suite d'équations,

d'u

d'u

dydx

d'u

d'il

dydx'

— dx'dy

d J «

d»«

dy>à x

— d*dy

Il résulte de la première, que le coefficient différentiel du
second ordre d'une fonction de deux variables, pris en diffr-
rentiant par rapport à l'une d'elles et ensuite par rapport à
l'autre, reste le même, quel que soit l'ordre qu'on ait suivi dam
les diffêrentiations.

Soit, par exemple, u = x"y*- t sil' on différence d'abord en
regardant x comme seule variable, on a jjjï = mzr-'y; diffé-
rentianl ensuite ce résultat, en ne faisant varier que y, on
obtient g—^g = mnaf-'y-' : en opérant dansun ordre inverse,
on trouve

du d'u

dy = nxm ^'- dx^y = mnX "-^-''
et l'on voit que le dernier résultat est le même dans les deux
cas. Les autres équations rapportées ci-dessus ne sont que des
conséquences de la première.

41. En retranchant f (x, y], ou u, de f [x-\- h, y + k), ran-
geant sur une même ligne les termes compris dans chaque

Digiiized by Google

46 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

colonne, et les réduisant au même dénominateur, on trouve

f(« + ., r + J -)_, ( ,,,)=i(|| i +^i)j

Ici, au lieu d'un terme dans chaque ordre, comme lorsqu'il
s'agit des fonctions d'une seule variable (23) , il y en a deux
pour le premier ordre, trois pour le second, el ainsi de suite;
et si l'on change h en dx, h en dy, les termes du premier
ordre formeront l'expression

du Au

ix x dy r '

composée de deux parties, savoir, ^ dx, ou la différentielle
prise en regardant x comme seule variable , et jjj^ d^-, ou la

différentielle prise en regardant / comme seule variable. La
somme de eus différentielles est nommée différentielle totale,
et se représente simplement par df (x, y) ou du, eu sorte que

d y

Elle s'obtiendra au moyen des règles données [10 et suiv.)
pour les fonctions d'une seule variable. Dans le cas présent
on liïffvrr.nt'uTu lu Jonction proposée, d'abord par rapport à
l'une des variables, et ensuite par rapport à l'autre,- la somme
des deux résultats serti la différentielle totale cherchée.

42. Je ne crois pas qu'il soit nécessaire de donner beaucoup
d'exemptes relatifs à la différenliation des fonctions de deux
variables, puisqu'elle rentre dans celle des fonctions qui n'en
contiennent qu'une : je me bornerai donc aux suivants.
On voit sur-le-champ, d'après la règle ci-dessus, que
d (i+r)- dx ■+- dy,
d.xy—yàx-t- xdy,
, x dx xdy dx — xdy

dC(»,J-)=dB = 5ïd*H-£d r .

DE CALCUL DIFFÉflKXTIBL ET DE CALCUL INTÉGRAL. § 4j

Suit encore 1°. u = x"y; on a
du ,

donc

du = nijr— '/*dx-t- nx~y*-'ày= [myd x-k-nxày);

a . « _ ^, + rt — <9 * + J ) ' 00 a

du . air fjv'dr
<l r= J .

donc

(-h-j*!* [x'+y?

et, en réduisant,

. — na:?- d x -+- 1^' d r .

(x>+r>?

3°. « — arc ^tang = > expression qui est celle d'un arc de
cercle dont te rayon est i , ei la tangente y, pour la différen-
tier, on fera ~=s> d'où U résultera u = arc (tang= z) , et
du = (3G) ; puis mettant au lieu de z et de Az leur valeur,

yAx — xdy

d« = ^ r ûx — x d r.

43. La manière dont on écrit les différentielles des fonctions
qui dépendent de plusieurs variables donne lieu à des remar-

48 t TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

ques importâmes. Il ne faut pas confondre alors ^ dr avec

d», comme on pourrait le taire si a ne renfermait que la seule

variable x, parce qu'ici le d u de l'expression ^ ne désigne

pas la différentielle totale de la fonction u, mais seulement la
partie que produit la variation de * ( 41) ; et comme c'est le divi-
seur Ax qui marque cette restriction (39), il faut le conserver

pour distinguer ^ Ax de la différentielle totale représentée

simplement par du: lien est de même de ~ Ay, par rapport
à r (M).

Les quantités j^, ày' "■' d ' x'dj' Bont a PP e '^ es souvent
différences partielles; mais ce langage n'est pas exact, car les
formules qu'on désigne ainsi n'expriment point la différence
entre deux quantités.

Les vraies différences partielles de a sont d'abord

r(*-M, ri.
î[x, r +k)-t[ x , r ),

la première étant prise en n'ayant égard qu'au changement de
x, et la seconde en ne supposant que celui de y. Les expres-
sions

du , du , du , du ,

qui ne sont que les premiers termes des développements de ces
différences, doivent être nommées tliffëtvntiullrs partielles (5) ;

THc' o^ resleront lou j° urs Ies coefficients différentiels An pre-
mier ordre de la fonction proposée, et en général jj-^r—

sera, dans l'ordre m+n, !e coeHiciciii iliflV-reulirl pri^ ru rlil'lr-
rentiant m fois par rapport à x, et n fois par nippon a y; mais
il faut remarquer qu'une fonction d'une seule variable n'a dans
chaque ordre qu'un coefficient différentiel (17), tandis qu'une
fonction de deux variables a deux coefficients différentiels

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. /jo

pour le premier ordre, trois pour le second, quatre pour le troi-
sième, et ainsi de suite.

44. Voici comment on peut trouver ces divers coefficients,
en partant des deux premiers.

On a d'abord

qui doivent èire traités comme des fonctions de deux variables,
et dx, Ay étant des constantes, il vient

d-« , A'u .
ix Ax' àyAx "
J Aa d*u . d'à .
d d7=dVd7 d ^ + d? d ^

Désignant ensuite par d'» la différentielle totale de du, on
d-« = d^d 5i + d r d^.,

d'où

d'à . , A'u , . d'u . _

d w =d^ da:M - ;, dTd7 d3:d - , * + d7 dr '

en observant que les coefficients différentiels dont les déno-
minateurs ne présentent que les divers arrangements d'un
même produit en Ax et dj-, sont identiques (40).

Si l'on différence les coefficients différentiels qui se trouvent
dans le résultat précédent, il viendra

, d' « d'u , d'il .
d** Ax 1 AyAx' *'

dj- 1- dard^ ij* J '

et, par conséquent,

¥U.l 4

Oigilized Dy Google

5o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On continuera facilement celle formation, et l'on remarquera
sans doute l'analogie des résultats avec les puissances du bi-
nôme.

Il faut observer que, d'après In notation pnW'doutr. la scrio
du n" 41 rentre dans celle du n° 23, lorsqu'on substitue da: à
h, cl dykk; en sorte que si l'on désigne f{x-)-Aa:,y+dy)
par h', on a encore

formule tout aussi générale que celle du n"41, puisque les
accroissements dx et dy sont également arbitraires.

45. Il est aisé d'étendre ces considérations aux fonctions
d'un nombre quelconque de variables, et de s'assurer que si
l'on a

. a = t(t,x,y,z),

il en résulte

t{l+g,x+h,y-i-k, s + l)—t{t,x,x, z)
du du , dH, , du.

d'où l'on conclura

j 4*., ,'*«. du , du ,
dt dx dy J dz

en désignant par

du du du du

d( ' d-r' Û~y' dz'
les coefficients différentiels de la fonction u, pris en y faisant
varier seulement /, ou x, ou y, ou a.

Cette notation, due à Fontaine, est la plus simple et la plus
expressive de toutes celles qu'on a proposées pour remplir les
mêmes indications. Euler, dans la crainte que l'on ne confonde,
par exemple, le coefficient différentiel ~~ avec le rapport de
la différentielle totale du à la différentielle d/, exprimé par

du, du. .du. du,
■ r - d; + -^ tlj . + „, lr+( - n d a ,

Oigiiized by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 5l

désigne ce rapport par tandis qu'il indique le coefficient

différentiel par ^ Lasens du discours rend presque tou-
jours cette distinction superflue; Fontaine d'ailleurs avait
pourvu au cas où elle était absolument nécessaire, en propo-
sant d'écrire le rapport ainsi : du; et comme ce rapport est

employé plus rarement que le coefficient différentiel, il avait
affecté à ce dernier le signe le plus simple, ce qui est conforme
à la théorie de toutes les nomenclatures, cl précisément le
contraire de ce qu'a fait Euler.

46. Les résultats du Calcul différentiel devant toujours être
indépendants des accroissements des variables , le rapport

^du ne saurait avoir un sens déterminé, qu'autant que les

variables x, y, z sont, au moins implicitement, des fonctions
de ï; et alors d« exprime la différentielle d'une fonction com-
posée d'un nombre quelconque d'autres fonctions de la même
variable. En effet, si l'on suppose que les variables x, y, z
dépendent de la variable /, cl que l'on substitue aux accroisse-
ments g, A, k, l, des expressions de la forme

dt, pAt, qdt, rdt,
l'ensemble des termes qui ne contiendront àl qu'à la première
puissance, se composera de ceux où les accroissements g, h,
k, I ne passent pas cette puissance, et ne se multiplient pas
entre eux: on aura donc encore

ce qui revient à

en remplaçant pût, qdt, rdt, par les différentielles dx, dy,
d s, que ces quantités expriment.

Ainsi la différentielle d'une fonction renfermant un nombre
quelconque d'autres fonctions d'une seule variable, est la

4-

32 TRAITÉ Él.ÉM ESTAI HE

somme des différentielles partielles relatives à chacune de ces

La règle du n° 1 1 n'esl qu'un cas particulier de cet énoncé ;
car si l'on prend i< — txyz, il donnera

àu = ayidt+ tyz&x-i- txz ày+ fcrj-d z.
Do môme, quand a = zf, on a

"£i,= r s-tz (13), JSé r _W r l. (27),
cl, par conséquent,

du = yzr-Az-i-zrùy\z = zr ^d/U + ^J (32).

47. Je dirai ici très-peu de chose sur la manière de réduire
en séries les fonctions de deux variables, parce qu'il arrive
le plus souvent qu'on ne les développe que par rapport à l'une
des variables, en supposant à l'autre une valeur constante, et
qu'alors ces fonctions doivent être traitées de mémo que celles
d'une seule variable. Je me bornerai à faire voir que la formule
du n° 41 s'emploie à développer les fonctions de deux varia-
bles, comme celle du n" 20 s'applique aux fonctions qui n'en
renferment qu'une [22).

Si l'on fait x = o, y= a, dans la formule du n" 41, c'est-à-
dire dans u et dans chacun de ses coefficients différentiels,
elle donnera le développement de f {h, le), ordonné suivant les
puissances des quantités h et A - ; mais on pourra écrire x au
lieu de A, ci r «n lieu de k, et il en résultera

i (A'u d'à d'à \

en observant de faire x el y nuls, tant dans u que dans les
expressions qu'on obtiendra pour chacun des coefficients dif-
férentiels ('}.

(•) On pourrait encore arriver au développement de f(*,j>) par la dille-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL 53

Do la différentiation des équations quelconques à deux variables.

48. Jusqu'ici je n'ai différentiel que des équations séparées,
c'est-à-dire dans lesquelles In variable se trouvait seule dans un
membre, et la fonction dans l'autre: telles sont les équations
île la forme V = X, Y étant une fonction de y, et X une fonc-
tion dex; mais le plus grand nombre des équations que l'on
rencontre dans les recherches analytiques ne se présente pas
ainsi : la variable et la fonction y sont souvent mêlées ou com-
binées entre elles.

Lorsqu'on a une équation quelconque f [x, y) = o, entre x
el y, son effet est de déterminer y par x, ou x par y, en sorte
que l'une de ces quantités est fonction de l'autre; et si l'on
change x en x ■+■ h, et y en j -+- k, il faut encore que l'on ait
f(* + A, r +A-) = o,

d ou

t[x + h,y+k)-t[x,y) = o,
équation qui, parle n° 41, se développe dans la forme

« représentant [ [x, y).

car si l'on suppose

u =1+Bi+Cï -i- Di'-f- 4- Vy'-t- etc. ,
les lettres A, B, C, etc. , désignant îles quantités indépendantes du cl der,
et qu'on diflcrenlie cette équalfon par rapport iiel par rapport à j plusieurs
foii de suite , do manière à former les empressions dut coefficients uJDéreatleli

j-, après les diffère million»,

La ulcur do A se irouïera en cbcrcbinl celle de la (onction a lorsque x et s

54 TIU1TL KI.I.MEV1.MI.K

Cela posé, chercher le coefficient différentiel de y, c'est
chercher la limite du rapport ^(3); or, si dans l'équation ci-
dessus, on fait * = ah, tous ses termes deviennent divisibles
par A; et lorsqu'on pose ensuite h — o, pour passer à la limite
demandée, il ne reste plus que
du du

ou a doit être remplacé par sa limite on aura donc

dx+ dy = ».

du du dy

Le dernier résultat, se confondant arec la différentielle totale
de la fonction u (41), montre que pour trouver te coefficient dif-
férentiel du premier ordre d'une fonction y, donnée par une
équation u = o, entre deux variables* et y, ilfaut différentier
le premier membre de cette équation, comme si tes variables
étaient indépendantes l'une de l'autre, égaler ensuite ù zéro te

résultat, et prendre la valeur de

sèmerai par p, ne contenant que x et /, est, en vertu de l'é-
quation u — o, une fonction de x seul, on en conclura que p
doit changer quand on fait varier x, et prendre un accroisse-
ment que je désignerai par /; mais alors on peut regarder le
premier membrede l'équation

du Au'

dx + T r P=°'
comme une fonction de x, y et p, égalée à zéro, qui doit tou-
jours rester nulle ; et si on la représente par «', on aura, par la
formule du n" 4B,

dx dy dp l = o.
-+- etc. I
Or, tous les termes de cette expression deviendront divisibles

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 55

par h, si l'on y fait k = ah, I = fh; cl ceux qui ne sont pas
écrits, contenant les quantités h, k cl /, a des puissances plus
élevées que la première, s'évanouiront lorsqu'on fera h = o,
pour passer a la limite où l'on doit remplacer

dr , do
o par^ et e V™ &

il ne restera donc que

du' ^_ du' d/_^dtt' d£ ^

àx dy àx dp d:r — '

ce qui revient à

ei se confond avec la différentielle totale de la fonction u'.
Ainsi, pour fariner l'équation qui exprime la relation entre le
coefficient différentiel du premier ordre et celui du second, il
faut différentier l'équation qui détermine le premier de ces
coefficients, en le regardant lui-même comme une nouvelle
variable, puis diviser le résultat par dx.
Faisant ensuite ^ = q , l'équation qu'on vient d'obtenir

pourra être considérée comme une fonction u" de x, y, p et q,
égalée à zéro, et donnera une équation équivalente à dn"= o,
qui déterminera le coefficient différentiel r de la fonction q,
c'est-à-dire le coefficient différentiel du troisième ordre de y,
par les précédents.

On voit par là que les équations qui expriment les relations
des coefficients différentiels d'une fonction donnée par une
équation entre deux variables, se déduisent les unes des autres,
par des différentiations successives, en traitant chacun de ces
coefficients comme une nouvelle variable.

19. L'exemple suivant éclaircira tout ce qui précède.
Soit l'équation

la fonction u est ici y — zmxy-r-x' — a': si on la différenlic,
en y faisant varier x cl y, et qu'on é^alc le résultat à zéro, on

Oigiiized û/ Google

56 THS1TÉ ÉLÉMENTAIRE

trouvera

2 mx d y— 2 mjrûx -+- a xdx = o,

[') J"* 1 / — mxàj" — myAx-\-xdx = o,

en supprimani le facteur commun 2 ; et l'on en tirera

Pour avoir en ^ seul, il faudra substituer dans celle ex-
pression la valeur de /, qui, dans l'équation proposée, est
7= mx± v'"'— *M" m-a: 1 ;

et il viendra

d* ± V 'tf— *'-r-m'*'

résultat semblable à celui qu'on déduirait immédiatement de

l'expression

y=mx±. yV— x>+ m'

obtenue on résolvant l'équiiiion proposée.

Maintenant, si l'on fait = d'où il résulte dy=^pdx,
l'équation (1) se change en

( y — m x ) p — m) . + x = o ;

el si on la différentie de nouveau, en considérant que y cl p
sont des fonctions de x, on arrive à

lr-mx) d P + p[<lj- m d*)-mdv+d* = oi
mettant ensuite pAx pour A y, q&x pour ûy, et réduisant, il
vient

{y — mx)q-hp'— 3 mp +1 = 0,
équation qui donne la relation que le coefficient différentiel
du second ordre q doit avoir avec celui du premier ordre p, el
avec les variables x et j.
En continuant do dilïérenlier de la même manière, on lor-

Digiiized By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL KT DE CALCUL INTÉGRAL. 5j

merail l'équation de laquelle dépend le coefficient différentiel
du troisième ordre, ei ainsi de suite.

50. Si dans l'équation

{y— mx}q-\-p>— 3m p +1 = 0,
on remplace p et q par leurs symboles différentiels ~,
A'

~ (17), elle devient

, . d'y Ay 1 dy

et chassant le dénominateur, on obtient
(2) [y — mx)dy-r-d} J — zmdxdy-r-dx' — o,
résultat que l'on tirerait immédiatement de l'équation (i), en y
faisant varier dy aussi bien que y et x.

En général, Taire varier les quantités p, q, etc., comme des
fonctions de x, c'est prendre les différentielles des expressions
équivalentes différentielles qui sont respectivement

représentées par jjjj, etc., c'est enfin regarder les quan-
tités dy, d'y, etc., comme des fonctions de x.

L'équation (i) est la différentielle première de la proposée;
l'équation (2) en est la différentielle seconde, etc.; et, d'après
la remarque ci-dessus, les différentielles d'une équation pmmi-
tivï propotée se déduisent les unes des autres parla différentia-
lion, en regardant}/, dy, d'y, etc., comme des fonctions de x,
ce qui rentre dans la règle du n°46.

On passe aux équations qui donnent les coefficients différen-
tiels, en observant que ces coefficients sont représentés par

ou en faisant

dy—pdx, d'y = qàx 1 , etc.
Par ces dernières substitutions, les différentielles disparais-
sent, et il ne reste dans les résultats que les fonctions p, q, etc.,
absolument indépendnuies de lu valeur de l'accroissement dx.

Oigilizod by Google

58 THMTÉ ÉLÉMENTAIRE

51. L'équation proposée

y* — 2 mxy -t- x 1 — a'— o,
étant du second degré, donne pour y deux valeurs, par le
moyen desquelles l'équation
(j) {y— mx)dy— [my — x)dx = o,

d'où l'on tire

dr

donne aussi pour le coefficient différentiel ^> deux valeurs

correspondantes à celles de la fonction y.

51, au lieu de résoudre l'équation proposée, pour en tirer la
valeur de y, on éliminait celle variable, au moyen de l'équation
différentielle (t), on aurait d'abord, en vertu de celle-ci,

x{mdy-dx) .
- dy—mûx '

substituant dans la première, il viendrait, après les réductions,

m'x')dy— (a mx'- a ma'- 2 m>x>) ûxiy

+ (*>— m' x 1 — a' m' ) dx>= o
Cette dernière étant résolue par rapport h dy, donnerait les
mêmes résultats que ceux qu'on obtient en différentiant les
valeurs de y (49) ; et après l'avoir divisée par dx 1 , on en tire-
rait immédiatement celles du coefficient différentiel. On aurait
alors

[x 1 — a'— m'x') ^ — (a mx'— i ma'— i m' x*) &
■+■ x 1 — m'x' — a' m'= o ;
et en dégageant la seconde puissance du coefficient différcn-

dr 1 ...
tic], exprimée par on arriverait a

d y 4 dr x' — m' x* — a'm'

v^-iinr H r — t — ■ , , = O-

dx' dx m'x'

52. 11 est facile d'appliquer ce qui précède à des exemples
plus compliqués, et dans lesquels les variables montent à un
degré plus élevé. Soit encore l'équation

y — 3 axy -4- x 1 = o j

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL HT DE CALCUL INTÉGRAI.. 5g

la difléreniiation donnera

3 y dy— 3 ax A y — 3 aydx + 3 x' A x = o,
ou, en supprimant le facteur commun 3,
(■) y&y — ax Ay — aydx -h x' dx = a,

et, par conséquent,

d x y — ax

La fonction y, dans cet exemple, étant donnée par une équa-
tion du troisième degré, doit avoir trois valeurs; et en les sub-
stituant successivement dans l'expression de j- i on obtiendra

un pareil nombre de valeurs pour le coefficient différentiel. On
voit en général que ce coefficient aura toujours un nombre de
valeurs égal à celui dont la fonction y est susceptible dans l"é-
qualion proposée; il en sera de même à l'égard do la différen-
tielle.

Si l'on éliminait j entre les deux équations

(1) ydy — axAy — aydx -\- x*dx = o,

on aurait pour résultat une équation du troisième degré par
rapport a Ay, et qui renfermerait les trois valeurs dont cette
différentielle est susceptible.

Ayant trouvé l'expression de Ay ou celle de ^ on par-
viendra à celles de A'y et de jjp en différentianl par rapport

à Ay, à^-elà x, suivant la règle établie n°50, l'équation (i),
différentielle première de la proposée. En opérant ainsi et ré-
duisant, on aura

y d'y — axA'y-hzyAy — a ad x dy+ 2xdx 7 = o,

(2) {y— ax) A'y+zyAy — a aixéy+a xAx'= o;
voilà la différentielle seconde de l'équation proposée. Si on la
combine avec, la différentielle première, on pourra éliminer d y,
et le résultat donnera l'expression de d'y en a-, d* et y- on

Oigiiized D/ Google

6o TnAlTÉ ÉLÉMENTAIRE

chassera, si l'on veut, la fonction y au moyen de 1" équation pro-
posée.

En divisant l'équation [%) par dar', elle prend la forme
, d'y dr 1 dr ,

et ne renferme plus que les coefficients différentiels cl jj^-

Mettant au lieu de ^* sa valeur 2£ — — , tirée de h)t il viendra
d^ y* — ax 1

ei en réduisant au même dénominateur,

(y— ax)' -+- a xy*— Gax'y'-h i x l y + a 0**/= o ;
mais la quantité

n'est autre chose que

ïxy{y=— , Saxy-*-x*):
elle est donc nulle en venu de l'équation proposée, et par con-
séquent on a

(y— ax yiZ+^ a i X y=o,

d'où

dy = igxy
ax* {y 1 — ax) 1

En diffcrentiani l'équation (2) par rapport à d'y, ûy, y et x,
on formera la différentielle troisième de l'équation proposée,
et l'on en tirera la valeur de d'y, lorsqu'on aura éliminé d'y
et dj- à l'aide des équations (1} et (2); divisant le résultat par
dar 1 , on aura l'expression du coefficient En continuant
ainsi, l'on parviendra aux coefficients différentiels ultérieurs.

53. La remarque du n" 7, sur les constantes qui disparaissent
par la différentiation des fonctions, s'applique également aux
équations. Si l'on avait, par exemple, y*= ax -+- b, la différen-
tielle zydy = udx, étant indépendante de b, appartiendrait à

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 6l

chacune des équations particulières qui résultent de la propo-
sée, en donnant à 6 toutes les valeurs possibles.

Mais on peut aussi parvenir, dans le cas actuel, à une équa-
tion indépendante de a, quoique la différenliation n'ait point
fait disparaître cette consume ; il suffit pour cela d'éliminer a
entre les deux équations

y*=ax-+-b, zyAy = aàx,

et l'on trouvera

y Ax = ixyAy+ bAx.
Quoique cette dernière équation ne soit pas la différentielle
immédiate de la proposée, elle en dérive cependant de manière
qu'étant divisée par Ax, elle exprime la relation qui doit exis-
ter entre la variable x, la fonction y cl le coefficient j^» quel
que soit a.

Si la constante qu'on élimine n'est pas au premier degré dans
l'équation proposée, le résultat qu'on obtient renferme des
puissances de dj-el de Ax supérieures à la première: je pren-
drai pour exemple

y J — %ay H- x' = a'.
En différentiant, on trouvera

y A y — a d y + x A x = o,

d'où

yày+xAx

' S? ''

et substituant dans la proposée, il viendra, après avoir ordonné
par rapport à Ay cl divisé par Ax',

Telle est la relation qui doit exister entre la variable x, la fonc-
tionnel son coefficient différentiel indépendamment d'au-
cune valeur particulière de la constante a.
En résolvant l'équation

y , ~î.ay+x>—a' r

Oigiiized by Google

63 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

par rapport à a, on en aurail tiré
a = — y± v'a

cl a étant alors dégagé des variables x et y, la différentiaiion
seule le fait disparaître : on aurait trouvé

En faisant évanouir le radical, on s'assurera que cette équation
est la même que celle qui résulte de l'élimination.

54. On peut faire disparaître autant de constantes qu'on vou-
dra, en dilTérentiant un nombre de fois égal à celui de ces con-
stantes. Soit

y>=m [a'— a?};

on aura d'abord

yûy — — nwdx;
dilTérentiant de nouveau, on trouvera

yd'y+ dy= — màx*i

substituant pour m sa valeur — ^g^' tir ^ e ae l'équation pré-
cédente, et divisant par Ax\ il viendra

d , y dy 1 à y

résultat indépendant des constantes m et a.

55. La différentiaiion, combinée avec l'élimination, fournil
le moyen de faire disparaître les exposants. Soit par exemple

P-=Q,

P et Q étant des fonctions quelconques de x et dey; en prenant
la différentielle de cette équation, il viendra

«P-'dP=dQ, ou /iP"dP = PdQ,
en multipliant les deux membres par P; cl si l'on met pour P*
sa valeur, on obtiendra

«QdP=PdQ,

équation dans laquelle la quantité P est délivrée de l'expo-
sant n.

On parvient au même résultat, en prenant le logarithme de

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL WTÉGRAL. 63

choque membre de l'équation proposée; on a successivcmeDl

■IP = IQ, „™ = f (28),
et, par conséquent,

»QdP = PdQ.

Cette remarque sert à développer, suivant les puissances de
x, la fonction

(a -+- bx -f- cr'-f- dx'-h ftr>-|- etc.)',
quel que soit l'exposant n. On pose pour cela

[a+ bx + ex' + rfx 3 + ex> -+- tic.)"
= À-t- Bx + Cx'+ J)x'-t- Ex'-h etc.;
en passant aux logarithmes, il Tient

nt(a+ bx ■+■ ex 1 -*- dx>-f- ex 1 ■+- etc.)
= 1 (À+Bjr-t- Car" -h D*>-f- Ea7' -+- etc.) ;
différentiant ensuite, on obtient

n (b ■+- a ex ■+- 3 i/g'-f- 4 ar>+ etc.) da;
a-l-Èje-r- C x'-t-dx"-\-ex t -+~ etc.
_ (B-f-a C^+3D J :'+4Ex'+etc.)dj _
A -4-B> + I':*'-)- Da^-r-Ea^-H etc. '
supprimant le facteur commun Ax, faisant disparaître les déno-
minateurs, développant et ordonnant, par rapport aux puis-
sances de x, on a l'équation

nb\-y-2ncAx-h3ndA.x'A-4neAx*-+-Glc.

4- noBa7+zncBjJ-H3iidBar J -|-etC. _
■+- n6C* J -+-a«cCar 1 -r-ete. _
-t- nbOx*-)- etc.
aBH- 2nCa:-H 3«Dx'H- 4«EarM-etc. 1
-+- 6Bx+ a&Ca: I + 3ftD«M-eic.|
-t- eBar'-l- acCar'+etc.f

qui doit être identique quelque valeur qu'ait x; il faut donc-
que les coefficients de chacune des puissances de cette quan-
tité soient les mêmes dans les deux membres : de là résultent

64 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

lea équations

,ib\= nB,
ancA-H nèB = ?.nC -f- ÉB,
3nrfA + 2neB + nfiC = 3aD + a6C+cB,

dont on tirera' les valeurs des coefficients B, C, D, etc.

Le coefficient A semble demeurer indéterminé, mais on eu
trouve la valeur en faisant x — o, dans l'équation
(o + bx + etc.)*= A + Bar + etc.,
qui, par celle hypothèse, se réduit à
o"= A.

Substituant cette expression dans les équations précédentes,
on en conclut

C = tuf-' o -r- «*"' b \

D = im— l rf- r - «—'&<: + " ^7*^3 "* • " "-'*'.
etc.,
d'où

(a + fcr ■+■ ex*-t- etc.)"
= o" ■+- " rf-' fer -+- |^na— ' c -H — ""^"'^ a—' j ar'
+ ^na- 1 d -t- "^-T il fie + "^"~'^~ 2 J a-- j x>
-H etc.

56. On peut faire disparaître aussi les transcendantes d'une
équation, en la combinant avec ses différentielles. L'une des
plus simples de ces fonctions est

1 (a -+- bx •+- cx'-h dx' -+- etc.) ;
si l'on représente son développement par

A -l- B x ■+■ l> : 4- D.r '-+- etc..

IIE CALCUL D1FPKRKST1EL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 65

et qu'on prenne la différentielle de l'équation

1 [a + bx + cx*+ dx> + etc.) = A + B x + C x 1 + Ox>+ etc.,

on trouvera

a + é.r + c.c'H-rf.r'-t-elC.
et l'on déterminera les enr-fficients A, B, C, I), etc., comme à
l'ordinaire.
Soil encore pour exemple

sïn [a + bx-i- r-c' + dx'+elc.)
= A + B^ + Ga:"-r- Da^+ Ex>+ etc.;
en faisant, pour abréger,

a + bx ■+■ ex' + dx* ■+■ etc. — u,
A + Ba: C *»+ Dj^-h etc.
il en résultera /=sinu; et en différente ni, il viendra
dj- 1= du cosn. On pourrait éliminer cosu au moyen de sa
valeur yT- -sinu', qui donne cosu = v* 1 ■ cl l'on aurait
alors d/ — d« v'> — r'i mais il resterait encore à faire dispa-
raître le radical.

Pour éviter cet inconvénient, on différenliera une se-
conde fois l'équation dj- = du cos«, en se rappelant que
4 u est une fonction de x, aussi bien que y; et il viendra
d'^- = d'«co5B — du'sinu; mettant pour sinu et cosu leurs

valeurs 3

d'j-^^d'u — y du', ou du d'y — dy A*u-t-yàu 1 = o.

Il ne s'agit plus maintenant que de substituer à y, dy, d'y,
du, d'à, du 1 , leurs valeurs; or

y = A + B x + Cx'-hDx>+ etc.

donne

ày= (B+aCa:+ 3 lix'-h etc.) da:,
d'y— (îC+î.3Di+ etc.) dx' ;
et pour ne pas m'engager dans de trop longs calculs, je rê-

G«éJ. 1. 5

Digiiized by Google

66 .TRAITÉ ÉLÉMEHTAIRE

(luirai la fonction proposée à sin (<i -+■ bx -+- ex'), en faisant
d, e, elc. = o : dans ce cas particulier,

du = {b + zcx)dx,

d'à = 2 cdx',

dw'= (6 J -f-6 1>> cx-hi 2 bc>x>+8d>x*) d**.
Au moyen de ces, voleurs, l'équation

dod'j — djd'u + j-du'^o,
devient divisible par da^; et en l'ordonnant par rapport à x,
elle prend la forme suivante :

zbC + 6bJ)x+ laftE^+etC. \
+■ 4cC^+ i2cD*' + etc.J
+ &*A + 66'cAx + 12 bc'kx'-h etc.l

-+- b'hx-h Sè'cBx'-t-etC.f - °*
-+- ^C**+eic.j
— acB— 4cCx— GcD*'— etc.)

En égalant à zéro les coefficients de chaque puissance de x, on
obtiendra les équations qui déterminent C, D, E, eu.; mais
pour A et B, il faut recourir aux équations

j-=slnit et dy=ducosu.
Lorsque x = o, il vient

u = a, 7=A, Au = bAx. &y=Hdx\
et il résulte de ces valeurs ,

k =sina, ]t= (.cosn.

57. Le calcul différentiel, dont nous n'avons encore fait usage
que pour le développement des fonctions, peut aussi être utile
dans la résolution des i'>i|i unions nl^ébriques ; mais ici nous
nous bornerons à montrer comment la remarque du n° 18 con-
duit à la ili-lcniiirintioo des racines égales.

Soit V = o, une équation ayant un nombre n de racines éga-
les à a; son premier membre V sera nécessairement de la
forme

V=X (*-«)-,
X contenant les facteurs inégaux; et si l'on, différenlie, en

Oigiiizod by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 67

commençant par le fadeur [x — «}", on trouvera

£ = »x ,*-«).- -.£(,-«)■,

etc.,

ce qui suffit pour faire voir que le facteur x — a demeurera
commun à lotis les termes des coefficients différentiels de V,
tant que l'exposant de leur ordre sera<n. Ces coefficients
s'évanouiront donc jusqu'à l'ordre n exclusivement, quand on
y fera x = a ; et les équations

y — „ $1 — o d ' V — 0 d°-'V
' dx ' da;' "'' dx— ,— "

auront lieu en même temps, au moyen d'un diviseur commun:
pour la première et la seconde , ce diviseur sera (x — a)— 1 .
On reconnaîtra sans peine que les équations 'J - =o,

^-^ = o, etc., sonl précisément celles que l'on a désignées par

A = o, B = o, etc., dans le n°ao5 des Éléments d'algèbre.

Ces considérations s'appliqueront aisément au cas où la pro-
posée renfermera plusieurs espèces de racines égales, c'est-à-
dire, sera de la forme

X[x — a)" [x—by^o;
car en différen liant le premier membre, suivant la règle du
n° 11, on trouvera

nx [x- a )-(x-by + pxtx-ay(x-by-i

+ge-»-<— •> r

quantité qui s'évanouit aussi lorsqu'on (ah x = a oux=b,
et dont le diviseur commun avec le premier membre de l'é-
quation proposée, est évidemment

«)— 't»— »y— ■

On peut opérer de miïme, quel que soit le nombre des
facteurs (x — a}', (x — b)r, {x — c)«, eic, et l'on trouvera

OigiiLzed By Google

C8 rHAITK. KI.KMKNTAIRR

toujours que le diviseur commun aux fonctions V, doit

contenir les fadeurs égaux élevés chacun à une puissante
moindre d'une unité, que dans l'équation proposée V = o.

Application du Calcul différentiel à la théorie des courbes.

58. Lcsroiisult'TiiiiDiiKi^nmriri'iufs prouvent d'une manière
bien évidente que le rapport dos accroissements d'une fonc-
tion el de sa variable est en général susceptible de limite.

Toute fonction d'une seule variable peut être représentée
par l'ordonnée d'une courbe dont cette variable est l'abscisse
{Trïg.,86) ; et le rapport de l'ordonnée de la courbe avec la sous-
tangente correspond au rot-fficwnl différentiel de la fonction.
En effet, si, dans une courbe quelconque CD (Jig. i), on mène,
par deux points M et M', une sécante MM' prolongée jusqu'à
ce qu'elle rencontre en S l'axe des abscisses AB, et par le pre-
mier point une tangente MT; qu'on tire les deux ordonnées
PM, F' M' et la droite MQ, parallèle à AB, les triangles sembla-
bles M'QM cl MPS montreront que les rapports ~5 et ™

sont toujours éguux. Mais m l'un autrui t que le point M' se rap-'

proche sans cesse du point M, le point S se rapprochera aussi

du poiulT: la ligne PS tendra donc à devenir égale à la sous-tan-

FM PM
Si'iili' l'ï ; le rapport s'approchera de. mémo du rapport

qu'il aura pour limite , et qui sera par conséquent aussi celle
du rapport des accroissements MQ et M'Q, que reçoivent si-
multanément l'abscisse. AP et l'ordonnée PM.

Il suit de là que, lorsque l'expression du rapport ^ sera

connue, elle fournira le coefficient différentiel de la fonction
correspondante à l'ordonnée (7), cl que , réciproquement, si
celle fonction est connue, son cucfficiurti différentiel détermi-
nera la sous-tan^eiuo l'ï, puisqu'on désignant FM par_^*, et son

coefficient différentiel par /), on aura p d'où Vî = -,

valeur au moyen de laquelle on mènera la tangente au point M.

Digiiizod by Google

DE CALCUL DIFFÊflEATIÏL ET DIS CALCUL 1KTÉGDAL. 69

59: On voil donc que , par sou principe fondamental, le Cal-
cul différentiel résout directement le probU-w <!■■$ tangentrs,
pour les courbes dont on a l'équation; aussi est-ce en cher-
chant la solution de ce problème , que les géomètres sont par-
venus au Calcul différentiel, qu'on a présemé depuis sous des
points de vue très-variés; ruais quelle que soit l'origine qu'on
lui assigne, il reposera toujours immédiatement sur un fait
analytique antérieur à toute hypothèse, comme la chute des
corps graves vers la surface de la terre est antérieure aux di-
verses explications qu'on en a données : et ce fait est précisé-
ment la propriété dont jouissent toutes les fonctions, d'ad-
mettre une limite dans le rapport que leurs accroissements
ont avec ceux de la variable dont elles dépendent. Cette li-
mite, différente pour chaque fonction, et toujours indépen-
dante des valeurs absolues des accroissements, caractérise
d'une manière qui lui est propre la marche de la fonction
dans les divers étals par lesquels elle peut passer. En effet,
plus les accroissements de la variable indépendante sont petits,
plus les valeurs successives de la fonction sont resserrées, plus
enfin celle fonction approche d'être soumise à la loi de conti-
nuité dans ses changements, et plus leur rapporta ceux de la
variable Indépendante approche d'étfc égal à la limite assignée
par le calcul. On doit entendre par la loi de continuité, celle
qui s'observe dans la description des lignes par le mouvement,
et d'après laquelle les points consécutifs d'une même ligne
se succèdent sans aucun intervalle. La manière d'envisager les
grandeurs dans le calcul ne parait pas d'abord admettre celle
loi, puisqu'on suppose toujours un intervalle entre deux va-
leurs consécutives de la même variable; mais en le faisant
évanouir, pour passer à la limite, on exprime qu'il y a conti-
nuité.

Il me parait maintenant Irès-évidenl que la métaphysique
précédente renferme l'e\plii atiou philosophique des propriétés
du l'.ah'nl différentiel el du Calcul inté^i'iil, suit pur rapport au\
recherches sur les courbes, soit par rapport à celles qui con-
cernent le mouvement. La difficulté des unes el des autres ne
vient que de ce qu'il y a continuité dans les changements des
lignes ou dans reux des vitesses ; et la considération îles limites

Oigiiized ûy Google

ya TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

(ou loule autre équivalente), fournit le moyeu d'établir celte
continuité dans le calcul {*).

60. Lorsque l'on donne à l'abscisse des valeurs successives,
les ordonnées qui répondent à ces valeurs déterminent, sur la
courbe, des points que l'on peut regarder comme les som-
mets des angles d'un polygone inscrit à cette courbe.

Si l'on prend, par exemple, sur l'ave des abscisses les points
P, P', P", etc. [fig. a), distants entre eux d'une même quan-
tité A, on aura

AP — x, AP' = ar-t-A, AI"' = x + ih, etc.;
qu'on élève les ordonnées correspondantes PM, P'M',
P" M", etc., et que l'on joigne les points M, M', M", etc., par des
cordes, on formera le polygone MM' M" etc., qui différera d'au-
tant inoins de la courbe proposée, que les points M, M', M", etc.,
se rapproeberont davantage; niais en même temps le nombre
de ses entés augmentera déplus en plus, puisque la dislance PP'
sera contenue un nombre de fois de plus en plus grand dans une
abscisse déterminée AB. La courbe CD sera évidemment la li-
mite de tous ces polygones, et par conséquent les propriétés
qui conviendront à celle limite, conviendront aussi à la courbe
proposée (**].

Cela posé, si l'on mène MQ et M' Q' parallèles à l'axe AB,
M'O sera la différence des deux ordonnées consécutives PM
et P'M', M" 0' celle des ordonnées P'M' et l'"M". En prolon-

(') Ccui qui désireraient plui do développement dans ces considérations
Gênerai», pourront consulter la Note A, placée à la lin de fourrage.

("") I.oibnili a toujours envisagé lo Calcul différentiel sons un point do me h
jipu pris scraMoble.

« Senlio autrui et hanr el alias (melliudus', liad.-nus adliiliilas, orancs deduci

» possc a g.>ner;ili i|ii«il.i „■■> ilirnstiriidflriirn ™rvilj rum [jrincipio, tfuoif

" fy"™ f (W/ftiea cmumhIi lit mquïpolhte polygono infiniloram Inlerum; nndo
. spquitur, quicquid de la H pulynono dcmon>.lrari ]>t>ti-st, sive ila, ut nnllul
» iiabcalurad niuii^rmri httuini re-jieclns, sïïc ila.nl lanlo na|;K ïociliri'liir.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 71

géant la droite MM' jusqu'en N", on formera les triangles égaux
MM' Q, M' N" Q', qui donneront M'Q — N" Q' ; il en résultera
M"N*= N"Q' — M"Q',

ou

M"N*=M'Q'— N"Q';
et par conséquent M" Q' — M' Q = rp M" N" selon que la courbe
est concave ou convexe vers l'axe des abscisses: M*N" sera
donc la différence des lignes M'Q eiM"Q\

Le calcul différentiel donne l'expression de ces diverses
droites; car l'on a successivement (93)
PM = y,

FM'- PM = M'Q = g A 4- g 7 +etc.,
P"M"-l"M'=M"Q'=g h + g^ + ,tc I
M'Q'— M'Q=:pM'N"= g A' +etc.i

d'où il suit que si l'on change A en d.r, la valeur de M' Q ap-
prochera de plus en plus de la différentielle première dj-, celle
de M'N", de la différentielle seconde d'y, à mesnre que l'on
prendra d^ plus petit. En considérant un quatrième point du
polygone, on trouverait de même la ligne correspondante à la
différentielle troisième.

01. Les lignes PM, M'Q, M"N" ont, par rapport au calcul
des limites, une subordination marquée par l'exposant dont
l'accroissement h est affecté dans leur premier terme, exposant
qui est le même que celui de l'ordre de la différentielle à la-
quelle ils correspondent. On voit en effet que le rapport de
M'Q à l'M diminue sans cesse et iinit par s'évanouir, lorsque
A = o, qu'il en est de même du rapport de M"N" à M'Q; mais
que si l'on comparait ia première de celles-ci au carré de la
seconde, cl qu'on supprimât d'abord le facteur h', commun

Digilizod b/ Google

7 a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

aux deux termes du tapporl, te rapport aurait alors une limite
assignable qui serait celui de à ou de d'j-à dj-" (').

62. On voit en même temps, par ce qui précède, que le
dr

coefficient différentiel du premier ordre exprimant le rap-
port ==ï [jtg. i), donne la tangente trigonomélrique de l'angle

MTP, que fait, avec l'axe des abscisses AB, la droite qui touche
la courbe au point M, et caractérise la marche de la courbe
aux environs du point M; car si AB désigne le côté positif de
l'axe des abscisses, l'angle MTP et sa tangente seront positifs,
quand les ordonnées iront en croissant comme dans la fig. i,
ei négatifs dans le cas contraire.

Cela peut se conclure aussi de l'expression de M' Q, diffé-
rence des ordonnées consécutives et P'M', en observant
qu'il est toujours possible de prendre l'accroissement h assez
petit pour que le premier terme, £~ h, surpassant la somme

de tous les autres, détermine alors le signe du résultat de la
série. En effet une expression de la forme

AA"-p-BA^+CA'+ etc., '
dans laquelle les exposants a, p, 7, etc., sont tous positifs et
vont en croissant, peut être mise sous cette autre,

A« ( A + B hfi~«+ c li> —+ etc.).
par laquelle on voit que la partie BA^~"+ CA^N-clc, du

(•) Ceci fournil une ouplicalioii bien «impie des différents ordres d'infiniment
petits que Loibnits- admet lait. Il regardait U dilli'ienlidk première comme in-
fini ment petite 0 L'égard do l'ordonnée, ta différentielle second» comme b Uni-
ment petite n l'égard Je b différentielle première, et ainsi de suite. D'après ce

i'illlt lairr 1|>I-|||U. l'on *j.|rt |ij-mt ;iu\ ]inii[.'>, p'ii-<|lMl ni- |muiI ri^UT dans
]V*p[r — ion il.: I;i 1 lui I [h- .lu l'a 1 1 f i . r [ . I .'- - . r 1rs .■ .--El - , If in- 1rs l.-l]llr'> un A i-*t
nu dcçri le plus bas, et i|iu: h Jillèrinlii-lk- il 'n" nnliv .]iir>] conque ni, ctaul
tii'ci^sjireraciil de h lurmu d~r = <dj- (17), es! compara Mo seulement am
i-ipri-stiui* ililliTeiilir.itr- ■ Lin il.- , im .lu intruc dc-rc . par rapport il l'ac-

Oiqiiizcd By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DR CALCUL INTÉGRAL.

second fadeur, décroissant jusqu'à zéro, lorsque A diminue
jusqu'à s'évanouir, doit, avant d'arriver à ce terme, devenir
plus petite que la quantité A qui est indépendante de A (*).
Dans cet état de choses, c'est le signe de A qui détermine ce-
lui de toute l'expression, qui sera donc positive si A est positif,
et négative dans le cas contraire.
Il suit de là que la fonction y sera croissante ou décroissante,
dr

selon que ^ sera positif ou négltif.

De plus, si l'on fait attention que lorsque l'ordonnée est po-
sitive, la différence M"Q' — M'Q (fig.z) est négative ou po-
sitive selon que la courbe est concave ou convexe vers l'axe
des abscisses, et que cette circonstance doit avoir lieu quelque
près qu'on suppose les points P, 1", P", ou quelque petite que

soit h, on en conclura que le terme A', qui commence le

développement de M"Q' — M'Q, elqui peut être rendu le plus
considérable, doit avoir le même signe que la différence
M'Q' — M' Q; or, la quantité A 5 étant essentiellement positive,

il suit de ce qui précède que jj~ est négatif quand la courbe

est concave vers l'axe des abscisses, et positif dans le cas con-
traire.

L'inspection des courbes cd placées au-dessous de l'axe des
abscisses montre que les signes de doivent être pris dans

un ordre inverse quand l'ordonnée est négative, et que par
conséquent une courbe est concave ou convexe vers fore dis
abscisses, selon que l'ordonnée et son coefficient •différentiel
du. second ordre sont de signes contraires ou de même signe.

03. On suppose ordinairement comme une chose évidente,
qu'un petit arc de courbe peut être pris pour sa corde, c'est-
à-dire que le rapport de l'arc et de sa corde a pour limite l'u-
nité: celle proposition, très-importante, a néanmoins besoin
d'être démontrée, et peut l'être comme il suit.

OigiiizM by Google

j4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Le triangle rectangle MM'Q L/ï£3] donne
MM' = s/mQ+W^;

on a de plus (60 j

On peul mettre ce développemeni sous la forme

en Taisant

dx e iix' i .a da^ 1-2.3

on obtiendra

MM' = <jh'+ (/>A + PA-)' = /< v'>+(p+ÏÂp-
Menant ensuite la tangente MN, on trouvera

NQ = MQ lang NMQ = ^h = ph (62),

MN = /A'-l-/>' A' = A ^TTp~;

NM'= NQ — M' Q =— ~ — etc. =— PA'j

el l'on conclura de là

MN_4-NM' h ^J±ElZ^- = .^ l-4 'g^ ^.

MM' ^ + ^/ l+ (p + Vhf

rapport qui a pour limite

£±£=,.

Mais l'arc MOM' est toujours compris entre la corde MM' et
la ligne brisée MN + NM' : donc, à plus forte raison, te rapport

a pour limite l'unité.

64. 11 est évident que l'arc d'une courbe est une fonction de
l'abscisse; el pour avoir le coefficient différentiel de cette fonc-
tion, il faut chercher la limite du rapport -pp-i

MOM' _ MM' MOM;
pp7 - |ij>' x MM' '

Oigilized By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ' -ij

puis -j^ := ^Î+Ï/J+PÂ) 5 , dont la limite est yfi+f, tandis
que celle de - fa^r est l'unité; celle de sera par consé-

quent ^T+p [8).
Si donc on nomme z l'arc CM, on aura pour cette fonction

et dz~</dx'-\-d)-'-

Le cercle donl l'équation est

résultai qui rentre dans celui du n° 36, lorsqu'on suppose a= M

65. La différentielle de l'aire du segment ACMP [Jig. 4),
d'une courbe, s'obtient en observant que le rapport des rec-
tangles PP'QM et PP'M'N, qui ont même base PP', est égai à
-pjp' et que sa limite est par conséquent l'unité. Mais le tra-
pèze curviligne PP'M'M, qui représente l'accroissement que
reçoit le segment ACMP, lorsque l'abscisse augmente de PP',
étant toujours compris entre les deux rectangles dont on vient
de parler, son rapport avec l'un quelconque de ces rectangles
a aussi pour limite l'unité. Cela posé , il est visible que
PP'M'M _ PP'QM PP'M'M _ PP'M'M
PP- — PP' ' PP'QM — PP'QM '
et, d'après ce qui vient d'être dit, la limite de la dernière ex-
pression ci-dessus est PM X ' ou PM. En nommant donc s la
fonction de x, correspondante à l'aire ACMP, son coefficient
différentiel (8) sera

76 TilAITK I I KHI M \ii H

Danslo cercle,

ainsi, quoiqu'on ne puisse pas assigner l'expression algébrique
du segment circulaire, on parvient à celle Je sa ilifiï'rcnlielle,
par la considération des limites ; et l'on en aurait le développe-
ment en série , au moyen du théorème du n e 22, ou par un
procédé semblable à celui du n 0 ' 38.

C6. Connaissant, par le coefficient jj^i l'angle MTV, rien

n'est plus aisé que de construire la langenle MT [fig. i); mais
on se sert plus ordinairement de la sorts-tangente PT, qui se
calcule en observant que

PM dr . PM - d x rd*,,.

— ^-Z donne PT — — . ■■=■4— '.
l'I d.r Ajr dy 1 '

Le triangle PMT, rectangle en P, donne la tangente

HT = v™'-i-fr =ry/'+ap-

La considération des triangles semblables PMT et PMR
{Trig., 161), donne la sous-normale

— «S-Sf

Le triangle PMB, rectangle en P, donne la normale

Ma = vW+™' = >yM-j£

67. Voici maintenant quelques applications de ces formules.
L'équation générale des lignes du second degré étant

r *=mx+nx> {Trig., t5 7 ),

on a

dj-_ m+ 2nx _ w+aro

OigilizM D/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 77

et on lire de là

Dans le cas où n=o, la courbe devient une parabole
[Trig., 160), et alors on a seulement

9T = ix, MT = \jmx + 4

On déduirait de ces valeurs les résultats et les constructions
indiqués dans Y Application de l'Algèbre à la Géométrie, pour
les lignes du second degré.
Dans la courbe représentée par l'équation
x>—3axy+y*=o,
Ay_ qy— x*

àx~ y' — ax 7

on trouvera

PT = y'~ ax . r — 3<" 9— &
ay — x< ay — x' '

en mettant pour y' sa valeur ; et lorsqu'on aura assigné celle
de x et déterminé celle de y, l'expression de PT se construira
facilemeni(7Wg-.,68).

68. 11 est souvent plus commode, et surtout plus élégant,
de considérer la tangente et la normale par leur équation
[Trig,, i5-j ). Pour obtenir celle de la tangente, je vais chercher
en général les relations qui doivent avoir lieu lorsque deux-
lignes se touchenr. En considérant d'abord ces lignes comme
avant deux points communs, Met M' {Jig. 1), il est évident que
leurs équations doivent donner les mêmes valeurs de l'ordon-
née PM et de la différence M' Q, correspondantes à l'abscisse AP

j8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

et à son accroissement PP'. Si donc l'on entend par x, y, les
coordonnées parlLculitTos au poi 1 1 L M d;itiï la courbe proposée,
el qu'cm désigne par x', y', celles des poinis quelconques de
la ligne qui la coupe en M et en M', on aura, pour ces deuv

- A + etc. = etc. (60).

La seconde équation est divisible par fi, et lorsqu'on passe
à la limite, en supposant h = o, elle se réduitâ

mais dans celle hypothèse les deux points d' intersection se
réunissent en un seul, qui devient un point de contact pourles
lignes proposées , puisqu'elles n'ont plus que celui-là de com-
mun Il suit de là que lorsque deux lignes se louchent, on a,
pour le point de contact seulement,

r'= r , = &
1 - 7 " &x' dx

Lorsqu'il s'agit de la ligne droite, dont l'équation eside la

y'^Ax'+B {Ttig.,fy), et donne ^ = À,

les conditions du coniact de celte droite avec la courbe pro-
posée sont

y=À* + B, A = j£,

d'où l'on conclut

* dx J ûx J dx

ou

r--y= T [x--x).

D'après celte équation , celle de la normale qui est perpen-
diculaire à la tangente et qui passe par le point M, sera

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IKTÉGHAL 70

En faisant, dans ces équations, y' = a, pour déterminer l'in-
tersection de la droite avec l'axe des x, on en lire •

dy dx
La première de ces valeurs, répondant à AT — AP, est celle
de la sous-tangeûte PT prise négativement, parce que le point T
est en arrière du point P; la seconde valeur, étant celle de
AR — AP, donne la sous- normale PU positivement, parce que
le point R est au del? du point P.

69. Pour le cercle dont l'équation est
y'^x'=a,

on trouve

à y - x

Ax /'

l'équation de sa tangente sera par conséquent

y'—y=—~{x'—x), ou yy'+xx'=y'-{-x>,
ou enfin

yr'+

puisque

L'équation de la normale devient
cl se réduit à

ce qui fait voir que les normales du cercle passent par son cen-
tre, qui est ici l'origine des coordonnées [Trig., 83), et ^e qui
doit être en effet, puisque les normales d'un cercle ne sont
autre chose que ses rayons.

Passons à la courbe donnée par l' équation
x' — 3 axy-{- y>= o;
celle de sa tangente sera

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

* yiy' — axy' — axy = ayx r — x'x' — axy + X*.
Si l'on met pour y sa valeur, et qu'on réduise, on obtiendra
[y 1 — a») y'+ (*'— «r) = axy.

70. Si l'on se proposait de mener, par un point donné pris
hors d'une courbe, et dont* serait l'abscisse et B l'ordonnée,
une tangente à cette courbe, il est évident qu'il faudrait sub-
stituer a au lieu de x', et p au lieu àey', dans l'équation de la
tangente, qui deviendrait alors

P-r=&— ).

et servirait, conjointement avec l'équation de ta courbe propo-
sée, à déterminer les coordonnées x et j-du point de contact.

Je prends le cercle pour premier exemple ; l'équation de sa
tangente étant

yy>+xa?=a? (69),

on aura

fo-+*x = a'.

Cette équation combinée avec celle du cercle déterminera les
coordonnées x et y des points de contact, ou, ce qui revient
au même, ces points seront à la rencontre du cercle avec la
droite exprimée par l'équation

$y +a .x = a>{Trig., io5).
Dans la courbe correspondante à l'équation
x' — 3 axy 4-^=0,
le point de contact se trouverait en cherchant l'intersection de
cette courbe avec la ligne du second degré résultante de l'é-
quation

p ( y—ax) + . {x'— ay) = axy.

71. Pour mener une droite qui touche une courbe donnée, et
qui soit en même temps parallèle à une droite donnée de posi-
tion, ou qui fasse, avec l'axe des abscisses, un angle dont la tan-
gente soit représentée paru, il suffira de poser ~^—a[Trig.,&());

DE CALCUL Dli FÉHENT1EI, £T DE CALCUL IMTÉCT.U,. Si

combinant celte équation avec celle de la courbe proposée, on
déterminera les valeurs de x et de y qui conviennent au point
de contact demandé.

Dans le cas où lu courbe proposée serait la parabole ordi-
naire, on aurait

dr m
r'= mx, -~- — — = a,

J ÛX rty

ce qui donnerait

72. Dans ce qui précède, les coordonnées x ely ont élu
supposées à angle droits mais il est aisé de voir que si elles
faisaient un angle quelconque, le rapport de M' Q à MQ aurait
encore pour limite celui de PM à PT, et l'équation de la tan-
gente ne changerait pas de forme, tes triangles MPT et MPIt
ne seraient plus rectangles, mais on connaîtrait dans le pre-
mier les côtés MP, PT et l'angle compris MPT, et dans le se-
cond le coté MP avec les angles MPIt et PMH, ce dernier étant
complément deTMP.

73. En cherchant les positions que prend la tangente d'une
courbe proposée, lorsque le point de contact s'éloigne de plus
en plus de l'origine des coordonnées, on peut reconnaître si
celle courbe a, comme l'hyperbole, des lignes droites pour
asymptotes ( Trig., i63), et déterminer leur position.

On voit en effet que dans une courbe MX fjîg. 5), qui a une
asymptote RS, à mesure que le point M s'éloigne de l'origine,
la. tangente MT s'approche de l'asymptote, et les points T et D
marchent respectivement vers les points R et E, en sorte que
Ail et AE sont des limites que les valeurs de AT et de AD ne
sauraient franchir, ni même atteindre, mais dont elles peuvent
approcher aussi près qu'on voudra. H suit de là que pour trou-
ver si une courbe a des asymptotes, il faut chercher si les ex-
pressions de AT et de AD, relatives à celte courbe, sont sus-
ceptibles de limites; et lorsque cela arrivera, ces limites étant
construites, donneront les deux points R et E, par lesquels on
mènera la droite RS, qui sera l'asymptote demandée.

Les expressions de AT et de AD se tirent de celle de PT; la

6«id. 1. .U

DigiiizM Of Google

'—rit

8a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

première, en observant que AT = AP — PT; la seconde, pai
le moyen des triangles semblables ADT ei MPT {* ] : on les dé-
duit aussi de l'équation (le la tangente (68), en faisant succes-
sivement /'=o et x'= a [Trig., 87), On trouvera
dj

7 Ay X A X
Si, l'une des quantités Alt ou AE restant finie, l'autre deve-
nait infinie, il est évident que l'asymptote serait parallèle à l'axe
sur lequel se trouve celte dernière.

Pour ne manquer aucune des asymptotes que doit avoir la
courbe proposée, il faut faire successivement x et y infinis, et
substituer dans les expressions de AT et de Al) chacun des ré-
sultats différents que donnent l'une et l'autre hypothèse. Lors-
que AT et AD seront infinies en même temps, on en conclura
que la courbe proposée n'a pas d'asymptote.

Si l'on faii attention que AD— — AT ^* on verra ve ces
deux lignes deviennent nulles en même temps, excepté le cas
dr

où serait nu) ou infini. Quand elles s'évanouissent, l'a-
symptote passe par l'origine des coordonnées; mais comme ce
n'est encore qu'un point de cette asymptote, il faut, pour en
déterminer la direction, chercher la limite de l'expression iî-

qui représente la tangente de l'angle MTP (02), et l'on obtient
la tangente de l'angle SRB..

14. Ce qui précède étant applique à l'équation

f= mx + nx 1 ,

conduit à

Les derniers membres de ces équations pouvant être mis sous

que dans la fi C urc la liene AT csl iii^alïre.

DiqilizKi By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL.

:s formes

/-+„.

leurs limites respectives, dans le cas où l'on suppose x inilni,
sont

— — = AR et ~ — Ali.
2/1 a ^ n

Si n éiait nulle, les expressions de AT et de AI) deviendraient
infinies en même temps que x, et la courbe proposée n'aurait
point d'asymptotes; elle n'en aura pas non plus, lorsque 7t sera
négative, parce qu'alors son équation n'admettra point pour x

Dans la courbe représentée par l'équation

x'—3axy + y , = o,

on a

et pour trouver la limite vers laquelle tendent ces expressions,
à mesure que y augmente, il faudrait le remplacer par sa li-
mite, et connaître par conséquent sa valeur enar; mais on peut
suppléer à cette valeur, dans l'exemple présent, par un artifice
analytique fort simple. Si l'on fait y= ix, l'équation proposée

devient divisible par x'; on en tire x~ y~i et il est facile

do voir alors que la supposition de / =— i rendra x infinie, et
donnera / = — x. En changeant y en —x dans les expressions
de AT et de AD, puis prenant les limites, on aura

AR = — a=AE;
et menant par les points It et E (Jig. G), construits avec les va-
leurs précédentes, la droite HE, elle sera l'asymptote des bran-
ches AY efrAZ.

Dos courbas Dscnlatricaa.

73. La tangente d'une courbe étant la limite de tomes les
droites qui rencontrent cette courbe en deux peints, on peut,
fi

DigiiizM Of Google

3{ TRAITÉ ÉLÉMÇNTAIHE

par analogie, chercher en général parmi toutes les lignes d'une
espèce donnée, ta limite do celles qui coupent la courbe pro-
posée en un nombre donné de points. On sait, par exemple,
qu'il faut trois points pour déterminer un cercle; on peut sup-
poser que ces trois points soient [iris sur la courbe proposée,
el chercher à quel cercle eu particulier on arrivera, si les trois
points viennent à coïncider. Ce cercle, qui se nomme le cercla
oscillateur, sera la limite de tous les autres, comme la tangente
est celle de toutes les sécantes; mois le caractère que je viens
de lui assigner, quoique suriisaul pour le déterminer, n'offrant
rien qui puisse, à l'œil, le distinguer des cercles simplement
tangents, j'y substituerai les considérations suivantes (*).

Un a vu, dans les Eléments de Gêométrir , qu'entre 1111 cercle
et sa tangente il ne pouvait [tasser aucune autre droite, mais .
qu'il y passait une indnité. de cercles. Ile même entre une
courbe* quelconque et sa tangente, on m- peut foire passer

aucune autre droite; mais on peut y* faire pas-er un unité

de cercles de rayons di'Icrents, ayaut lu menu- tangente que
la courbe, et parmi lesquels il doit s"en n mu cr un qui. dans
les environs du point dir contari, s'appro h pins île In courbe
proposée que tous les autres.

Pour exprimer ces considérations analjliquement, soient x
et y, x' et /, x* el y les coordonnées de trois courbes di-
verses ayant un point commun, c'est-à-dire pour lequel on ait

*=*'=*', r=y=y.

Si l'on prend d'abord la différence des séries
dr A d : y h' d'r h'
r + dx 7~ i ~dx~ 1 T^ + d? TX3 + elC- '
j d/ A à* d'y A»

qui expriment les ordonnées des points correspondants a
l'a tarisse x-+ fi, dans les deux premières courbes, on trouvera

DE CALCUL blVTÉRElVTlEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 85

en général

\d* Ax') ix"J i.a

pour l'expression de In dislance N'N [fig. i) de ces courbes
dans le sens des ordonnées ; et, en remplaçant y et ses coef-
ficients différentiels par f et ses coefficients différentiels, on
aura l'expression de la distance N'N entre la première courbe
et la troisième. Soient î* et 4* ces deux distances : leurs ex-
pressions seront donc de la forme

I^A'i + B'^ + C'j-tj + cic,

J-=A-i + B-i + C--51, + «tc.

■ 1.3 1.2.3

Cela posé, dans la comparaison des séries précédentes, on
pourra supprimer le facteur h, commun à tous leurs termes;
et pour que #<C,i°, c'est-à-dire que la seconde courbe s'ap-
proche plus de la première que la troisième, il faudra que

A'+B'^+C ^-h etc. < A*-+- B" ^ -+- C £g+ etc.

Celte condition, devant avoir lieu quelque petite que soit h, dé-
pendra des valeurs relatives des premiers termes A' et A" (G2);
mais si l'on posaitA'=o, elle deviendrait

B' £ + C ^ + etc. < A" -t- B' * -+- C ~ -+- etc. ,

et le premier membre de cette inégalité, s'évanouissant lors-
que h = o, ce que ne fait pas le second, serait nécessairement
plus petit que celui-ci, du moins pour une valeur de h très-
petite, tant que A" ne .serait pas nul : ainsi la seconde courbe
s'approcherait toujours plus de la première que la troisièn:e.

Mais si l'on avait en même temps A"=o, la condition à
remplir, dans la situation respective assignée aux trois courbes,
serait

B'^-i-C'^ + eic.<B"~ + C"^+etc.i

Oigiiizefl By Google

36 TB.11TK Éï.ÉMKVrMRK

cil y supprimant le facteur commun -> clic deviendrait

et si l'on posait 11' — o, elle aurait lieu tant que B" ne serait pas
nul.

Cet examen, qu'on peut pousser aussi loin qu'on voudra,
fait voir que si l'expression de S 1 commence par un terme où
l'exposanl de h surpasse celui que porte cette lettre dans l'ex-
pression de 3", on aura toujours J'< 3", h étant très-petite.

Quand la seconde courbe est telle, qu'au point M on a les
n équations

*T? — dx' d*" — d*> Ax"-•~<^3?-• ,
les n — i premiers termes de l'expression de 3' s'évanouissent,
et elle commence alors par le terme affecté de h". Si donc la
troisième courbe n'établissait l'égalité entre y", y et leurs
coefficients différentiels que jusqu'à l'ordre n — a inclusive-
ment, l'expression de 3" commencerait au terme affecté de
If-'; on aurait f<^S", et par conséquent la seconde courbe
s'approcherait plus de la première que la troisième.

76. Supposons maintenant que la seconde courbe soit seule-
ment donnée d'espèce, c'est-à-dire que les constantes qui en-
trent dans son équation soient indéterminées; on pourra, par
le moyen de ces constantes, satisfaire à un pareil nombre des
conditions indiquées ci-dessus, et la courbe déterminée de
cette manière sera telle, qu'aucune des courbes qui ne rem-
plissent pas autant de ces conditions ne pourra passer entre
elle et la première courbe.

Soii, pour premier exemple, l'équation générale de la ligne
droite

/ = ajr'-h (3, qui donne ||^ = a;
en changeant x' en .r, les équations
y = y, jjij7= deviendront y= ax-f- p, — *,

oigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DK CALCUL LYNÎURU, 87

desquelles on tirera les valeurs de * et de p, cl Ton aura

pour l'équation de la tangente, comme dans le n° 68.
Si la courbe MN' esi le cercle représenté par l'équation
(/-p)'= 7 ' {Trig.,tf),
en ia différemiant deux fois de suite, il en résultera

cl il faudra qu'en changeant x' en x, dans ces trois équations,
elles donnent

d / _ d y d'/_d«,r

~ ~ r ' d ? — d-r ' d X» ~ d X> '
ou, ce qui revient au même, qu'elles soient satisfaites par les
valeurs de ^, j-, ''.>'> à 'y> relatives au point M dans la première
courbe ; on aura donc

(*-*)'+ (r-Pl^T*.

(*-«)d i r-r-( r -p)d r = o;
djc»-|- d/'H- ( j— p) d'^= o;
mais comme les qunmiiés dérivées rie In courbe proposée sont
déterminées, puisqu'elles appartiennent à un point particu-
lier M, il faudra que les quantités a, 7 reçoivent des valeurs
propres à vérifier les équations ci-dessus.

En tirant des deus dernières équations les valeurs de y — p
et de x — a, pour les substituer dans la première, on trouvera
Ax'-t-dy

77. Toutes les courbes qui ont un point commun, et dont
les ordonnées ont à ce point le même coefficient différentiel, y
ont une tangente commune et se touchent par conséquent;

Oigiiized D/ Google

F8 TRAITÉ ÉLÉMF.KTA1RB

mais elles peuvent se distinguer les unes des autres, comme
le cercle qu'on vient de déterminer se distingue de tous ceux
qui n'approchent pas aussi prés de la courbe proposée. C'est
pour cela que les contacts se divisent en ordres, suivant te
nombre des coefficients différentiels consécutifs qui reçoivent
la même valeur dans chaque courbe.

Le contact le plus élevé de ceux que puisse avoir en général,
avec la courbe, proposée, une courbe donnée seulement d'es-
pèce, se nomme oscillation ; son ordre est marqué par le nom-
bre de constantes moins une que renferme l'équation de cette
courbe. Ainsi la tangente, qui ne peut avoir en général qu'un
contact simple ou du premier ordre avec une courbe donnée,
est une osculatrïee du premier ordre. Le cercle, dont l'équa-
tion renferme irois constantes, peut avoir, ou un contact du
premier ordre, ou un contact du second; mais ce dernier, étant
le plus élevé, prend le nom d'osculalion, et distingue le cercle
oscillateur de tous les cercles simplement tangents.

Une particularité remarquable du cercle oscillateur D'MN',
c'est qu'en général il coupe la courbe proposée en même
temps qu'il la louche. Cela sa voit par la forme île l'expression
de J' dont le premier ternie étant affecte de h', puissance im-
paire, change de signe avec h, et montre par conséquent que
sur les abscisses x — h et x -t- h, le cercle oscillateur est placé
dans deux sens différents, relativement à la courbe proposée
età l'axe des abscisses, c'est-à-dire au-dessous de la première
d'un coté du point de contact, et de l'autre au-dessus; ce qui
n'a pas lieu pour la tangente el les cercles simplement tangents,
puisque l'expression de i" commence alors par le terme affecté
de k:

La même considération fait voir que si le contact de deux
courbes est d'un ordre pair, il doit y avoir en même temps in-
tersection.

78. Le nombre des cercles simplement tangents est infini
pour cliaquc point d'une courbe quelconque; car si l'on mène
par ce point une normale, tous les cercles qui ont leur centre
sur cette normale, et qui passent par le point pris sur la courbe
proposée, ont la même tangente que celle courbe et la toucheni

Digitized by Cooa

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 89

par conséquent; mais ce qu'il faut bien remarquer, c'est que
les uns la touchent en dedans, les autres en dehors ou l'em-
brassent, el que le cercle osculatcur sépare les premiers des
seconds.

En effet.'si l'on affecte lés coordonnées x', y aux cercles
simplement tangents, comme ils ne rempliront que les con-

eipression dont le signe dépend de celui de

rcle tangent sera au-dessous de la courbe,

11 -dessus dac

cas contraire; mais entre les valeurs de a, p, 7, qui convien-
nent à l'un ou à l'autre de ces cas, se trouvent celles qui repon-
dent à

<\x°'

et qui, d'après ce qu'on a vu (70), donnent le cercle oscula-
teur.

Cette manière de le déterminer rend pour ainsi dire sensi-
ble à l'oeil la relation de sa courbure avec celle de la courbe
donnée, puisque la courbure de celte dernière est évidemment
moindre que celle des cercles qui la louchent en dedans, et
plus grande que celle des cercles qui la louchent en dehors.
Aussi prend-on pour mesurer la courbure de la courbe propo-
sée, dans un point quelconque, celle du cercle oscillateur a ce
point; et son rayon se nomme en conséquence rayon de cour-
bure.

Voici malmenant comment on compare les cercles par rap
port à leur courbure,

79. On prend, en général, pour la courbure de l'arc AER
[fis- 8). d'une courbe quelconque, l'angle 1)CB formé par les

[)0 TRAITÉ ÉLÉMESTAIim

deux tangentes menées aux extrémités de col are. Dans le cer-
cle, l'angle IO est égal à l'angle AOB, formé ]>ar les rayons OA
et OB, menés aux extrémités de l'are, et par conséquent le
même pourlotis les arcs égaux, pris dans le même cercle. C'est
ainsi qu'il faut eiuendrdque la courbure du cercle est uniforme.

Ccfa posé, si l'on compare deux arcs'de même longueur dans
deux cercles différents, eu nommant a celte longueur, r et r'
les rayons des cercles, ir le rapport de la circonférence au dia-
mètre, on aura pour le nombre de degrés centésimaux de l'arc
dont la longueur est «, sur chacun de ces cercles, les expres-
sions

qui sont dans le rapport de - à -p, ou :: r' : r, c'cst-a-dire en
raison inverse des rayons des cercles donc l'arc proposé fait
partie.

Quant aux différents arcs du même cercle, leur courbure est
évidemment en raison de leur longueur; et si l'on prenait pour
unité de courbure celle do l'arc de même longueur que le
rayon, dans le cercle dont le rayon est i , la courbure de l'arc a,

dans le cercle dont le rayon est r, serait mesurée par -•

élant, ainsi que son rayon y, des fonctions de .r, varient à cha-
que point de la courbo proposée, l'ensemble de toutes les po-
sitions de ce centre forme une courbe KZ [Jig. y), dont les
coordonnées sont a et p, et qui jouit de plusieurs propriétés
remarquables, qu'on déduit aisément des équations

i". La relation entre a et p, ou l'équation de la courbe FZ,
s'obtient en éliminant .r et r entre i'équiiiion de lu courbe pro-
posée et les équations (2) et {3), après qu'on a mis dans celles-
ri les valeurs de Ay ei de A'y-

DE CALCUL DIFFERE

a". La deuxième équation, donnant

est celle de la normale menée du point dont les coordonnées
sont a el p (G8), c'est-à-dire du point O de la courbe FZ, au
point M de la courbe proposée I)X.

3°. En différentiant les deux premières équations non-seule-
ment par rapport à x, y, mais encore par rapport aux quauliiés
a, p et i, eu tant que ces dernières sont des fonctions de x, on
aura

{ x ~ a )d x + ( r —Ç)4jr- (*-«Jd« — (/— p)dp = 7 «Jv.
d*"+d/>-r-(r— P) d '/— dadar— dpdj-=o.
Les équations [3) et (3) réduisent eelles-ci à

(4) _(*_«) d.«-{ r - p)dp = i-dV,

(5) — d«d;r — dpdr = o;

ia dernière donne — y^> expressionquicbangeréqualion

d'où il suit que la normale MO est tangente à la courbe don"
les coordonnées sont a et p (!>etri8), c'est-à-dire à la courbe FZ.

4°. Si l'on met cette dernière valeur do }• — p dans les équa
lions [1) el (4), et qu'on élimine ensuite x — x, on aura

dy'^da'-f-dp 1

eoeflicient différentiel de 7, par rapport à la variable a; or,
celle expression est aussi celle du coefficient différentiel de
l'arc de la courbe dont les coordonnées sont a el p (64) ; et il
lésulle de celle identité, que le rayon du cercle oscillateur
varie parles mêmes différences que l'arc de la courbe FZ (23),
propriété qui mérite la plus grande attention.

En effet, le rayon MO du cercle osculaieurau point M, étant
langent à la courbe FZ, a nécessairement la même direction
que celle que prendrait un lil enveloppé autour de la convexité

OigiiizM by Google

tâA. » traité élémentaire
île celle courbe, lorsqu'on le développant, on scrail parvenu au
point 0. On remarquera qu'en poursuivant le développement
«le O en 0', ce fil s'allongerait d'une quantité égale à l'arc 00'
de la courbe FZ; cl comme, par ce qui précède, la différence
dos rayons OM ci 0' SI' est aussi égale au même arc 00', il s' en-
suit que le boni M du fil se trouverait encore en M' sur la
courbe proposée, qu'il n'aurait pas quittée dans le développe-
ment effectue depuis l'un de ces points jusqu'à l'autre : on peut
donc regarder la courbe DX comme engendrée par te dévelop-
pement de la courbe FZ.

Ce procédé a une grande analogie avec la description du cer-
cle: c'est la courbe FZqui fait l'office de centre ; et le rayonMO,
au lieu d'être constant, varie pour chaque point. La courbe FZ
s'appelle la développée, la courbe DX, la développante, elle
rayon du cercle osculaieur, rayon de la développée (").

Il est à propos de remarquer aussi que la développée est la
limite des intersections des normales de la courbe proposée,
prises deux à deux consécutivement, puisque le point K, in-
tersection des deux rayons MO cl M'O', qui sont perpendicu-
laires à la courbo DX, en M ci M', s'approche d'autant plus de
la courbe FZ, que les points M et M' sont plus voisins l'un de
l'autre.

On déduirait de celle dernière considération toute la théorie
précédente.

81. Je ne m'étendrai pas beaucoup sur l'application des for-
mules

(d^+d.v'l^

7 dard'/ '

,_ d r {djr'+d r ')

x dTdy '

(') C'est par celte dernière considératioo qu'Haye™ n dilonninc la curtlu
oscillateur, qu'il a remarqué lo premier; cl ello peut conduiru misai mx iur-

l.Ucur delà théorie générale de» contacts des courbes, dont ello doit faire partie,
l'sl Iri'p burin- p.inr IVlnl mluel île lu science.

Olgiiizad by Google

>e calcul i\ i i : \i g3
parce qu'elle n'a aucune difficulté, lorsqu'on possède bien le
mécanisme du Calcul différentiel.

La valeur de 7 étant susceptible du double signe ±, on peut
demander lequel des deux il faul employer; car il est bien vi-
sible qu'en général, à ebaque point de la courbe, il n'y a qu'un
seul rayon de courbure; et ce rayon, n'étant pas dirigé suivant
l'ordonnée ou l'abscisse, excepté dans quelques cas particu-
liers, n'a pas, à proprement parler, de signe par rapport à ces
lignes. La détermination de celui dont on l'affecte ordinaire-
ment dépend dé la convention qu'on a établie sur le sens de
la courbure par rapport à la normale. Si l'on veut que le rayon
de courbure soit positif pour les courbes dont la concavité est

tournée vers l'axe des abscisses, comme la valeur de est
&x*

alors négative (62), il faul affecter l'expression de7 du signe — ;
et dans ce cas, le rayon de courbure deviendra négatif si la con-
cavité de la courbe passe du côté opposé, parce qu'il change

de signe avec jjjï Pour se conformer à cette convention, on

pourra supposer, dans les applications,

_ (dj'-Hdj-') 7

àx&y

L'équation générale des lignes du second degré,

_ 3 nyùx'— [m + a nx) d x d y _ [4 nf— [m + a ».r) ' ] d x
y— 3J .. — 4^,

il en résultera

Si l'on remplace y par sa valetir, on aura

_ [4 (m* + (»■+.«...)■]■'

OlgiiizoO 0/ Google

g4 TflAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Telle est l'expression générale du rayon lie courbure dans les
lignes du second degré; on la particularisera en donnant à m
et à n les valeurs qui rou viennent àdw<|iie espèce de ces lignes
[Tfig..tBj).

Celte expression se réduit à ^ m, lorsque x= a : la courbure
des lignes proposées est donc, à leur sommet, la même que
celle du cercle décrit d'un rayon égal au demi- para m être
(Trig.,138).

Eu rapprochant la valeur de 7 de celle qu'on a trouvée dans
lcn u 67 pour la normale, on verra que 7 = r^' ou 1 UC le rayon
de courbure, dans les lignes du second degré, est égal au cube
de fa normale divisé par le carré du demi-paramètre.

Itans la parabole où n= o, on a seulement
ï

_ (iii'+jiw)'

7 2 m'

On appliquerai! de même les expressions générales de x — x
et dej— p, ei niellant pour y sa valeur, on aurait deux équa-
tions en x, = et p, desquelles, éliminant x, on déduirait l'équa-
tion en a et p, appartenant à la développée. Je n'effectuerai ce
calcul que pour la parabole, tin a dans ce cas

cl il vient

x-* = -HL 1>. J =
on conclut de là

r m> m ■>.

mettant, dans chacune de ces équations, pour y sa valeur
nPx r , on arrive à

DK CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IVI'HiHAT,. ip

prenant ensuite la valeur de x dans le second résultat, pour la
substituer dans le premier, on obtient

-iH-). r-^c-i-y-

la dernière de ces équations appartient à la développée de la
parabole.

Si l'on j change a — - m en ai, ce qui porte l'origine des

abscisses en 1) [Jig. 10J, on aura celle équation très-simple,

p» = l£jL , qui montre que la courbe DFest une des paraboles

du troisième deçré (*), composée de deux brandies DF cil)/,
dont la première engendre, par son développement, la brandie
AX de la parabole ordinaire XAar, cl la seconde prodvit la
branche Ai.

82. Il faut observer que, pour la description de la parabole
XAi\ par le développement de la courbe F» /, te iil enveloppé
autour de l'une ou de l'autre dos branches DF et 1)/ doit avoir
au point D, dans le prolongement de la tangente BP, une lon-
gueur AD égaie au rayon de courbure au point A, c'est-à-dire
à la moitié du paramètre de la parabole; tout autre point, tel
que I, pris sur ce fil, produirait une courbe différente. Si le
point 1 tombait sur le point D, le rayon de courbure de la
courbe décrite alors serait nul à son origine, et par conséquent

On voit aussi que, puisque la longueur de l'arc DF est égale
à la différence entre le rayon de courbure correspondant MF
et le rayon de courbure AD qui appartient à l'nn^iiie. la courbe
FD/cst rertijitrb/e, c'est-à-dire qu'on peut assigner des lignes
droites qui soient de la même longueur que ses arcs.

Celte remarque est générale, car puisqu'on peut toujours
parvenir à l'expression du rayon de courbure des courbes algé-
briques, les développées de ces com bes soni toutes rectifiables.

(•) L'équation J* = nu «tant giniMliiéa tliul : fl = nir, rsprésenu uns

famille île courbes liont h parabole nrditiair.! n'est [ii'un m particulier; on lui
Homme, aussi paralolei , mai; 011 les dilUnnua pur l'exposant de leur llegro.

Oigiiizod by Google

96

TRAITÉ ÉLÉMENT MUE

Recherche des pointa singuliers Ses courbes , et eiamen des
valeurs particulières que les coefficients différentiel!! prennent
dans certains cas.

83. On appelle points singuliers (l'une courbe ceu\ dans les-
quels elle offre quelque circonstance remarquable. Une grande
partie de ces circonstances se rencontrant dans h famille de
courbes représentée par l'équation irès-simple

y= b + c{x — a}",
nous allons discuter particulièrement celte équation, en rap-
prochant toujours les considérations géométriques des consi-
dérations analytiques, pour éclaircir les unes par les autres.

La première question qui se présente est la détermination
de la marche des valeurs des ordonnées y, pour savoir si elles
croissent ou décroissent indéfiniment, ou bien si lcuraccrois-
sement s'arrête lorsqu'elles ont atteint un certain degré de
grandeur, et se change en dëcroissement, ou bien enfin, si,
après avoir atteint un certain degré de petitesse, leur décrois-
sèment se change en accroissement. La valeur qui a lieu dans
le passage de l 'accroissement au décroisse mem, étant plus
grande que celles qui la précèdent et qui la suivent immédia-
tement, s'appelle un maximum; le minimum est celle qui ré-
pond au point où le décroissemem se change en accroisse-
ment; celle-ci est par conséquent plus petite que les va-
leurs qui la précèdent et qui In suivent immédiatement: je
dis immédiatement, parce qu'il j a des fonctions pour les-
quelles ces alternatives ont lieu plusieurs fois.

On a déjà vu, dans le n° 62, que les ordonnées positives

d'une courbe sont croissantes tant que ~ a une valeur posi-
tive, et qu'elles sont décroissantes dans le cas contraire. Il suit
de là qu'au maximum ainsi qu'au minimum, le coefficient dif-
férentiel jj^ change de signe: il va du positif au négatif dans
le premier cas, et du négatif au positif dans le second.
L'équation prise pour exemple donne en général

^ = mc fx-a)"-,

DE CALCUL DlFFÉltESTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 07

quantité dont le signe change avec celui de* — a, ou se con-
serve le môme, suivant la nature de l'exposant m.

i°. Si cet exposant est un nombre pair, m — i sera un nom-
bre impair, et (x — a]"-' sera négatif quand x<a, positif
quand x>a; ainsi il y aura minimum lorsque x = a, ce qu'on
peut vérifier immédiatement sur la fonction y. En y faisant
x = a — A et* = a-(- A, on obtiendra, dans l'un et dans l'au-
tre cas, y=b + cA", valeur ;> b qui répond à x = a.

dr

Cette dernière valeur, donnant ~ = o lorsque l'exposant

m — i est positif, montre que la tangente est parallèle à la ligne
des abscisses, ce que représente tejig. n, au point M dont
l'abscisse AP = a, et l'ordonnée PM = b.

Si la quantité c est négative, ce qui donne y=b — c{x — o)",
tout restant d'ailleurs le même, le point M {Jig. ia) est un
maximum, et la tangente demeure toujours parallèle à l'axe des
abscisses.

2°. Il n'y aurait ni minimum dans le premier cas, ni maxi-
mum dans le second, si l'exposant m était impair. Alors m — 1
étant pair, [x — a)"-' garderait toujours le signe -+-, quel que
fût celui de x — a; et en effet, si l'on pose successivement
x = a — A, x = a + A, on trouve

y=b — cA", y—b~\- cA",
valeurs, l'une <C 6, et l'autre >• 6 qui répond àx=a; cepen-
dant on a encore ^£ = o : ce caractère n'indique donc pas né-
cessairement un maximum ou un minimum.

Au point M [fig. i3), où x = a, la tangente est bien encore
parallèle à l'axe de abscisses, mais la courbe offre de plus une
autre circonstance : sa concavité change de sens, ce qu'on voit
par le changement de signe du coefficient différentiel du se-
cond ordre (62); car on a

£—(._).,.-.

et m — 2 étant un nombre impair, [x — a)" -1 passe du négatif
au positif, quand on va de ar< a b x > a. La figure de la courbe

gS TRAITÉ ÉLÉHflKTAlRe

en M s'appelle alors inflexion; la tangente MT y coupe la
courbe en même temps qu'elle la touche.

3°. Si m était une fraction de numérateur pair ei de déno-
minateur impair, qu'on eût, par exemple, m =j» il s'ensui-
vrait

ï c Lr— aî*~'- 2C

quantité qui change encore de signe avec ^ — a : et il y a en
effet minimum; car soit qu'on change reno — À ou en a -(-A,

on trouve toujours /= b-\-ch', valeur > ; mais alors la va-
leur x = a, au lieu de faire disparaître jj^> le rend infini. Cela
tient à ce que, si une quantité entière ne peut changer de signe
qu'en passant par zéro, une quantité fractionnaire, lorsqu'elle
change de signe par son dénominateur, doit dans l'intervalle
devenir infinie. L'expression - > par exemple, donne successi-

lorsqu'on y fait x = p, x = o, x = — p.
Considéré sur la fig. i4. ce minimum présente une forme

différente de celui de la flg. 1 1 ; car, ^devenant infini, la tan-
gente MT est perpendiculaire à l'axe des abscisses. On voit
d'ailleurs par l'expression

S— ri-c

9 (*-«)■

que ce coefficient différentiel ayant une valeur négative quelle
que soit x, la courbe tourne toujours sa concavité vers l'axe
des abscisses, et prend par conséquent la forme indiquée dans
la figure.

Le point M, où la courbe s'arrête brusquement à la réunion
des parties DM et EH, se nomme rebroussrnient, et se distingue
assez do point M de UJig. 1 1; mais cependant il doit ëlre com-

DE CAlXuC DU I ÉUEVTIliL ET DE CALCUL INTÉGÏÏAL yy

pris dans l'espèce du minimum.; car si l'on dressait une table
des valeurs nu m (Tiquer des ordonnées de la courbe DME, on
no verrait autre chose dans celle table, poura^n, qu'un nom-
bre plus petit que le précédent et le suivant, ce qui est bien un
véritable minimum.
Il y a un maximum analogue ; l'équation

en fournil un exemple [fig- i5).

Ainsi, pour donner une rt^le qui fasse connaître, sans ex-
ception, tous les points où les ordonnées d'une courbe, de
croissantes deviennent décroissantes, ou vice vend, il fout

prescrire d'égaler à zéro oh à Finftni l'expression de ~ : il y
a u ra maximum si la ualeurde ce coefficient passe alortdu po-
sitif au négatif, minimum dans le vas contraire. Il n'y aurait
ni maximum ni minimum s'il n'y avait pas de changement de
signe, ce qui arrivera toutes les fois que le facteur qui s'éva-
nouira, soil au numérateur, soit au dénominateur, aura pour
exposant un nombre pair ou une fraction de numérateur pair,
81. Continuons l'examen des cas que présente l'équation
r = b-k-c[x — a)". On vient de voir ce qui arrive quand m est
une fraction dont le numérateur est pair et le dénominateur
impair.

Si le contraire a lieu, que m = ^, par exemple, l'équation

y=b±c[x-af,

a cause que [x — a) T =!/(x — a)' est une expression radicale
susceptible du double signe ±; cl comme celle expression
devient imaginaire pour x<^a, le point M (^g-. 16) offre la
réunion de deux branches DM et EM, placées l'une au-dessous
de l'autre sur les mêmes abscisses, et touchant la ligne MP,

puisque ^ est infini lorsque x = a. Quant à jj^> infini aussi

dans ce cas, il a, lorsque x > a, deux valeurs réelles, l'une cor-
respondante à la branche ME, et de signe contraire à celui do
7-

Diçiitized by Google

1 ou TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

l'ordonnée, l'autre correspondante à lo branche DM, et de
même signe que l'ordonnée, de sorte que la première de ces
branches est concave vers l'axe AB, et la seconde convexe.

11 nous reste encore à supposer m une fraction dont le nu-
mérateur et le dénominateur soient tous deux impairs, qu'on
ait, par exemple,

r=»+«(«-«)*(")-

Ici l'ordonnée y est réelle avant comme après le point M
1 1 ) • ^ élant infini, 'a courbe touche à ce point la ligne
PM, et^i changeant de signe en passant de*<aàa:>ii,
il y a au point M une inflexion où ce coefficient différentiel est
infini comme dans les cas précédents, quoique les formes
soient très-différentes.

Dans tes trois derniers exemples, on a pris m <i: le cas
contraire, m >i, ne donnerait pas de formes nouvelles; et pour
s'en convaincre, il suffit de voir que l'équation proposée, ré-
solue par rapport à x, serait

qui revient au changement de /en x, et réciproquement. Tout
se passe par rapport à l'axe des x, de même que par rapport à
l'axe des y, dans les jig. i4-'7 : c'est comme si on avait fait
faire un quart de révolution a ces figures.

Ainsi le pointMdcla/g;. 16, qui est une limite de ia courbe,
dans le sens des abscisses A P, serait un minimum de la varia-
ble x, considérée comme une fonctjon de y: c'est la jig. 1 1,
retournée d'équerre sur la droite.

Il faut observer que les points de minimum et de maximum,
marqués sur les jig. 1 1, 12, 16, dépendent de la position de ta
tangente, par rapport aux axes des coordonnées, et qu'il n'en
est pas de même clos inflexions et des rebroutsementt, qui sont

{*) Les fractions dont les (ermm sont paire doitent *lrc réduites à leur plus
simple ciprcssion , rt miiriral ainsi dans l'un des trnis cas indiques ci-dcuni.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL, loi

inhérents à la courbe, et subsistent toujours, de quelque ma-
nière qu'on change la position de ces axes.

Dans les rcbroussenicnts indiqués (fig. 14 et i5), les deux
branches se touchent par leur convexité; mais il arrive quel-
quefois que l'une embrasse l'autre : l'équation
[y—

en offre un exemple. Si on la résout par rapport a y, on trouve

et l'on aperçoit aisément que les deux branches de courbes
fournies par les valeurs de y se réunissent au point A [fig. 18)
correspondant à x=o, et qu'elles ne passent point dans la

partie des abscisses négatives, puisqu'alors le terme x' devient
imaginaire; mais les expressions

font voir qu'en A les deux branches onl pour tangente com-
mune l'axe des x, et qu'elles tournent toutes deux leur con-
vexité vers cet axe, puisqu'en faisant x = o, le coefficient dif-
férentiel du premier ordre est nul, et celui du second est posi-
tif. Ce point est appelé rebroutsement de la seconde espèce,
pour le distinguer des autres.
Il est à remarquer que le coefficient du troisième ordre
d-r .53i ~{

Té=± X ,

devient alors infini.

Il y a aussi des courbes où les branches qui se louchent, s'é-
tendent de chaque côté du point de contact, soit en opposant
leurs convexités (Jig. 19), soit en s'embrassanl {fig. 20} (*).

85. Quelquefois les branches des courbes, au lieu de se réu-
nir en se touchant, se coupent, et onl chacune leur tangente
particulière : en voici un exemple.

(*) F<tr« lo Traité du Citai ilffèrtttlti ri J- Calcul Migrai, loroo III,

Oigiiized D/ Google

loa TliAITÉ ÉI.É11BYTAIILE

Lorsqu'on fail x = a, dans l'expression

ses deux valeurs deviennent égales; ce point est donc la réu-
nion des deux branches de la courbe à laquelle elles appartien-
nent; mais quoiqu'il n'y ail plus qu'une seule ordonnée y, l'ex-
pression de

d^ — ±V,,r C ^ Z 9 .^ X — c
en se réduisant à ± y'a — e, reste encore double ; la valeur po-
sitive répond à la branche supérieure, et la valeur négative à
la branche inférieure; l'une et l'autre seront réelles si a>-c,
et produiront la Jig. ai.

Les points où plusieurs branches se réunissent el se ren-
contrent se nomment points multiples ; celui que nous venons
d'indiquer est un point double, puisqu'il y passe deux bran-
ches.

Si l'on généralise l'expression précédente de y, dans la
forme

y— b+ [x — a) "ï/x — c,
le point correspondant à x = a ne sera double que pour les
valeurs paires de l'exposant m, parce qu'alors seulement le ra-
dical sera susceptible du double signe ±. Celle remarque, due
à M. Poisson, concourt bien avec ce qu'on a vu dans les arti-
cles précédents, pour montrer qu'il n'y a que la discussion ou
l'examen de la courbe, aux environs du point singulier, qui en
, puisse Taire connaître l'espèce.

Il faut encore remarquer que si l'on faisait passer le facteur
x — a sous le radical, dans la première expression de y, on
aurait

y=t> + */(x-a)'[x-~r),

et que la supposition de x=a donnerait ~_ = ~; à cause du
facteur a: — a qui , malmenant, est commun aux deux termes

Digiiized by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGIIAL. io3

de fraction. En le supprimant, on retrouve

86. Les courbes sont accompagnées quelquefois de points
isolés qui ont le caractère des points multiples; mais on les
en distingue, parce que les coefficients différentiels, y deve-
nant imaginaires, soit dès le premier ordre, soit plus lard, mon-
trent qu'il n'y a pas de points consécutifs (60).

Soit l'équation

d'où l'on tire

Fil .

(3 ^ — =. fc)

Ici le coefficient différentiel du premier ordre devient - lors-
que x = o i mais on peut en avoir la vraie valeur en suppri-
mant le facteur x, commun aux deux termes de la fraction, et
l'on obtient

dr_ Ix — ib

faisant alors x — o, il en résulte
ày_ ib

expression imaginaire.

Dans la même hypothèse, l'équation proposée donne _y=o;
mais cette ordonnée, qui est imaginaire lorsque v est négatif,
redevient encore telle jusqu'à ce que x = b\ ainsi le point A
\Jïg. u) est absolument détaché de la courbe, quoique com-.

Les points de cette espèce se nomment poinli conjugués ;\\s
résultent de ce qu'une portion finie delà courbe proposée
s'évanouit par la détermination particulière de quelque con-
stante île son ■'•<] n.'i ii .i:. I . c.i::rljp correspondante à l'équation
(y* — *'+■ (6 — c) x'-\- bcx = o,

Io4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

qui donne

r=± / f"-'H»-) ,

offre un exemple de ces changements. Elle a d'abord le cours
représenté dans la fig. a'6 ; la supposition de c = o réduit la
partie AF au seul point A {flg, 22) comme on l'a vu ci-dessus;
elle prend la fig. a4 lorsque 6 = 0, sans que c s'évanouisse,
et la jig. s5, si l'on fait en même temps b = a , c — o.
La font lion

où m et n désignent des nombres entiers positifs, et où l'on
suppose a-<6, donne, lorsque x = a, m — 1 coefficients
différentiels nuls; ce n'est qu'à l'ordre m que l'Imaginaire
paraît.

Les courbes ont aussi quelquefois des points singuliers qui
ne sont pas visibles: ce sont ceux qui résultent d'un nombre
pair d'inflexions qui se réunissent en une seule (*).

87. Toutes ces espèces de points se forment en général de
la réunion de plusieurs branches, produite par l'égalité à la-
quelle parviennent diverses valeurs de/, ainsi que cela a lieu
dans l'équation y= b + c {x — a)", quand l'exposant m est un
nombre fractionnaire j mais celte circonstance amène des coef-
ficients différentiels infinis, puisque dans l'expression

g = m(«_. )...(»_» + ■)«(«_«)«,

l'exposant m — «devient négatif dès que n> m, et qu'à par-
tir de ce terme, la supposition de x = a rend infinis tous les
coefficients différentiels. <

La même chose a lieu quand la relation entre y et x est
donnée par une équation où les variables sont niêlées. En
effet, soit «=ro une équation quelconque entre x eij; on

DE CALCUL D1FFÉBBKTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. io5

aura généralement

Au

du , du , , dr dx

— dx~\-~ ar= o, d ou -h 1 = — - —
ax dj- ' dx du

Mais quand une valeur particulière x=a rend égales plusieurs
des valeurs de 7, la fonction u, qui ne contient plus alors que
les quantités / et a, prenant la forme U (7 — b)", conduit a

valeur qui, devenant nulle lorsque 7 = b, rend infinie celle de

dr • Au , , o

dx Sl dx ne s ^ vanoul1 P as > et donne - s il s évanouit, ce qui

arrive quand il a pour facteur x — a ou 7 — fi.
Les équations

[ r -by-{x-a) = o, {y -by-(x- a y= 0 ,

d'où l'on lire

dr„ j à} _ a{x- fl )

d* =(7-6)' Si 3(>— fr)»'

fournissent des exemples de ces cas, lorsqu'on y fait x = a,
d'où il résulte 7= fi; mais en mettant pour 7 sa valeur dans
le second cas, et supprimant les facteurs communs aux deux
dr

termes de la fraction, on trouve g£ infini, quand x = a.

88. Il est évident que lorsque les coefficients différentiels
deviennent infinis, la série de Taylor, formée par ces coeffi-
cients, ne peut plus être employée; mais il n'y a pas ici plus
de paradoxe que dans toutes les autres circonstances où il se
manifeste des exceptions dans les formules. Lorsqu'on remonte
à l'origine de ces formules, on reconnaît que le caractère qui
annonce l'exception montre en iitvine K-mpn pourquoi elle a lieu.

En effet, la série de Taylor, exprimant le second étal d'une
fonction 1/ dont la variable x a reçu l'accroissement h (23), no
doit en général renfermer que dos puissances entières de h (20),
tant qu'on y laisse x indéterminée; mais il n'en est pas ainsi
pour toutes les valeurs pan iculi ères de colle variable. Tar

Hpnd b» Google

io6

exemple, lorsque x

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

= a + k, la fonction

u = l, + c[*-a)ï

devient

et pareille chose aura lieu toutes les fois qu'il disparaîtra une
quantité soumise à un radical; car si la substitution de x+ A,
au lieu de x, change en général "!/P en

l \/9 + ph + qk'-h etc.,
et qu'une valeur particulière de x rende P = o, l'expression
ci-dessus deviendra

i i
1/ph -+- qh'+ e te. = A- ( p + qh -+- etc.)-,

dont le développement ne pourra manquer de contenir des
puissances fractionnaires de l'accroissement A.

Ce changement de forme est la suite nécessaire de la réduc-
tion momentanée que la disparition du radical apporte dans le
nombre des valeurs de la fonction proposée. Dans l'étal géné-
ral de la fonction, chaque valeur a son accroissement particu-
lier qui ta perpétue : ainsi pour

le théorème de Taylor donne les deux séries

le signe supérieur répond a l'une des valeurs de a, et l'infé-
rieur à l'autre. De même, quand la fonction dépend d'une équa-
tion où les variables sont mêlées, l'expression des coefficients
différentiels, contenant, outre la variable indépendante, la fonc-
tion elle-même, reçoit de celle-ci autant de valeurs qu'elle en
comporte (51), et le nombre des accroissements fournis parla
série de Taylor demeure éj^al ù celui des valeurs île la fonction.

Mais, dans les cas particuliers où plusieurs de ces valeurs se
réduisent à une seule, il faut qu'il celle valeur unique répondent
plusieurs accroisse n lents divers, pour que la fonction puisse
recouvrer toutes celles qu'elle doit avoir en général. Or, c'est

oigiiizM [y Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 107

ce qui résulte des puissances fractionnaires de A, parce qu'elles
sont susceptibles d'un nombre de déterminations marqué par
le degré du radical qui les affecte. Ainsi, dans l'exemple ci-
dessus, lorsque x = a, on a

U=b, B'-tt=±A'i

les deux différences + h T , — A\ appliquées à la valeur unique
u = b, reproduisent les deux valeurs que la fonction u com-
porte en général.

89. On voit bien ici que le coefficient différentiel de la fonc-
tion u, étant exprimé par

conserve A au dénominateur et devient infini quand A = o.

L'infini ne se montre pas toujours ainsi au premier coeffi-
cient différentiel ; mais ou le [mine, à partir d'un ordre plus ou
moins élevé, dès que te développement de «' — « doit renfer-
mer des puissances fractionnaires de A.

Soit en général

« ' = u. + P A" ~h Q -+- . . . +■ T A 1 -+- etc. ;

u' étant fonction du binôme ar-M, on aura i^- — ^ (i9),
dA d.v ' '

équation dont chaque membre est aussi une fonction de x-\-h.
Si on les difTérentie successivement par rapport à A et par rap-
port à x, il viendra

d'»'_ d 1 »' d'à' _dV , d'K'_d'n'
W~ 3*33 ' AxAh~ di 1 ' dA' ~Ax' '

et ainsi des autres, ce qui fait voir que la fonction u' a, par
rapport à A, les mêmes coefficients différentiels que par rap-
port à r: on passe ensuite à ceux de u, en faisant A — o.

Cela posé, un terme quelconque TA' en produit, dans l'ex-
pression de ^Qjr» un de la forme

,(.-,}(— 2 )..,(,_ »-M)T*— .
Tant que le nombre n sera au-dessous de «, l'exposant c — 11

108 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

étant positif, la supposition de A = o fera évanouir ce terme;
et si le nombre • = n, il viendra

— = i(.— 1I...1T;

mais si le nombre 1 est fractionnaire, l'exposant ■ — n passera
du positif au négatif sans s'évanouir. Dans ce dernier cas, qui a
lieu dès que n surpasse 1, le terme devient infini lorsqu'on y
fait h = o, et par conséquent aussi la valeur de j^; dont il fait
partie.

Il est visible que les termes à exposant fractionnaire peuvent
être précédés par des termes où l'exposant est entier, ce dont
la fonction très-simple

„ = 6*M- C

offre un exemple quand £ > m, et qu'on y fait x — a : ses
coefficients différentiels demeurent finis jusqu'à l'ordre m in-
clusivement.

90. Il faut bien observer que, dans ce qui précède, c'est la
quantité comprise sous les radicaux qui s'anéantit; car les ra-
dicaux pourraient aussi disparaître, s'ils étaient multipliés par
un facteur que la valeur particulière de x rendit nul : on en a
vu un exemple au n° 85; mais ce cas ne fait point exception à
la série de Taylor, parce que les radicaux qui ont disparu dans
la valeur de la fonction reparaissent dans ses coefficients dif-
férentiels.

Soit, par exemple,

la supposition de x = a, qui rend égales les deux valeurs de u,
ne fait disparaître les coefficients différentiels que jusqu'à l'or-
dre m exclusivement, puisqu'en opérant ici comme dans le
n° 57, on trouve que tous les coefficients différentiels des
ordres inférieurs contiennent le facteur x — a à chacun de
leurs termes, mais que

d**~"

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET Dli CALCUL INTÉGRAL. 109

Ce coemeient différentiel ei ceux qui le suivent, ayant cha-
cun deux valeurs, forment deux séries qui reproduisent les
valeurs de ia fonction proposée.

91. Les considérations géométriques confirment les re-
marques précédentes; on voit que la courbe de la^g. 26, qui
n'a qu'une seule ordonnée au point E correspondant a l'ab-
scisse AC, ne peut en avoir deux sur l'abscisse consécutive Ac,
que parce que l'ordonnée CE reçoit deux changements distincts
qe et qé ; mais les ordonnées ce et ce' n'éprouveront plus cha-
cune qu'un seul changement quand on partira d'une abscisse
différente de AC.

La même chose arrive au point multiple G où deux branches
de la courbe se coupent; l'ordonnée particulière FG éprouve
aussi pour un seul accroissement d'abscisse Vf deux change-
ments rg et rg .

92. Non-seulement la série qui exprime le changement
d'une fonction doit, dans certains cas particuliers, contenir
des exposants fractionnaires, mais il peut s'en trouver aussi de
négatifs.

Si l'on avait, par exemple,

P

— f=ïf

P ne renfermant pas le facteur x — a, le changement de x en
a + h donnerait

ti , P -H p h -j- qh* + etc.

expression qui contient des puissances négatives de k. C'est ce
qui arrive aussi à la fonction \x, lorsque x=o; cl, en effet,
une fonction qui devient infinie lorsque x= a, ne peut rentrer
dans les quantités finies, quand x — a + h, que par un change-

93. Les divers cas singuliers que nous venons d'examiner,
ne tenant qu'à des valeurs particulières de la variable indépen-
dante, ne sauraient infirmer les conclusions tirées de l'état
général de la fonction ; et l'on peut les éviter dans la discus-
sion des courbes, en considérant ce qui se passe avant et après

IIO

TRAITÉ ÉI,ÈJ1RSTAIRE

le point dont on veut connaître la nature; en sorte que la re-
cherche des points singuliers se réduit à cette règle aussi géné-
rale que sure, et qui n'exige que l'emploi du Calcul différen-
tiel : On obtiendra généralement l'indication de l'abscisse à
laquelle répond un point singulier, en cherchant dans quel cas
les coefficients différentiels, à partir d'un ordre quelconque,
deviennent nuls, oit infinis, ou — On assignera l'espèce du
point, i° en examinant combien H passe tic branches de lit
courbe à ce point, et si elles s'étendent ou non en deçà et au
delà; 7." en déterminant la position de leur tangente ; 3" le sens
dans lequel elles tournent leur concavité (").

Hecherclie des vraies valeurs des expressions qni deviennent

94. On a vu dans ce qui précède que les coefficients diffé-
rentiels se présentaient quelquefois sous la forme - qui parait

indéterminée ; néanmoins ils ont toujours une valeur détermi-
née qu'il peut être utile de connaître, et à laquelle on parvient
par les principes que je vais exposer.

Supposons d'abord ces eoellideuis donnés immédiatement
par la variable indépendante. Lorsqu'ils sont sous une forme
fractionnaire, si leur numérateur et leur dénominateur ont un

facteur commun, la valeur qui le fera évanouir donnera - :

cependant il est visible que toute expression de la forme

qui devient - quand x = a, a néanmoins une vraie valeur qui
est nulle, finie ou infinie, selon que m~p-n, m = n, m<^_n.

précède, pour déterminer les points singulin- des nmities, i-ljH déjà tracée
dans le premier volume du Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégrai ,
i» édition , et que la règle ci-dessus le trouve dans la première ediliun do cet
abrégé.

Oigiiizod by Google

DE CALCUL OrrFKItKNTiEL ET DE CALCUL INTÉGRAL i i j

puisqu'on effaçant les facteurs communs à ses deux termes, on
obtient

P (*-«)— P P

Q ° U Q' ° U Q[*— )~

Il serait bien facile d'arriver à ces résultats, si le facteur
x — a était en évidence comme dans l'exemple du n" 85; mais
on peut toujours l'y meure par la considération du changement
des fonctions, ainsi qu'il suit.

Soit ^7 une fraction dont le numérateur et le dénominateur
s'évanouissent tous deux quand x=a; en substituant a ■+■ A,
au lieu de x, les fonctions X et X' se développeront en séries
de la forme

AA«-f-BA*+ etc., A'A«'+ B'AÉ' + etc.,
et ascendantes, c'est-à-dire dans lesquelles les exposants a,
p, eic„ iront en croissant et seront positifs, puisque ces séries
devront devenir nulles dans l'hypothèse de A = o, qui répond
à celle de x = a. Au Heu de la fraction proposée, on aura donc

AA'+ B/^ + etc,
.À'A^-r-B'A^-t-etc.'
expression dont les deux termes ont un facteur commun, en h,
et qui peut présenter les trois cas a > a', a = ■' et «<V.
Dans les deux premiers, clic se réduit à

A/i'- a '-4-BA^- g '+ctc .
A'-l-B'A' 3 ' - "'-l-etc. '

et si l'on y fait A = o, pour revenir à la valeur que prend ^>
quand x = a, le résultat est nul toutes les fois que a surpasse
o', et est égal à ~ lorsque t = Dans le troisième cas, au
contraire, où *<a', on a

A + BA^-'H-ctc.
A' A'-'+B 1 ^'-^ etc.'
ce qui devient infini pur la supposition de A =

1 1 a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Dans tous les cas, )a vraie valeur ne dépend que du premier
terme de chaque série
Ainsi, pour trouver la vraie valeur des fonctions qui se pré'

sentent sous la forme indéterminée -i cherchez le premier terme

de chacune des séries ascendantes qui expriment le développe-
ment du numérateur et du dénominateur, lorsque x = a -I- h ;
réduisez à sa plus simple expression la nouvelle frac tion for-
mée de ces premiers termes, et faîtes ensuite h = o : le résultat
que vous obtiendrez sera la vraie valeur que prend la fraction
proposée lorsque x = a.

95. Quand le second élat des fonctions X et X', correspon-
dant kx = a-r-h, peut se développer par le théorème de Tay-
lor, on obtient

„ dXA d'X h' d'X h'

X + uT7 + d^7^ + d^7^3 +elc -

X< + ^ + ^ + îg' * + e,,'
d* i ax* i.a ax* i.a.3

et si la valeur x = a fait disparaître X et ses coefficients diffé-
rentiels jusqu'à l'ordre m, X' et ses coefficients différentiels
jusqu'à i'ordre n, la fraction proposée se réduit à
d"X A"

d^r z T3T^ +etc -

d- X' h'

-d^ ,7^3-7^ +elc -

quantité qui sera nulle si m>n, infinie si m<n, et égale à
d-X .

Venons aux applications.

96. 1". Lo formule i qui exprime la somme des n pre-
miers termes de la progression par quotient Huxix'ix 1 : etc.,
devient - quand x = 1 ; cependant cette somme, dans la pro-
gression H 1 : 1 : 1 : 1 : etc.,, à laquelle on est conduit alors, a une
valeur déterminée, et égale à n, que la règle précédente va

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 1 i3

nous donner aussi. En effet, après avoir différentié le numéra-
teur et le dénominateur de l'expression ^~ ~ i on trouve

et en écrivant i au lieu de x, il vient n.

2°. La vraie valeur de t— —, dans le cas ou

bx 1 — zbex-i- bc 1

x = c, ne peut s'obtenir qu'après deux différentiations, car la
première donne ^jj— résultat qui devient encore ^; mais
en le ditférentiant on trouve j*
3°. Si l'on cherche la valeur de la fraction

X 1 03? g'37 + a 1

lorsque x = a, on trouvera, après avoir différeniiê une fois le
numérateur et le dénominateur, que le premier seul devient
encore nul quand on meta au lieu de x; ce qui apprend que
la vraie valeur de la fonction proposée est nulle. Le contraire
aurait eu lieu pour la fonction

a' 2 0'!+ zax> X 1 '

4°. La fonction transcendante — — — i qui devient - lorsque

x=o, étant traitée de même, donne a*la — fc*lfi, qui se réduit
a la— 16.

Ce résultat s'obtient tout de suite en substituant aux fonc-
tions a* et fr* leurs développements (27), car on trouve

= la-lft + [(la)'- (14)'] ^+ etc.,

et la supposition de x = o réduit le second membre île cette
équation àsun premier U- nm. Eu fiii^aul l'ii|ii.>raiion, on remar-
quera qu'il y a un facteur x qui disparaît par la division.

5°. La fonction ~ J"2^îbj25£ se réduit à ^ lorsque l'arc

x=\i ; mais en y appliquant la règle, on trouve que sa vraie
valeur est alors I.

6' éd. L 8

DigiiiziM By Google

■ l)j TRAITÉ él, RUENT* WK

ti". J'indiquerai encore les fonctions

a — x — a\a-\-a\x ^ k'—x.

dont la première devient - lorsque -c;=<i, et la seconde lorsque
x = i : leurs vraies valeurs sont respect ivemeni — i et — 2.

97. Quand les facteurs qui s'évanouissent dans les deux ter-
mes de la fraction proposée sont élevés à des puissances frac-
tionnaires, les développements no pouvant plus s'obtenir par
la série de Taylor (88), le procédé du n" 95 ne réussit pas.

Si l'on avait, par exemple, — quoiquelavraievaleur

{*-<•)'

de celte fraction, lorsque x = a, soii (zn)', on n'y parviendrait
jamais par la différentiation : on trouverait successivement

Le premier de ces résultats devient encore -. quand on fait

x = a, et la même supposition rend infinis les numérateurs et
les dénominateurs de chacun des suivants. Si l'on fait disparaî-
tre les exposants négatifs, en passant au dénominateur ceux
qui se trouvent dans le numérateur, et vice versâ, les expres-
sions nouvelles qui naîtront de ce changement se réduiront

toutes à — Mais si l'on a recours au développement immédiat

suivant la forme du n" 94, la fraction ^ 2-1- ' devient

(#-«)*

: — — j '-=[?.a + hV?

h'

□itjitizcd Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 1 1 5

en changeant x en a + h ; ei faisant h = o, on oblient la vraie
valeur (a àf.

Le môme procédé paraîtra quelquefois plus commode que

la différai tiiiti dans h; cas où Hic peut s'employer. Ce n'est,

par exemple, qu'après avoir dïfférentié quatre fois de suite le
numérateur et le dénominateur de la fraction

■r' — $ax*-t- 7 a' je — <C — ■>. n'y 1 ?. nx—iC
x' — 2ux — a'+ a a <^iax — <r*
qu'on parvient à en trouver la vraie valeur, dans le cas où x=ti.

En écrivant «H- fi au lieu de a:, comme le prescrit la règle,
il vient

+ j a 1 k — flfi'-t- fi 1 — a«*^o'+ aafi

réduisant en série les deux quantités radicales, on aura

7. il A' , fi- 5 A'

yV-i- a afi = a -+- h — — -+- — — g-^ -+- etc.,

r-, — r, A' A'

La substitution de ces deux suites, dans la fraction précé-
dente, donnera — 5 a pour la vraie valeur cherchée.

98. Une fonction peut encore se présenter sous plusieurs
formes indéterminées, différentes en apparence de -> mais qui,
dans le fond, reviennent au même, et qu'il est bon de con-
naître.

i°. Le numérateur et le dénominateur de la Traction^ peu-
vent devenir infinis en même temps; mais celle fraction étant

écrite ainsi : ^-i se réduit à " . lorsque X et X' sont infinis.
X

a". Il peut arriver qu'on rencontre un produit composé de
deux facteurs, l'un infini ci l'autre nul. Soit PQ ce produit; si

■ 16 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

la supposition de r=n donne P = o, Q = ^> on observera
que PQ= que ^ = o; cl sous celle forme, PQ deviendra ^-

5

Nous prendrons pour exemple la fonction

ir désignant la demi-circonférence. Quand on yfalta: = i, 1<
premier facteur devient nul ei le second infini ; mais comme

languira: a

on obtient

(i — *)Ungi^ = ^=^;

fonction doni la vraie valeur jj ae trouve par le procédé du
n° 93.

99. Si l'on demandait la valeur que reçoit la fonction

quand x est infini, ou, ce qui est la même chose, la limite de
celle fonction, on ne pourrait y parvenir par aucun des procédés
dont nous avons fait usage jusqu'à présent, à cause de l'impos-
sibilité de réduire \x en série (29), et il faudrait recourir aux
considérations particulières à la nature de la fonction propo-
sée \x.

En changeant x en n ei a en x, dans le développement de
a* (27), on aurait

af=H — j — V — -- ' -H ----- 3 - -+- etc.,

d'où l'on conclurait

Diqiuzefl 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 1 |J

quantité qui tend à devenir nulle à mesure que i augmente, au
moins tant que n n'est pas d'une petitesse comparable à celle

mêmes conditions.
Ceci conduit à la valeur que prend le produit x"\x, quand

x — o; car en fusant x — -i on trouve x*l x = — —; le second

y r

membre devenant nul lorsque y est [infini, il s'ensuit que
x"lx = o, lorsque x = o.

100. La vraie valeur des coefficients différentiels donnés par
une équation où les variables sont mêlées , s'obtient d'une ma-
nière analogue, en passant aux équations différentielles des

ordres supérieurs. En effet, si ^ et ~ s'anéantissaient dans
le développement de

il se réduirait à

d'u,, A'u d'u,,

3— h' + a t— 3— hk + t—, : te' + etc . = o ;

Ax' dxdy dy' '

en y faisant k = o A, on aurait pour déterminer la limite de u,

ou l'équation

du second degré, par rapport au coefficient différentiel cher-
ché, et donnant par conséquent deux valeurs au lieu d'une
seule qu'eût fournie l'équation

t[x- i -h, r + k)-t(x, r )= a , (48),

du dud£_
ûx dyAx '
pas devenue illusoire (48).

Il est facile de voir que si les trois fonctions
d'à d'« d'u
d**' dxdy' A y 1

Oigiiizcd by Google

I | g TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

devenaient nulles, on tomberait sur une équation du troisième
degré , et ainsi de suite.

Ces équations i ; li:vé<.'s risiiIli'iiL dw (liflVTi:iuiiiliini= smit.-.'s-
sives de la première, en y regardant dx- et d y comme con-
stants : mais il n'est pas nécessaire de s'arrêter à cette considé-
ration, parce qu'on retrouve ces mêmes équations dans la suite
des différentielles fournies par la proposée a = o ; car la pre-
mière

étant représentée, pour abréger, par „

Md*-|-NUjr = o,
sa différentielle prise en y regardant y comme fonction de x,
suivant la règle du n° 50, est de la forme

P dx- -+- Q d ar dy + R d y*+ N 4'y = o,
cl se réduisant à

Pd:r I -t-Qd ; rdj--|-Ild/ 1 =o,
quand N = o, devient du premier ordre; elle donne alors deux
valeurs de dy, et par conséquent de » au lieu d'une seule.

Si les coefficients P, Q, R s'anéantissaient aussi, il faudrait
passer alorsà l'équation différentielle du troisième ordre, qui
deviendrait du premier. On verra bientôt des applications de
cette remarque (108), c'est pourquoi je n'en donne point ici.

101. La détermination des maximums et des minimums étant
l'une des plus importantes de l'analyse, je crois devoir la re-
prendre d'une manière générale et indépendante de la consi-
dération des courbes.

On a déjà vu (83) que le caractère essentiel du maximum
consiste en ce qu'il surpasse en même temps les valeurs gui le
précèdent et Mlles gui le suivent immédiatement ; le contraire
a Heu pour le minimum : il est moindre gue les valeurs gui le
précèdent et qui le suivent immédiatement.

Considérons sous ta forme la plus générale le développe-
ment du second étal de n — ([x), lorsqu'on donne à x une

Oigiiized by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. I 19

valeur particulière a, et qu'on change ensuite « en n + A ; et
faisons en conséquence

u'= u + PA*+Q/^-i- lU'-i-etc.,

les exposants a, p, y, etc., étant entiers ou fractionnaires, mais
rangés suivant l'ordre de leur grandeur, en commençant par le
plus petit. Cela posé, l'état de «, correspondant a a — A se dé-
duira de «', en écrivant — A.au lieu de A; et en le désignant

u,= uXv{— A)«+- Q (— A Il (— A p -H etc.,
d'où il suit que les différences entre l'état primitif « et les états
précédents et suivants, seront

u,-u = P A) a +Q [- A]*+ R (- A)-'-t- etc.,
u — u = PA" -t- QA^ +■ RA"' -+- etc.;
mais elles doivent être toutes deux négatives quand « est un
maximum, positives dans le cas contraire, et cela quelque petit
que soit l'accroissement A : il faut donc, dans l'un et l'autre
cas, que les premiers termes P ( — A) H et Pft" soient de mémo
signe. Or, le coefficient P étant une fonction de a, qui ne
change point de signe, il faut pour que la puissance « de A n'en
change pas non plus, que son exposant soit un nombre pair,
ou nne fraction qui, réduite à sa plus simple expression, ait un
numérateur pair. On aura alors

«,— a = PA a -i-eic.,

H'—u = PA K -)-elc.;
si P a par lui-même le signe -k ces deux différences seront po-
sitives, et u sera un minimum; si P a le signe — , ces mûmes
différences seront négatives, et u sera un maximum.

102. Pour appliquer la remarque précédente il la détermina-
tion qui nous occupe, il faut distinguer le cas où l'exposant a
est entier, de celui où il est fractionnaire.

Pans le premier cas, la série de Taylor s'accorde avec le dé-
veloppement de 11', au moins jusqu'au terme P A" inclusive-

130 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

ment (89), en sorte que

et puisque l'exposant a doit être un nombre pair, quand u
est un maximum ou un minimum, il faut d'abord que la sup-
position de x = a fasse évanouir le coefficient différentiel

~i qui est d'ordre impair: a est donc une des racines de l'é-
quation jj£ = o. Il faut en outre que cette rritme valeur ne
rende pas nul ou que, si cela arrive, elle rende nul aussi
g-jjj mais non pas |j-^> elen général, que le premier des coef-
ficients différentiels qu'elle ne fait pas évanouir soit d'ordre
pair; elle rendra alors u maximum, si ce dernier coefficient est
négatif, cl minimum dans le cas contraire. Voilà pour le cas
où l'exposant b est entier.

S'il est fractionnaire et > i, la valeur x = a, qui donne au
développement de u' la forme particulière qu'il prend alors,
doit anéantir tous les coefficients différentiels des ordres dont

l'exposant est 0(89): l'équation j^ = *> Indiquera donc en-
core celte valeur x = a; mais pour s'assurer si elle donne un
maximum ou un minimum, il pourra être nécessaire de calculer
àprioriies différences w, — »ei»' — u, dans la supposition
de h très-petite, afin de savoir si leurs premiers termes sont
de même signe et quel il est

Enfin, quand *<i, ^devenant infini, c'est alors l'équation

qui indique la valeur x = a, dont la propriété se discute,
comme il vient d'être dit pour le cas où a^> t.On voit encore
par lu, comme dans le n°83, que pour embrasser les différents
coi de la détermina/ion des valeurs de x, qui peuvent rendit;

DE CALCUL DIFFÉREKTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 131

celles qui rendent ^ nul ou infini; mais je pense que la ma-
nière la plus simple de faire cet examen, sera le plus souvent
de chercher si ~ change de signe ou non (83), aux environs

de la valeur trouvée pour x.
L'application des règles précédentes à la fonction
u = b-hc{x — a}-,
qui m'a servi d'exemple dans le n B 83, est trop simple pour s'y
arrêter; c'est pourquoi je passerai aux questions suivantes.

103. Partager une quantité a en deux parties, de manière
que le produit de la puissance m de la première par la puis-
sance n de la seconde, soit le plus grand de tous les produits
semblables qu'on pourrait former.

Soit a: une des parties de a; l'autre sera a — x; et le pro-
duit dont on cherche le maximum étant représenté par u, on
aura u = x"[a — x}; d'où l'on tirera

i| = mx~-' {a — x}"—nx~ [a — *)-'

= [ma — mx — nx] tf" -1 [a — x)"-' ;

et en égalant à zéro chacun des facteurs de ce résultat, on trou-
vera

ma

x= 1 x— o, x = a.

m+n

La première de ces vnleurs répond à un maximum; car lors-
qu'on la substitue dans l'expression générale de elle
donne la quantité négative

m—' n — ff""-' ,

Les deux autres répondront à des minimums, lorsque m et »
seront pairs, comme on peuts'en assurer par l'examen des coef-
ficients différentiels, ou plus simplement encore, en faisant
x—-±.h et» = a±n. On trouvera toujours un résultat posï-

133 TRAITÉ LLLMLXTMflL

tif dans l'un et l'autre cas, quel que soil le signe qu'on donne
à h, ce qui prouve que la fonction proposée, après avoir décru
jusqu'à devenir nulle, ne passe point au négatif, mais qu'elle
recommence à croître.

104. Je considérerai encore la fonction que y désigne dons
l' équation

y— a mxy +x' — a' = o,
dont la différentielle est

ijr-mx)Ay- {my— X )dx = o (M);

il viendra

ày = "'y — J i(

d'où l'on tirera

Pour obtenir la valeur de jr.il faudra combiner cette dernière
équation avec la proposée; on aura par ce moyen

Il reste à examiner ce que devient le coefficient ^J-=v La dif-
1 d.r'

creniielle seconde de l'équation proposée donne lu suivante,

(ne la supposition de ^ — o réduit à
t d'où l'on tire

DlgiKod tt/ Google

DE CALCUL niFFÊllBSTIEL ET DE CALCUL lYTKGIWL. ia3

puis mettant la valeur de x ei celle dé y, 0,1 trouve

#X_ > .

dx> a J7=rt'
ce résultat étanl négatif, montre que la valeur de_r, déterminée
ci-dessus, est un maximum.

Exemple de l'analyse d'une courbe.

105. On divise les lignes en différents ordres d'après le de-
gré de leur équation. La ligne droite Terme le premier ordre,
parce qu'elle représente l'équation générale du premier degré
à deux indéterminées. Les lignes du second et du troisième
ordre sont celles dont les équations montent nu second ou au
troisième degré, et ainsi des autres. Newton, considérant que
le premier ordre ne renfermait que la ligne droite, et que les
courbes ne commençaient à se montrer que dans le second,
divisa ces dernières en genres, et nomma courbet du premier
genre les lignes du second ordre, courbes du deuxième genre
les lignes du troisième ordre, et ainsi de suite.

Les lignes d'un même ordre se subdivisent en espèces, par
ki considération des principales circonstances de leur cours.

S'il était possible de résoudre les équations de tous les de-
grés, rien ne serait plus facile que de suivre le cours de In
courbe* que représente une équation algébrique quelconque.
En effet, supposons que cette équation étant résolue tar rap-
port à l'une des indéterminées qu'elle renferme, y par exem-
ple, fournisse les différentes racines X', X", X", etc., qui se-
ront nécessairement des fonctions de x et de constantes; la
question se réduira ii examiner en particulier le cours de cha-
cune des lignes produites par les équations

J — X', y = X", y = X"', etc.,
lorsqu'on donne à x toutes les valeurs tant positives que néga-
tives, que peuvent admettre les fonctions X', X", X", etc., sans
cesser d'être réelles. Ces lignes seront autant de branches de la
courbe que représente l'équation proposée.

L'étendue de chaque branche sera déterminée par celle que
comprennent les diverses solutions dont est susceptible î'é-

ia4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

quation qu'elle représente en particulier. Si parmi les quantités
X', X",X', etc., il s'en trouve qui deviennent infinies, ou dans
lesquelles on puisse supposer x infini, il en nattra des bran-
ches dont le cours sera infini, puisqu'elles pourront s'éloigner
indéfiniment de l'un des axes ou de tous les deux à la fois.

Dans les courbes algébriques, une branche ne s'arrête que
parce que l'expression de son ordonnée devient imaginaire;
mais le cours de la courbe proposée n'est pas interrompu pour
cela : il arrive seulement alors que deux branches se réunissent
et se continuent réciproquement. On s'en convaincra en obser-
vant que les valeurs imaginaires de y sont nécessairement en
nombre pair, et que celles d'un même couple ont été réelles et
égales avant de devenir imaginaires. En effet, l'équation propo-
sée pouvant toujours se décomposer en facteurs réels du pre-
mier et du seconddegré, si l'on représente par/" — aP^M-Q=o
un de ces derniers, on verra que ses racines, P±^P' — Q,
ne deviennent imaginaires qu'à cause que Q devient plus grand
que P', de moindre qu'il était d'abord, et qu'il y a par consé-
quent un point où les fonctions de arque désignent les lettres
P et Q, sont telles que P'=Q, ce qui anéantit la quantité ra-
dicale, et donne pour / deux valeurs égales.

Si plusieurs branches se coupent dans un point, il arrivera
aussi qu'un pareil nombre de valeurs de / deviendront égales.

106. Soit, pour exemple, l'équation

y~<fi a 'y+,ooa-x>-x>=o.
Celle équation, résoluble à la manière de celles du second de-
gré, soit par rapport à /, soit par rapport à -r, donne

r=±v , 48<ï , ±v'?.3o.^'— toôa'r'-H^*;
et si, pour abréger, on fait

23o4 «' — i oo a" x' + x' = N ,
on en tirera les quatre valeurs
(>) y = vW+V^, [ 2 Î r= v^- vfô,
(3) y = - v^Bfl'+v^, <A) r = ~ V-fSo'- W>

Oigiiized B/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IKTÉGBAL. I a5

dont il faut, d'après ce qui précède, examiner la marche, pour
déterminer le cours des lignes qui les représentent.

On voit d"abord que les valeurs (3) et (4), ne différant de (i)
,et (a) que par le signe, doivent donner des branches pareilles
à celles qui résultent de ces dernières, mais seulement pla-
cées au-dessous de l'axe des x. De plus, comme la fonction N
ne renferme que des puissances paires de x, elle reste la même
lorsqu'on y change -+- x en — x; ainsi le côté négatif de l'axe
des x doit offrir des parties de la courbe pareilles à celles qui
sont du côté des x positifs, en sorte que cette courbe est par-
tagée par les axes des coordonnées, en quatre parties égales et
semblables : c'est aussi ce que l'on voit par l'équation même,
qui ne change point, quelque signe que l'on donne à chacune
des variables x et y.

Examinons donc en particulier les valeurs (i) et {7.}. Elles
ne peuvent être réelles qu'autant que la valeurde N est positive;
mais cette fonction, étant rationnelle et entière, ne saurait
changer de signe qu'en passant par zéro : les racines de l'équa-
tion

x'— it>aa}x' + a3o4 a , = o,
seront donc les limites des valeurs que l'on peut donner à x.
On trouvera que le premier membre de cette équation se dé-
compose dans les facteurs

x — Ga, x-\-6a, x — 8a, x-h8a;
il sera donc négatif quand .r >6o et <8a, parce qu'alors un
seul de ses facteurs changera de signe ; ainsi la courbe ne s'é-
tend point au-dessus de la partie de l'axe des abscisses com-
prise entre x = 6a et x = 8 a; mais depuis x ~ 8<i, N devien-
dra positive pour toujours.
On observera ensuite qu'à

x = o, x = 6a, x = 8a,
répondent, dans l'équation (1), les valeurs

r=vÇ5*, r=*/?8â% r =fâ$J:

Celte équation fournit donc, 1° une partie DF {fig. 37) qui s'é-
tend du point D, pris dans l'axe AC, au point F dont l'abscisse
ÀE = 6a ; 2 0 une autre partie HX, qui, partant du point H

Oigiiized by Google

15.6

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

dont l'abscisse A fi = 8 a, s'étend à 1'lnAni dans l'angle BAC.
où les x et les y sont positifs.

L'équation (2) ne donnera, comme l'équation (1), nue des
valeurs imaginaires entre x = 6aetx = 8a; mais aux valeurs

répondent t

qui font voir, 1° que l'équation (2) donne une partie AF qui va
se joindre à la partie DF, au point F où les deux racines (1)
ci (2) deviennent égales; 2 0 que du point II, sur la partie IIX
fournie par l'équation (t), pan une portion IIK, résullant de
l'équation (2) dans laquelle y décroît jusqu'à zéro, lorsque
\/N=48n s , ce qui indique le point I situé sur l'axe des x : passé
ce point, \fs devenant >48«'. la valeur {2) est imaginaire
pour toujours, et la portion HI finit à sa jonction avec la por-
tion correspondante, située au-dessous de l'axe des x. L'ab-
scisse AI est évidemment déterminée par l'équation
[48a 1 )*=a3o4a'— 100 o*

qui revient à

x* — 100 a'x' = o,

<i'où l'on tire

L'abscisse ;r = o étant celle du point À déjà indiqué, c'est
x — 10 a qui donne le point I , où se termine la partie HI.

11 est à propos de remarquer que les points A, I) el I se dé-
termineraient immédiatement par l'équation proposée, en cher-
chant ceux où la courbe rencontre les axes des coordonnées,
et que la discussion précédente, analogue àccllo de l'équation
générale du second degré {Trig., iti), suffit pour faire con-
naître l'étendue des diverses parties de la courbe, mais n'en
donne pas la forme précise. C'est au contraire ce que fait l'ap-
plication du Cnlcul différeuliel. qui, de plus, abrège beaucoup
la recherche des limites des branches, et a l'avantage de mon-
ircr comment cette recherche pourrait s'effectuer lors même
que l'équation de la courbe proposée serait d'un degré trop
élevé, pour qu'on pût obtenir l'expression générale de l'une
de* variables, parle moyen de l'autre.

DE CALCUL DIFF&tKKTIEL ET DE CALCUL IVTÉGRAL. \vj

107. Je commencerai cette nouvelle discussion par l'exa-
men des branches infinies de la courbe proposée. L'inspection
des valeurs de y ,[106 ) nous a déjà fait connaître que cette
courbe a, dans chaque angle des axes des coordonnées, une
branche pour laquelle les variables x et / sont infinies en
même temps; mais sans recourir aux formules citées, si l'on
fait y= tx, l'équation de celle courbe se divise par* 1 , el de-
vient

f x 1 — 96 a' t'-i- 1 00 a'— x' = o,

d'où l'on lire

résultat qui donne r = ± infini, lorsque /=±i, et alors

r=±x.

On aura ensuite (73)

âx x* — 5oa'x* — j-*+48ti'j''
X ~ r Ây~~ x'—5oa'x '

_ Hr— X 1 — 48«'j'— x i + 5oa'x'

expressions qui, lorsqu'on y met pour y* sa valeur, se ré-
duisent à

■ 5oq'j:'— 48a i j J 48a'r 1 — Son- g'
x> — Soa'x ' j*— 4 8a 'r '
diminuent sans cesse à mesure que x et >- augmentent, et dont
la limita, quand x et/ — ± infini, est zéro. On voit par là (73)
que la courbe proposée a deux asymptotes, passant par l'ori-
gine des coordonnées. Pour achever de les déterminer, il faut
prendre dans la même hypothèse la limite de l'expression de

et formant toutes les combinaisons des signes -+- et —, on

trouvera ±1, ce qui montre que les asymptotes cherchées
font, avec l'axe des abscisses, des angles ±o5,5: on ne les a
point tirées, afin de ne pas trop compliquer la figure.

108. Venons maintenant aux points singuliers de la courbe
que nous discutons. Son équation différentielle première,
[)*—48a'y) d/-|- [5oa'x — x>] ix = o

Oigiiized D/ Google

I a 8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

conduit à

En égalant à zéro le numérateur de ce coefficient différentiel,
on trouve #=o et -r" — Son' — o. La première valeur de x, sub-
stituée dans l'é(| nation proposée, donne y= o et y=±\jçfiu' ;
mais comme , en faisant x = o et y = o, ilvient^ = ^i il

faut, suivant le procédé du n° 100, passer à l'équation diffé-
rentielle seconde, que la supposition ci-dessus réduit à
— 48 a> dy , + 5o a' dx> = o ,

d'où

II suit, de ces valeurs, qu'au point A la courbe esi touchée par
deux droites faisant avec l'axe des abscisses deux angles dont
les tangentes trigonométriques sont

\/i = ?\/s' -\/%=-\\fy

et que c'est par conséquent un point multiple (85).

Pour achever de connaître la forme de la courbe à ce point,
il faut savoir de quel côté les branches tournent leur concavité,

et déterminer en conséquence le signe de avant el après,

ce qui pourrait entraîner des longueurs, à cause que les deux
variables entrent à la fois dans son expression. On arrive plus
promptemenl au but, en cherchant, la valeur de ce coefficient
donnée, pour le point môme, par l'équation différentielle
troisième, que la supposition de x = o, y—o, réduit à
i44a'dj'd' i ^ = o, el d'où il faut nécessairement conclure
d'r à y

jr£; = °t puisque ~_ n'est pas nul. Le second coefficient dif-
férentiel ét:inl épd ;i zéro, passons lui Iroisirme qui si' tire di;
la différentielle quatrième. Cette dernière, en y faisant a - , y el
d'j- nuls, se réduit à

— 4 . 48 a ' dy d'y -+- G dy- — 6 d x 1 = o ;

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 139

l'on en déduit alors

dxdx-^d.r' ' d*> ±3a«- v /g

en mettant pour ^ sa valeur ± ^/jjg- Par e *J moyen l'ex-
pression de la dislance entre la courbe et sa tangente, pour
l'abscisse x + h (76), devient

ce qui montre que la branche touchée par la droite AL, qui
répond à la valeur positive de est au-dessus de cette droite
du côté des abscisses positives, et au-dessous du côté des
abscisses négatives, et que le contraire a lieu pour la branche
touchée par la droite AL'; que, par conséquent, chacune des
' branches de la courbe subit au point A une inflexion.

109. Je reviens aux va!eurs/=± ^gStf =±4a V^- Elles

rendent véritablement nulle l'expression de puisqu'elles

ne font pas évanouir son dénominateur: ainsi, aux points D
et D' que ces valeurs indiquent, la tangente est parallèle à
l'axe des abscisses.
On reconnaîtra qu'au point il l'ordonnée est un maximum

positif, soit en cherchant ce que devient (102), soit en

s'assuranl que l'ordonnée qui la précède et celle qui la suit
immédiatement sont toutes deux plus petites. Ces deux moyens
sont également faciles ici; d'abord le deuxième, puisqu'on a
les valeurs de y (106), et qu'il s'agit de celles où le second
radical a le signe -K Quant au premier moyen, l'équation diffé-
rentielle seconde," en y faisant x = a, y=± Va 6 "' et ^ = 0,
donne tout de suite la valeur de avec le signe — pour le

point D, ce qui indique bien un maximum, et avec le signe +
pour le point D', qu'il faut considérer comme un /,
6- éd. t.

Oigiiized bjr Google

l3o TRAITÉ KI.ÉMENTjUDE

puisque touie augmentation dans le sens négatif revient à un
décroisse ment par rapport aux quantités positives.
Il reste encore à examiner les racines de l'équation

x'— 5o a' — o, savoir .r=±5«vî-
F.n les substituant dans l'équation proposée, elles rendent ima-
ginaires les expressions île y, et par conséquent n'appartien-
nent point à la courbe.

110. Cherchons maintenant les valeurs de x et de y, qui
peuvent rendre infinie celle de Égalons pour cela son dé-
nominateur à zéro, ce qui fournira l'équation y* — ^8a'y= o,
d'où il résulte y=o ciy—dz yq8<?. La première valeur, mise
dans l'équation de la courbe, donne looa^' — x' = a; et l'on
en conclut jr — o, i-±io«. La racine x — o indique encore
le point multiple placé à l'origine A ; les deux autres répondent
aux points I et J', où la courbe rencontre de nouveau l'axe des
abscisses, mais de manière que sa tangente est perpendiculaire
à cet axe, puisque les valeurs i = ±inii ne font point éva-
nouir le numérateur de

On voit que ce sont les points à partir desquels les valeurs
de r, où le second radical a le signe — , deviennent imaginaires
pour toujours. On pourrait les ronsidêrer comme des maxi-
mums par rapport à la variable x et à I axe AC; et on les con-
staterait par l'examen des valeurs correspondantes de jj-^,
obtenues en considérant, dans les différent iatïons, x connue
fonction dp y, ;iu lieu de prendre y pour une fonction de x.

Les deux dernières valeurs j = ± ^480' = ±4« V3 con-
duisent a x= ±6«, x = ±8a; l'un de ces résultats fait con-
naître le point F cl ses analogues, l'autre le point H et ses
analogues. Dans tous ces points la tangente est perpendiculaire
à l'axe des abscisses; et la courbe n'ayant point d'ordonnées
réelles, depuis x=6a jusqu'à x=9a, c'est-à-dire sur l'es-
pace EU, cette circonstance suffit pour faire voir comment elle
doit être tournée à l'égard de sa tangente, aux points F et H.

Oigiiizod ûy Google

I>E CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAI..

111. Après avoir déterminé la nature de tous les points sin-
guliers indiqués par le coefficient différentiel du premier ordre,
il faut encore chercher si les coefficients des ordres supérieurs
n'en manifesteraient pas d'autres. Pour cela il faut considérer
d'abord le coefficient différentiel du second ordre : son expres-
sion générale est

elle devient -, lorsque x et y sont nuls; mais nous n'avons

point à nous arrêter sur ces valeurs, puisque le point A auquel
elles appartiennent est suffisamment discuté (108).

La supposition de f — 4 8 a'= o, qui fait évanouir le déno-
minateur, ne doit pas nous arrêter non plus, parce que nous
savons qu'elle répond aux points F et H (110); mais le numé-
rateur étant égalé à zéro, donnera une équation qui peut indi-
quer d'autres valeurs que les précédentes. Cette équation est

3*' — 5oa'—{3f— 48a-)i£ = o;

il faut en chasser jj^, au moyen de son expression générale ,
et faire disparaître les dénominateurs; on obtiendra
(3 ; r»-5o a ')(r-48a= r )'-(3 r '-48a') (*"-5otf,r)'=6,
résultai auquel on peut donner la forme
f(f— &<>•)' 5oa') — *>(*»— 5aa')' (3^— 48a')=o.
Si maintenant on observe que l'équation proposée revient elle-
même à

(f— 48 a 1 )'— {x>— 5otf) 1 -r-i96« , = o,
et qu'on prénne dans celte équation la valeur de (y — 48a') 1 ,
pour la substituer dans la précédente , on trouvera , après les
réductions,

(^'— 5o a'} 1 (25^—24^) +98n ] /'(33r , — 5oa , ) = o.
En llrani de cette dernière la valeur de y pour la substituer
dans la proposée, on aura une équation finale qui ne contien-
9-

OigiiizM Of Google

j3a TRAITÉ ÉLÉMENTAIKE

dra plus que x, et dont il faudrait discuter les racines, ainsi
nue je l'ai fait dans les articles précédents; mais comme la
marche des branches de la courbe indique suffisamment l'exis-
tence des points d'inflexion K, placés entre les points H et 1,
on pourrait se borner à chercher les racines comprises dans
cet intervalle, pour obtenir la valeur précise de l'abscisse des
pointsK; ce qui serait encore fort difficile, à cause du degré
auquel s'élève cette équation : ainsi il sera souvent nécessaire
de recourir à des moyens particuliers, pour déterminer les
points singuliers des courbes. Le développement de l'ordon-
née en série est un de ces moyens; mais il ne saurait entrer
dans un traité élémentaire (').

Des courbes transe ou dan te s.

112. Je n'ai considéré jusqu'ici que des courbes algébriques;
je vais maintenant faire connaître quelques-unes des courbes
transcendantes les plus remarquables : on nomme ainsi celles
dont l'équation ne peut s'obtenir en termes algébriques. Je
m'occuperai d'abord de la logarithmique, courbe dans laquelle
les ordonnées sont les logarithmes des abscisses. La manière
la plus simple de la construire par points, afin de s'en former
une idée, est de diviser l'axe des abscisses en parties égales,
pour représenter les nombres, et de prendre dans les tables les
logarithmes correspondants, pour les porter sur les ordon-

Suivanl ce pron'dé, son équation est y— \x; et quand on
pose x = i, il vient y= o, ce qui fait voir qu'elle rencontre
l'axe AB au point E {fig. 38), où l'abscisse AE est égale à l'u-
nité. La branche EX, qui répond aux abscisses positives plus
grandes que l'unité, est infinie, puisque les logarithmes de ces
abscisses croissent toujours. Dans la partie AE, où les abscisses
sont des fractions, les ordonnées sont négatives et augmentent
a mesure que ces fractions diminuent, en sorte que la branche
~Ex a pour asymptote la partie négative A c- de l'axe des ordon-
nées; enfin la logarithmique 11e s'étend point du cûté des

(*) On en lroiirer;> li". j.rinci[nf dans h: premier volume du Trailir in-f,".

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 1 33

abscisses négatives, parce que leurs logarithmes sont imagi-
naires (').

En faisant faire un quart de révolution à la figure, les ab-
scisses deviennent les ordonnées; onii = ly. Et si a désigne
la base du système, il en résulte l'équation y = a", dans la-
quelle les logarithmes sont les abscisses.

On peut alors, par des moyennes proportionnelles tirées du
cercle, trouver autant de points qu'on voudra de la logarith-
mique, puisqu'aux abscisses

x = \, J7 = |,eic., x = ~,elc,
répondent les ordonnées

y=a' = \ja. i, y=a' = "-" : ' i <Hc, y=a' =\j\ . </â7ï, etc.

Joignant a ces valeurs de y celles qui se présentent d'elles-
mêmes, lorsque x est un nombre entier, on aura un procédé
graphique très-simple pour tracer par points une logarithmique
sans le secours des tables.

Il est visible que les logarithmiques ne diffèrent qu'à raison
de la base ou du module du système qu'elles représentent.

113. En dilïérentianl l'équation y = ix, il vient

dx x 1 1

On voit par 11 que la tangente de celle courbe est perpendi-
culaire à la ligne des abscisses lorsque ar = o, et qu'elle ne
lui est parallèle qu'en supposant x infinie (83). L'expression

générale de la sous-tangente (G6) donne PT=-~; mais en
chassant y, on introduit le logarithme de x: ainsi celle ex-
pression est transcendante. Cependant , en prenant la sous-ian-

genle OD sur l'arc AC, on aura OD = ^^ = M , résultai bien

remarquable, puisqu'il montre que la sous-tangente 01) esi con-
stante et égale au module pour tous les points de la courbe.

(') Yor'i, à In fin do cel ouïracu, In Noie U 01 lo jircmier vulciluo du Trailï

l34 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On trouverait de môme que la tangente, la sous-normale et la
normale, prises par rapport à Taxe AB, sont transcendantes
à cause que l'ordonnée / entre dans leur expression, mais
qu'elles deviennent algébriques lorsqu'on les considère à
l'égard de l'axe ÀC.
Pour ce qui regarde le cercle osculateur, on a
d.V_ *' + M- o>__M

d'où (81)

(*M-M»)' „ ^-t-M' s*+M'

1= Mx ' ? ^ ~ M - ' = — '

Je ne m'arrêterai point à considérer la développée, qui serait
nécessairement transcendante; j'observerai seulement qu'on
pourrait obtenir immédiatement l'équation diffère! nielle de
celle courbe, en éliminani par le moyen des valeurs de/ — p,
de* — a et de leurs différentielles, x, dx ei Ay, de l'équation

114. La cycloïde ou la courbe décrite par un point pris sur
la circonférence d'un cercle, pendant que ce cercle roule sur
une ligne droite donnée de position, est encore une courbe
transeendame ; la relation entre ses ordonnées et ses abscisses
dépend des arcs du cercle générateur. Voici comment on peut
l'exprimer.

L'origine du mouvement du cercle étant arbitraire, je la
prends au point A [Jig. 29), où le point décrivant M se trou-
vait sur la droite Ali parcourue par le cercle générateur QM(i.
Puisque ce cercle, en routant, applique successivement tous
les points de sa circonférence sur la droite AB, il est évident
que lorsqu'il est parvenu dans une siluation quelconque QMG,
la distance AQ est égale à l'arc MQ, compris entre le point M,
qui touchait la 'droite AB en A, ei le point Q, qui la touche
dans la position actuelle.

Si l'on élève sur AB, par le point Q, la perpendiculaire QO,
qui passera par le centre du cercle généraleur, et qu'on mène
MN parallèle à AB, MIS sera le sinus de l'arc MO, cl NQ en sera
le sinus verse [Trig., 5).'

OigiiizBd b/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. l35

Posant donc

QO = a, kP = X, PM — QN = y,

on aura

x = AQ — PQ = arcMQ — sin MQ, r = sin . verseMQ,
MN = sInMQ = tf*ay— y-,
Bt, en faisant usage do la notation employée sur la page 47,
on écrira

x = arc (sin. verse =y) — ijiay— ~p:
c'est là l'équation primitive de la cycloïde (*).

L'arc MQ pcutiiiissi s'indiquer par son cosinus ON, ou a — /:
on le fait disparaître par la différentiaiion, en se servant de la
formule du n°36, dans laquelle on change R en a, a en a — y,
x en MQ; on trouve

d.arcHQ = -r====s=i
va«r — y

et l'on a ensuite

Ax = — " d - r

<j2ay — y \Jzay — y
puis

-— d£ -

<Jzar—y

telle est l'équation différentielle de la cjcloïde.

Lorsque le point de contact est parvenu à une distance AL
égale à la demi-circonférence du cercle générateur, le point
décrivant se trouve en K, et son élévation au-dessus de AU

(■) Si l'on voulait construire lj cjtliiiilo par poinLi, il serait commode d'em-
plojor Ici tables trl^ no métriques; 01 comme elles aonl calculées dam un corclo
dont lo rayon «t l'unité , il fondrait prendre dans ce cercle un arc c du mémo
nombre de degrés que l'arc Ni) j on aurait

□rcMQ = «, sinMQ = a.ini, ai», verse !HQ = uaiii.ïcrset ;

r—a(l — sinl), J-= ŒSiu.vi

DigiiizM by Google

l36 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

esi égale au diamètre de ce cercle ; il descend ensuite jusqu'au
point L, où le point de contact a parcouru une distance AL
égale à la circonférence entière.

La ejeloïde n'est pas terminée à ce point, car rien ne limite
la durée du mouvement du cerc le générateur. On doit bien
observer, dans la description des courbes, que les diverses
parties résultantes d'une môme construction ou d'un même
mouvement appartiennent toutes à la même courbe. Ainsi le
cercleQMG, en continuant de rouler^ur la droite AB, au delà
du point. L, décrit une suite de portions semblables à AKL, et
il faut en concevoir autant sur la gauche du point A, soit en
supposant que le cercle roule en arrière de ce point, soit en
considérant qu'il a pu n'y arriver qu'à la suite d'un mouvement
commencé depuis un temps infini. L'équation de la courbe
conduit à ces remarques, car rien n'empêche d'y supposer
l'arc MQ, augmenté ou diminué d'autant de circonférences
qu'on voudra. On voit d'ailleurs que y ne pourra jamais sur-
passer ia. Il suit de là que la cycloTde, conçue dans toute
l'clcndue qu'elle doit avoir, peut être coupée en une infinité
de points par une même ligne droite.

115. llien n'est plus facile que d'obtenir les expressions de
la sous-tangente et de la tangente, de la sous-normale et de la
normale dans cette courbe. On trouve, parles formules géné-
rales du n° 66,

PT = - ; - , MT = - r - gUL,

PIl = V / ™>— MR= (/art/.
On peut construire ces valeurs d'uni' manière très-simple, car
il est aisé do remarquer que PM ou y étant considéré comme
l'abscisse QN dans le cercle générateur QMG, la valeur donnée
ci-dessus pour PR est précisément celle de l'ordonnée MN de
ce cercle, et que, par conséquent, la normale se confond avec
la corde de l'arc MQ, comme on peut le voir aussi par l'ex-
pression de MR. H suit de là que la tangente MT est le pro-
longement de la corde MG. Maintenant si l'on décrit sur.IK,
comme diamètre, un cercle qui se™ éyal au cercle générateur.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL- t3j

et que l'on prolonge lii droite MN jusqu'en m, il est visible que
les cordes ml et niK seront égales et parallèles aux cordes MQ
et MG. 11 suffira doue, pour construire la tangente et la normale
dans un point donné M, de rapporter ce point sur le cercle
fixe ImK, en tirant la droite Mm parallèle à AB, et de mener
ensuite MT parallèlement à m.K, et MQ parallèlement à ml (').

116. Je passe à la recherche du rayon de courbure. En dif-
férentiani l'équation

\l?.ay— y*
j'obtiens, puisque dx est constant,

. -r 1

réduisant et divisant par y, il vient

o= [aay—y) A'y-haày,

d'où je lire

d- r= - :
J *ay—j*

substituant celle valeur et celle de dedans l'expression du
rayon de courbure (81 ), je trouve, après les réductions néces-

7 = a , (<y-)' = av^«r.
Ce résultai fait voir que le rayon do courbure MM' est double
de la normale MQ, et qu'il ne peut par conséquent devenir
plus grand que le double du diamètre du cercle générateur,
diamètre qui est à la fois l'ordonnée et la normale au point K
delà cyeloîde, correspondant à l'abscisse AI (111).
Les expressions de x— a et de y—p donneni ensuite
y— B=aj-, x — * = — 2v W—

(' ) SI Von plaçait au point I l'origina d c8 abscisse , on aurait
PI — M fi = M r>J : mn ;
mais , dnm lo parallélonTammo MQIm , Mm = 1Q , ci d„ p] U i

1Q = Al — AQ = QI1IG — onQM = ircCM = arcK m :

l38 TRAITÉ ÉLKHE NT Al R E

on conclut de là

En substiluant ces valeurs dans l'équation primitive de la cj-
cloîde, et réduisant, on obtient

a =arc [ sin. verse = — p) + v* — aap — P 1 ,
résultai qui a beaucoup d'analogie avec cette équation. Le ra-
dical — 2ap — p' devient semblable à ij^ay — y' lorsqu'on
fait p = — -t- p', ce qui revient à prendre, au lieu de l'or-
donnée EM', toujours négative, l'ordonnée P'M' rapportée à
un axe A'U', placé au-dessous de AB, à une dislance A'I = ia.
Par cette transformation, il vient

* = arc (sin. verse = so — p') + — P";

puis, si l'on observe que deux arcs dont les sinus verses
réunis composent le diamètre sont suppléments l'un de l'autre,
et qu'on désigne la demi-circonférence par n, on pourra écrire

a = v — arc (sin. verse = p') -+- y'aap' — p' 1 .
Prenant enfin «=n — «', c'est-à-dire, substituant à l'abscisse AE
l'abscisse A'P'= AI — AE, il viendra

**= arc (sin. verse = p') - V^'P'-?' 1 .
équation d'une cycloïde dont l'origine est au point A', et dé-
crite sur l'axe A'B' par le même cercle générateur que la pro-
posée, mais dans le sens A'B' contraire à AB.

La même conséquence peut se tirer immédiatement de la
détermination du rayon de courbure. En prolongeant la droite G Q
jusqu'à ce qu'elle rencontre A'B' en Q', et menant Q'M', on
formera les triangles GMQ et QM'Q' égaux entre eux : l'angle
QM'Q' sera donc droit; et si l'on décrit sur QQ', comme dia-
mètre, un cercle, il passera par le point M' et sera égal au cercle
générateur. Cela posé, puisque l'arc M'Q' est le supplément
de M'Q, qui lui-même est égal à MQ, on aura

arc M' Q'— QMG — arc MO = AI — AQ = QI = A' Q',
ce qui montre bien clairement que la développée A'M'A esi
une cycloïde décrite par le cercle QM'Q', roulant sur A^B',
de A' vers B'.

DigiiizM b/Coogl

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 1 3g

Il suil encore de ce qui précède que la cycloïde est recti-
fiable, puisqu'elle est elle-même sa développée el que l'ex-
pression de sim rayon de courbure est algébrique ; el on en
déduira ce résultat curieux, que la longueur de l'arc A'M'A,
ou de son égal AMK, qui compose la moitié de branche dé-
crite par une révolution entière du cercle générateur, est pré-
cisément la même que celle de A'K , ou le double du diamètre
de ce cercle.

Il faut remarquer aussi que le coefficient différentiel du
second ordre jjji étant égal à — j^i est toujours négatif, et
dr

qu'il devient infini, ainsi quo g^i quand y= o, ce qui arrive

lorsque l'arc MQ est nul ou égal à un multiple quelconque de
la circonférence ; la cycloïde est donc concave vers son axe,
et les poinis A , L, etc., où se louchent ses différentes bran-
ches, sont des poinis de rebroussement de la première
espèce, dans lesquels la tangente est perpendiculaire à l'axe
des abscisses (83).

117. Les spirales composent encore un ordre de courbes
transcendantes, remarquables parleur forme et leurs pro-
priétés. Voici comment s'engendre celle qu'imagina Conon de
Syracuse, el dont Archimèdc découvrit les principales pro-

Pendani quo le rayon AO {Jig. 3o) se meul uniformément
autour du centre A du cercle OGO, un point mobile, parti de
ce centre, parcourt de même la ligne AO, et avec une vitesse
telle, qu'il arrive au point O lorsque celle droite achève sa ré-
volution. Il suil de là que, pour un point quelconque M de la
spirale AMOM'X, le rapport de AH à AN est le même que
celui de l'are OGN à la circonférence OGO; mais comme rien

me m au delà du point O sur le rayon prolongé, et que ce rayon
peut lui-même faire un nombre infini de révolutions, la
eourbe AMO se prolongera en tournant toujours autour du
point A, de manière que le rapport enire la distance de chacun
de ses poinis au point A cl le rayon du cercle soti égal au ruy-

oigiiizM by Google

l4o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

port qui se trouve enire l'arc parcouru par le poinl 0, depuis
le commencement du mouvement, eila circonférence entière.
En M', par exemple, où le rayon AN a fait une révolution plus
lare OGN, on aura

AM' _ OGO + OGN
AN — OtiO

Si donc on fait

OGN = /, AM = w,"
et que, prenant pour unité le rayon AN, on représente par an
la circonférence OGO, il viendra u=j^-

Les variables de celte équaiiori sont ce que les géomètres
appellent des coordonnées polaires. Le centre A du cercle OGO
se nomme le pôle; la ligne AM, assujettie à passer toujours par
ce point, est le rayon vecteur, et tient lieu de l'ordonnée de la
courbe, tandis que l'angle parcouru par AM et mesuré par
l'arc OGN remplace l'abscisse.

Pour avoir égard aux signes de ces coordonnées, il faut
d'abord prendre les arcs négatifs dans le sens contraire à celui
qu'on a choisi pour les arcs positifs. Ce dernier étant, par
exemple, OGO, l'autre doit être OG'O. Les valeurs négatives
du rayon vecteur doivent aussi se trouver, par rapport au
pôle, du côté opposé aux valeurs positives. Dans la Jig. 3i,
j'ai porté les rayons vecteurs négatifs, non pas sur la partie
qui passe par l'extrémité de l'arc OG'N', mais sur son prolon-
gement A»; c'est ainsi que tombe la sécante trigonométrique
quand elle est négative ( Trig., note du n° 77).

En opérant de eette manière sur lu courbe précédente, on
trouve une seconde branche \mx, cl elle prend la forme

La spirale que je viens de considérer, et qui porte le nom
de spirale d'drckimède, n'est qu'un ras particulier des courbes
que représente l'équation ti — al", n désignant un exposant
quelconque.

Tant que n est un nombre positif, les spirales données par
l'équation u = af prennent leur origine an point A; mais
quand n est négatif, «, d'abord infini lorsque ( = o, diminue à

DE CALCUL Dlfr'FhflKXTIËL ET UE CALCUL INTÉGRAL. 141

mesure que cet arc augmente, ei à chaque nouvelle révolution
le point décrivant s'approche du point A sans pouvoir jamais y
atteindre.

Lorsque n— — 1 , la courbe, dont l'équation est alors «=«/-'
OU ut = a, et qui se nomme tpïrale hyperbolique, a en outre
une asymptote droite. En effet, si l'on pose successivement

les valeurs correspondantes

montrent que la spirale, s'éloignanl de plus en plus du point A,
s'approche en même temps d'une droite DE [fig. 3i) menée,
parallèlement à l'axe AO, à une distance AD = a ; car PM, per-
pendiculaire sur AB, cl ayant pour expression

quand on y met pour u sa valeur tir", a pour limite a lorsque
t = oi la spirale hyperbolique a donc aussi pour limite la
droite DE.

Les valeurs négatives de ( produisent une seconde branche,
placée sur le prolongement AB' du rayon AO, cl ayant pour
asymptote DE', prolongement de DE. Enfin, si l'on donnait à la
constante a le signe — , on répéterait au-dessous de BB' la
courbe que je viens d'indiquer au-dessus.
' Si, dans l'équation u'=al, au lieu de la distance AM [fig.iri),
on prenait pour n la partie MN du rayon vecteur, comprise
entre le point M et la circonférence du cercle OGO, il viendrait
la spirale parabolique, courbe que l'on formerait en roulant
l'axe d'une parabole autour du cercle OGO ; les ordonnées se
trouveraient alors perpendiculaires à la circonférence de ce
cercle et tomberaient sur ses rayons.

118. Lorsqu'on rapporte les courbes à des coordonnées po-
laires, le changement du rayon vecteur AM [fig. 33) est la
partie QM' retranchée du rayon vecteur suivant AM' par l'arc
de cercle MQ, décrit du point A comme centre, avec le rayon
AM, et l'accroissement de l'angle MAO se mesure par un arc

OigiiizBd by Google

■ 4? TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

de cercle NN', décrit d'un rayon AN égal à l'unité. On voit,
comme dans le n° 00, que la différentielle première de AM est
le premier terme du développement de M' Q , suivant les puis-
sances de NN', et les secteurs QAM, N'AN étant toujours sem-
blables, il s'ensuit que

QM=AMxNN'=«dï.
Cela posé, si l'on mène AS parallèle à la corde du petit arc
de cercle QM, et qu'on prolonge jusqu'à la rencontre de cette
droite la corde de l'arc MM' de la courbe DM, on aura, par la
similitude des triangles M'QM et M'AS,
QM'_ A M'
QM — AS

Lorsqu'on passe aux limites, la corde QM peut être prise
pour l'arc, l'angle M'QM pouvant approcher aussi près qu'on
voudra d'un droit; le triangle M'AS approche de même du
triangle MAT rectangle en A, dans lequel AT est la limite
de AS, et qui donne

d» u_

u&t ~ ÂT'

d'où l'on conclut

On construira la tangente en menant par le point A une per-
pendiculaire au rayon vecteur AM, et en portant sur cette
droite la valeur de AT, donnée par la formule ci-dessus.

119. Si l'on applique celle formule à l'équation u=af, on
trouvera

Dans la spirale d'Archimèdc, on a n = i cl o=— ; il en
résulte' AT = — (Jig. 3o). On voit par cette expression que

lorsque / — air, ou après une révolution du point décrivant,
la sous-tangente est égale à la circonférence OGO rectifiée.
Après m révolutions, (=j«i, AT = îm't ou m fois la circon-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL (>j3

fércnce donl le rayon est m. KO, et qui embrasse ces m révo-
lutions: c'est ce qu'a trouvé Archimèdc.

Quand n= — i, ce qui est le cas de la spirale hyperbolique,
on a AT = — n, c'est-à-dire que la sous-tangente de celle
courbe est constante.

Je ne m'arrête point à la recherche de la sous-normale ei de
la normale, parce qu'on les obtient facilement lorsque la sous-
tangente est connue.

J'observerai seulement que ^^=^~ exprime la tangente

de l'ongle que fait, avec le rayon vecteur AH, la droite MT, qui
touche la courbe au point M, et qu'on a

126. Considérons toujours le triangle rectilIgneMQM' [fig. 33)
comme tendant sans cesse à devenir rectangle, étal dont il
peut approcher aussi près qu'on voudra. On en déduit

en substituant les arcs à leurs cordes ; puis observant que

NN'=di, QM = «d(, QM'=d«,
et désignant l'arc DM par z, on obtient

telle est la différentielle de l'arc DM.

L'accroissement de l'aire ADM, prise relativement aux coor-
données polaires, n'est pas un trapèee, comme dans le cas des
ordonnées parallèles, mais un secteur AMM'. La limite du rap-
port de ce secteur avec l'arc NN' sera la même que celle des
rapports que les secteurs AMQ, AM'R, entre lesquels il se
trouve compris et qui tendent vers l'égalité, ont avec le même
arc NN\ On conclura donc de là que l'aire AIIM étant repré-

MM' = V / Qm'-+-QM' 5 ,

d'où

144 TRAITÉ ÉLÉUElTTAltlE

sentée par s, son coefficient différentiel doll être

dt_ AMx QM u' . _ »'df

Ût ~ aNN' — 2' ° U . 2

121. La diffère 11 licite seconde A'u sera le premier ternie du
développement M" Q' — M'Q suivant les puissances de NN'(fiO);
et il faut observer que lorsqu'on suppose l'arc NN' constant,
ou qu'on fait toujours varier l'angle t de la même quantité, les
arcs QM, Q'M' ne sont pas pour cela égaux entre eux, car ils
sont de rayons différents.

On pourrait déduire de là les formules du cercle osculateur
et de la développée ; mais j'ai préféré d'appliquer aux courbes
qui sont rapportées à des coordonnées polaires les expressions
trouvées relativement aux coordonnées rectangles, parce que
cette marche fournit l'occasion de transformer les coordonnées
du premier système dans celles du second, ou bien de passer
de celui-ci à l'autre. Cela sera d'autant plus utile, qu'on rap-
porte quelquefois les courbes algébriques à des coordonnées
polaires ; on le fait surtout à l'égard des courbes du second
degré, en prenant leur foyer pour pôle.

122. Je placerai au point A [fg. 34), pour plus de simplicité,
l'origine des coordonnées rectangles

KV = x, PM= r ;
cl, pour fixer la position de l'axe AB des abscisses, je dési-
gnerai par m l'arc QO compris entre cet axe et le point 0, ori-
gine de l'arc /. En menant PM perpendiculaire sur AB, et en
observant que l'angle MAP est mesuré par l'arc NQ, égal
à / — m, on trouvera

(.] .=«»s(r-»|,
(>] r =»sin(l- m ).
Au moyen de ces valeurs, on changera toute équation algé-
brique entre x et y dans une autre qui ne contiendra plus que
le sinus de l'arc /, son cosinus et le rayon vecteur u.
Si l'on divisejparx, on aura

£ = tang(/ — m) ;

Oigitized ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL lNTLfiRAL

et si l'on ajoute leurs carres, il viendra

comme le donne immédiatement le triangle APM.
En renversant les expressions ci-dessus, on en déduit

on obtiendra des valeurs
qui, substituées dans une équa-
. conduiront à un résultat ne ren-
puisqu'on pourra remplacer u par

, pour abréger, on suppose que la ligne AB se confonde
avec la ligne AO, on aura seulement

cosr

= sinf =£, d'où tangf =

Lorsque l'équation en u et r, qu'on se propose de trans-
former, contient l'arc / lui-même, on ne peut plus obtenir une
relation algébrique entre aret^-, puisqu'on n'en a pas de sem-
blable entre l'arc I, son sinus et son cosinus; mais on par-
vient, ainsi qu'il suit, à une équation différentielle qui ne
contient plus que x, y, d x et dy.

Les équations (i) et (2), étant jointes à celles de la courbe,
établissent entre les quatre variables x, y, u et / des relations
telles, que trois de ces variables sont des fonctions de la qua-
trième. En regardant ainsi (, « et y comme des fonctions
de x (46), les équations (1) et (2) donneront

dx=ûucos{t — ai) — ud/sin(( — m),
<\y=Aa$\n{t—in) + uAtCQs(l — m);

n — arc ^ta

, on tirera , par le n" ;

xtly — yt lx_
x'+y : '

l46 TRAITÉ ÉLÉUKNTAIHB

on aura enfin

du = d. r' (").

On pourra donc chasser de l'équaiion en u et l et de sa dif-
férentielle les quantités u, rosi, sinl, du el d( ; les deux ré-
sultats qu'on obtiendra ne contenant plus que on le fera
disparaître par l'élimination.

Soit pour exemple l'équation « = at°, qui donne

t?=(tt, iu' -, dw = <^d/;

les expressions de u, de dit et de dt étant indépendantes de
l'angle m, il viendra, en les substituant et en réduisant au
même dénominateur,

I (x'+y>)"[xAx +ydy) = <?{xAy— ydx).

Avec cette équation on déterminerait les sous-tan génies, les
tangentes, etc., des spirales, en faisant usage des formules du
n° 66 ; mais puisque c'est en « et t que sont exprimées d'abord
les équations de ces courbes, il sera plus simple et en même
temps plus général de transformer relativement aux mêmes
valeurs les formules citées, et c'est ce que je vais faire.

123. Pour obtenir ces formules, on a regardé y comme lié
immédiatement à la variable x par l'équation proposée en x
et y \ mats maintenant que la courbe est donnée par une équa-
tion entre les coordonnées polaires u ci (, c'est l'une de ces
variables qui est indépendante et dont l'accroissement doit
être supposé constant. Soit donc n = f [/) ; sous ce point de
vue, x et y sont des fonctions de f déterminées par les équa-
tions

jf = «cos(<— m), y = usin{t — m) (122);
et, au moyen de la dernière remarque du n" 9, on peut expri-

(•) On rencontre souvent la différentielle dj(!SO] oiprirace on coordonnée!
rectangle», et il est par conséquent utile de lo remarquer. Ello s'obtient, en
incitant pour A I Kl pour u' leurs valeurs Iruinée. ti-ili'ssus ; il vient alors

Digilizod by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET »K CALCUL INTÉGRAL. 14*7

mer aisément les coefficients différentiels de y relatifs à x par
ceux de a relatifs à (.

Pour cela, commençons par meure les premiers en évi-
dence, en posani

d/= pd x, d'y = qdx , - >
alors x, x,petq étant considérés d'abord comme des fonc-
tions do », on aura, par le numéro cité,

dt
Tt

dy dt dp „,

P~dx = 4x' V = di = dx

dr dp

pourvu qu'on entende à présent par Ax, d/et Ap des diffé-
tielles rapportées à la variable / considérée comme indépen-
dante (*).

En effectuant, dans cette hypothèse, la différenliation de p,
on obtient

dp _ dxd'r — Ayd'x
q ~ dx~ ' ilx>

Avec ces formules, on peut maintenant transformer les ex-
pressions de la sous-tangente , de la tangente, etc., et celles
qui se rapportent au centre de courbure, pourvu qu'on j ait
introduit, au lieu de dy et de d'y, les coefficients différen-
tiels p et q, pour lesquels on substituera ensuite les valeurs
ci-dessus.

124. On voit d'abord par la valeur de p que l'expression de
la sous-langenle, comme toutes celles où il n'entre que des

mfouclion del; soub ce dernier point de lue, on aura (8)

le même que ei-dciiui.

Digiiizod bjr Google

l4S TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

différentielles du premier ordre, ne doit pas changer, ei que

PT = ï (661, demeure ou —

si l'on a égard au signe (68). En mettant pour y, dr et dy
leurs valeurs (122), il vient

,s(,- m )-»dMin(f-m)

On simplifiera beauroup ce résultat en observant que la situa-
tion de la ligne des abscisses, sur laquelle tombe la distance PT,
est arbitraire, et qu'on peut, par conséquent, prendre toujours m
tel, que l'arc QN soit i', auquel cas l'ordonnée PM se confond
avec le rayon vecteur AM, cos(( — m) = 0, Sln(< — m) = i,

ci PT se change en A.T = '-^~-, résultat conforme à ce qu'on
a vu n° 118.

125. Si, dans la différentielle

dz = <Jdx'-hdy' (6i)
de l'arc d'une courbe quelconque rapportée à des coordonnées
rectangles, on substitue pour dx et dj- leurs valeurs en coor-
données polaires, on aura

dî — v/dn'+u'dï",
expression trouvée pour MM' dans le n°120.

126. Passons à la recherche du rayon de courbure.
La formule

(d^-t-dr'F . . (■+/>')*

■I — — ; ~ — - de\ lent 7 — — 1 >—U ,

àxd'y q

ilace par pdx et qdx' les différentielles d_f-

* d'y, encore rel
il q leurs valeurs

Maintenant si l'on fait varier dx, Ay et du comme des fonc-
tions de / dans les valeurs de dx et dy (122), elles con-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i

«luisent à

d'a;=d , «cos((— m)— ndudl sin(/— m)— udt'ços{t — m],
d"j = d , «sin [t— m) + 2dud(cos(i — m) — uiP sin [t — m);
posant ensuite / — m — i?, comme dans le n° 124, et par la
même raison, il viendra

Ax^= — «d/, dj-= du,
d'x — — ad« d /, d'y — d'u — uù P,
valeurs avec lesquelles on trouvera

- (dK'+H'd p)*

7 udtû'u — u'df'— adH'd/ -
127. On a coutume, lorsqu'on fait usage des coordonnées
polaires, de déterminer la position du centre du cercle oscu-
lateur par celle de la normale et par la distance ME, comprise
entre le point M et le pied de la perpendiculaire EF, abaissée
du centre F du cercle oscillateur sur la droite AM, ce qui donne
quelquefois de l'élégance à la construction du rayon de cour-
La ligne AM étant prise pour l'axe des ordonnées 7, la
partie AE représente l'ordonnée fi de lu développée [81); et,
par conséquent,

ME=AH-iE= r - P = _l£ + 1£,

expression qui devient

me=-1±£!,
1

lorsqu'on y substitue pdx et qàx> aux différentielles Ay eid'j-,
relatives à la variable x. Si l'on y met ensuite pour p et q leurs
valeurs en différentielles relatives à /, on a

MF- M dg'-Mj") _ u(d,f + u'dP)

M J - d * d'j ' — d y A\v ~ u d' n — «' d p — ad «■

quand on remplace d.r, ày, A'x, d 1 /, par les valeurs obtenues

dans le numéro précédent.

128. Pour faire une application de ces formules, je prends

Oigiiizod by Google

1 5o TBAITÉ ÉLÉMENTAIRE

la spirale logarithmique, dont l'équation est t = 1« (').En dif-
férentiant, il vicni

d' = M~ (28), ou ^ = M,

ce qui montre (119) que dans tous les points de cette courbe,
la tangente fait le même angle avec le rayon vecteur.
Une seconde différenliation, effectuée sur l'équation

a,=ïîl,

en y supposant d f constant, donne

uA',i — d«'=o, d'où d'u=^;

et si l'on substitue dans les expressions de 7 ou MF et de HE,
cette valeur de d'«, puis celle de ù.t en du, on aura

MF=_îîi^lH, ME = u = AM.

Il suit de là que la droite AF [fig- 36) menée perpendiculai-
rement au rayoil vecteur AM, rencontrera la normale MF au
centre du cercle osculateur, ou sur le point correspondant de
la développée FZ.

Cette développée sera une spirale égale en tout à la propo-
sée ; car l'angle A FM étant égal à TMA, sera le même pour tous
les points de la courbe FZ, comme pour ceux delà courbe AX.

On obtient l'équation de la développée, en observant que

AF=^MF*— ÀM*= g;

car si l'on fait M = «'> aou i *=Mjt', on aura 1 11 = IM -}-!«', et
par conséquent / = )Mh-1 u', ce qui revient îi t'=\a', lorsqu'on
pose l — lM=f; mais il faut observer que f = ON=ONP — 1».

(*) Quand, dans celte équation, on fa il i — O, il lienl n = i ; ainsi la courbo
|.a:.:.c ;>ar 1.: [wiuKJ \J : g. X>); ensuite ]c= valeurs don, cruissanl avec colloïde i,
inoiitronl que la courbe fait une InAnitè de révolutions en dt-hun du cercle ONG.
Les révolutions Intérieures sont produites par les valeur* néjalives de I , qu[
donnent pour u des valeurs do plus en plus petites : la courbe s'approche donc
de plus en plus du pôle A, sans jamais y arriver.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i5i

Du changement de la variable indépendante , on comment on
change la différentielle qu'on a prise pour constante, en nne
autre qui ne le a oit plus.

129. La transformation employée dans les n"'128 et 126,
pour la détermination du cercle osculateur des courbes à coor-
données polaires, cl qui consiste à changer une expression
différentielle prise en regardant y comme une fonction de x,
en une autre où x et y soient toutes deux envisagées comme
des fonctions d'une troisième variable t, que l'on suppose in-
dépendante, cette transformation, dis-je, étant souvent utile, il
est à propos de la reprendre pour l'étendre à des expressions
différentielles quelconques.

Le coefficient p = ^ revient alors a

d7

où l'on doit regarder maintenant décida: comme des fonc-
tions de /, et les différenlier en conséquence, ce qui donnera

faisant ensuite Ap = q Ax, on trouvera

''-<ix A \Ax)~ Ax>
En poursuivant de la même manière, on aura

_ d^'d' / — 3AxA'xA'y - +- ZAyA'x' — d:rdj'd^r_
Ax-
ai posant Aq = rAx, on obliendra

_ d jt' A' y— 3 d x d 1 x d*jM- 3 dr d' X'— d x d y d' x
r ~~ ' ' Ax>

C'csl ainsi que les quantités p, q, r, etc., qui sont implicite-

merii des fonctions de x, s'expriment au moyen de dx, dy,
d'x, elc., regardées comme des fondions de (; cl en substi-
tuant ces valeurs dans quelque formule que ce soit, ramenée à
ne contenir que les coefficients différentiels p, q, r, etc., on la
transformera sous le point de vue général proposé.

130. Les expressions de. </, r, etc., sont indéterminées, tant
qu'on n'assigne aucune relation entre les variables x, y et (;
mais l'effet lie eette relation étahlil une dépendance entre d' x
et d' r, puisque f pouvant aussi être envisagé comme une fonc-
tion de x et do y, di en est pareillement une de ces variables
et de leurs différentielles, et la supposition de d/ constant em-
porte l'équation. d' f = a.

11 n'est pas même nécessaire, pour obtenir celle dernière,
de connaître la relation primitive cnlre x, y et la variable t,
qu'on veut regarder comme indépendante ; il suffit d'avoir l'ex-
pression de d/.

Si l'on prenait, par exemple, pour cette variable l'arc de la
courbe proposée, on aurait alors (61)

et en différenciant d** et dy comme des fonctions de t, l'équa-
tion d' ( = o conduirait à

Ax&x-^r AyA'y=o, d'où d' x = '^T~-

Chassant, à l'aide de celle valeur et de ses différentielles, les
différentielles d'x, d'x, etc., des expressions de q, r, etc., on

'ail les formes que prennent ces ruol'liHuiils dill'éri'iitiels

lorsqu'on fait varier x ctjen conséquence du changement de
l'arc (, ou lorsqu'on regarde cet arc comme la variable indé-
pendante, ou enfin lorsqu'on prend sa diiférenticllc pour con-
stante.

Soit pour exemple l'expression

' dxi'y — dj-d'ar '
en mettant pour d'x sa valeur, on obtiendra

_ dx{<\x'-hdy J f = dxdt
7 — j. f . — u jj. 1

DigituM ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i53
résultat qui no contiendra plus que 1rs variables y el l, quand
on y mettra pour dx sa valeur ^dt'—dy.
On peut aussi faire à volonté

di = dx, ou d/ = d/,

d'où il résulte

d'ar = o, ou d'j" = o;
et par le moyen tle ces hypothèses, on prend alternativement a:
et y pour variable indépendante, c'est-à-dire que l'on regarde
y comme fonction de x, ou x comme fonction de y. Dans le
premier cas,

9-aï' et * dans lc sceond ' 5=-^S £ -

Si l'oo met cette dernière valeur dans l'expression

on la transformera immédiatement en relie qui convient au cas
où l'on regarde x comme fonction deret qui est

IdsM-dj*)*
7 Ayd'x

131. On peut aussi ramener à dépendre immédiatement de x
les différentielles d'uni' fiinriiuii/ formées en prenant pour va-
riable indépendante une fonction I, donnée en x et y. l'our
cela, il suffit d'observer qu'en regardant celles-ci comme des
fonctions de /, ainsi que les eooflieieuts différentiels p, q, etc.,
on a encore, par le n" 123, les équations

Ay — pAx, Ap = qAx, Aq — rAx, etc.;
mais Ax étant variable,

conduit, par la differentiation, au\ valeurs
d'y = ApAx + pd'x

= tjdx> -i-pd'x,
A'y = Aqdx'+ aqdxd'x-i-dpd'x + pd'x

= rdx 1 -h iq dx A'x -\-pé?x,
etc.,

1 54 TRAITÉ ÉUMEOTAlflB

auxquelles joignant

d'i = o, d*i=o, etc.,
qui donneront les relations des différentielles d'ar et d'y,
A'x et d'y, etc., on aura tout ce qu'il faut pour chasser les unes
et les autres de l'expression différentielle proposée, en sorte
qu'il ne restera plus que les coefficients différentiels p, q,
r, etc., où y est suppose fonction immédiate de x.
Si l'on prend, comme ci-dessus,

d( = i/dx^+dp, d'où dx d'x + dj"d'/ = o,
il viendra

d>x = -ï^- = -pd> r , d'y=qdx'-p'd'y,
et, par conséquent,

d'Y= — -=1 d'x = — ;■

J i+p* i+p*
La première de ces valeurs, mise dans

_ dxdt _ dxt/dx'+ d y ' __ dx , <Ji-]-p'
7— d'y ~ d'y d'y *

redonne l'expression

7

de laquelle on est parti dans lo n° 126.

132. l.c changement de variable indépendante a aussi une
interpréta lion géométrique. En effet, il est visible que pour
particulariser le polygone MM' M" etc. {fg. 2), qu'on se pro-
pose d'inscrire dans une courbe quelconque CM, il faut établir
une loi dans la .succession des an^lus île n' (iiilv^oiic. J'ai d'a-
bord pris les différences d'abscisses PP', P'P", etc., égales
entre elles; mais on peut remplacer cette loi par toute autre,
supposer, par exemple, que les côtés MM', M' M", etc., soient
égaux.

Ces divers modes cependant ne portent que sur les signes, et
ne sont qu'une manière particulière d'écrire les roeflicienis

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL.

i55

différentiels ; car soit que y varie à cause du changement que
subit spontanément x, ou à cause de celui que subil une autre
variable t, avec laquelle x est lié, cela revient au même pour
les limites qui sont indépendantes des valeurs des accroisse-
ments. Aussi lorsqu'on différenlie une équation entre x et y,
en faisant varier à la fois Ûx tiûy, on peut transformer ensuite
les résultais en coefficients différentiels, au moyen des formules
du n° 129, parce qu'en mettant les valeurs des différenlie] les
de l'une des variables, toutes celles de l'autre disparaissent
d'elles-mêmes: on parvient au même résultat final que si l'on
avait supposé constante une des différentielles premières, et
l'on est conduit à des formules plus élégantes, parce que les
deux variables y sont traitées symétriquement (").

133. D'après ce qu'on vient de voir, on pourra toujours dif-
férentier le système de deux équations contenant trois varia-
bles, système duquel il résulte que deux quelconques de ces
variables sont des fonctions déterminées de la troisième. Si
U = o et V = o désignent deux équations entre x, y et z, on
les différenliera, en faisant varier en même temps les différen-
tielles des deux indéterminées que l'on regarde comme des
fourrions de la troisième.

Si l'on avait trois équations U = o, V = o et W = o, entre
quatre variables (, x, y, z, trois de ces variables, nécessaire-
ment déterminées par la quatrième, seraient des fonctions de
celle-ci, et leurs différentielles devraient varier.

En général, un nombre m d'équations entre m -f- 1 variables,
déterminant m de ces variables au moyen de celle qui reste, ne
doit être regardé que comme contenant des fonctions de celte
variable: il faut donc, dans les différenciions successives de
ces équations, faire varier les différentielles des indéterminées
qui représentent des fonctions de la variable que l'on consi-
dère comme indépendante, et dont on prend la différentielle
pour constante.

(") On trouvera, surceiujel, dans le premier thnpilro du Train du Calcal
dijjèrcnlicl rl lia Co/rui inlrgrut , .le. détails i"fi impôt laiit* et l|oi n'avaient
encore: été don n ci par peraonne, <iue je lâche, avant la publication de cet Ou-

Diqiuzefl 0/ Google

131. Lorsqu'on a dos équations de cette nature, on peut tou-
jours en tirer une résultante unique, entre deux quelconques
ues variables, par un procède que je vais exposer sur deux
équations à trois variables, et qu'il sera facile d'étendre ensuite
autant qu'on le voudra.

Soient li = o, V = o ces équations, l'une de l'ordre m ei
l'autre do l'ordre n, entre les variables /, x, y et leurs différen-
tielles, et dont on veuille éliminer / ; la première pourra con-
tenir, outre la variable /, les différentielles d/, d' d't, et
la seconde d(, d'/,. . ., d"/. Comme on n'a point les équations
primitives, ni toutes les différentielles des ordres inférieurs à
ceux des proposées, il faut nécessairement se procurer de
nouvelles équations pour chasser les quantités inconnues dt,
d'/, etc. ; et c'est ce qu'on fera en différentiant n fois l'équa-
tion U=o et m fois l'équation V=o. On obtiendra par ce
moyen n + '» équations n du vol les, et on en aura en tout un
nombre m -+- n-t- a, en comptant les deux proposées : les in-
connues à éliminer, savoir l,dt,<l'l d"l d"*-/, étant

au nombre de m-hn+i, il restera donc une équation finale
en x, y et leurs différentielles.

Si dt était constant, il semblerait qu'en différentiant une
seule fois l'une des équations proposées, on pourrait éliminer t
et d(, puisqu'on aurait alors trois équations; mais on doit ob-
server que los différentielles d'à:, d'y, etc., contiennent impli-
citement (, puisque alors on a regardé x cl y comme des
fonctions do cette variable (133); il faut donc prendre pour
constante la différentielle de l'une des variables que l'on veut
conserver.

De la différentiation des équations contenant plus d'une variable
indépendante.

135. Lorsque l'on n'a qu'une seule équation entre trois va-
riables, il faut d'abord Ûxer arbitrairement les voleurs de dent
quelconques de ces variables pour détei miner la troisième, qui
par conséquent est une fonction des doux premières. Si l'on a,
par exemple, l'équation

Digiiized by Google

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL, i$j

quantités x et y n'étant liét:s entre elles par aucune relation,
la seconde peut demeurer la même, quoique la première ail
changé) cl réciproquement.

Il résulte de là que la valeur de z peut varier do plusieurs
manières : i" en conséquence d'un changement arrivé à x ou
à j-seul, 2° par le concours de ces deux circonstances. Dans
le premier cas, la quantité y ou la quantité x étant regardée
comme constante, l'équation proposée revient au fond il une
équation à deux variables ; ainsi, lorsque x change seul, on ;i

et lorsque c'est y, il vient

d*

y<\y+zdz = o, ou y+z — =o.
On a donc successivement

mais il faut observer que la première de ces différentielles est
relative à la variabilité particulière de x et la seconde à celle
de^; c'est ce qu'on exprime en disant que l'une est la diffé-
rentielle partielle relative à x, et l'autre la différentielle par-
tielle relative à^- [43).

Le sens de la question suffit pour empêcher qu'on ne les
confonde ; et on les distingue d'ailleurs suffisamment en fai-
sant attention à la différentielle de la variable indépendante qui
les affecte.

Les coefficients différentiels sont

(l£___£ d£ y

136. En général. Soit tt = a une équation renfermant x, y
cl 2 ; si l'on regarde x et y comme les deux variables indé-
pendantes, z sera une fonction de l'une et de l'autre, et lorsque
x recevra un accroissement quelconque, y étant supposé con-
stant, : éprouvera un changement subordonné à celui (le x.

Oigiiized û/ Google

|58 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Pans celte hypothèse, l'équation 0 = 0 devra être envisagée
comme une équation entre deux variables x et z : on aura
donc (48)

du , du da _

d* da d* — °'
et de là on tirera le coefficient différentiel de s relatif à la va-
riable x. Il faut se rappeler ici, d'après 1a distinction qui a été

faite au n° 135, que dans dz n'est que la différentielle

partielle de z prise par rapport au changement de x seul.

Il est évident que si l'on eût fait varier y on aurait eu, en
différentiant l'équation proposée comme ne contenant que les
variables^- et;,

du du dz

a7 + d^d>-°-

Si l'on multiplie par dx ta première des équations trouvées
ci-dessus, et la seconde par d^-, et qu'on les ajoute ensuite, il
viendra

mais jj~ d#-t- jj-^dj» n'est autre chose que la différentielle

totale des (il} : on aura donc

du, du. du.
ax dy J dz

c'est-à-dire qu'on pourra égaler à zéro la différentielle première
de l'équation u = o prise par rapport aux trois variables x, y
et z. Il ne faut cependant pas perdre de vue que celle diffé-
rentielle doilètre regardée comme équivalente à deux équa-
tions; car, lorsqu'on y aura substitué pour àz sa valeur

^da: -+- ^dj-, l'indépendance des accroissements Ax et dy

exigera que les deux quantités qui les multiplient soient sépa-
rément égales à zéro.

137. On parviendra aux équations qui donnent les coefli-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i 5t)

cienis des ordres supérieurs en différentianl les équations

11 dx^dz dx~°'

, v , dw du da

tV) d7 + o7d7 = °-

En n'ayant d'abord égard qu'au changement de x, non-seule-
ment z variera, mais en même temps le coefficient du premier

ordre ^ donnera naissance au coefficient du second ordre

dx dj*'

En différentianl donc l'équation (X) par rapport à x, on aura,

comme pour les équations à deux variables,

(XX)

du d'z

' da 7 d*î da Ax' ~ '
Si l'on différent le (X) par rapport à j-et à z, ou (Y) par rap-
port à x et à x, en observant que, dans le premier cas, ~

donne . d ? ■ î et dans le second donne
d'à

dxdy dydx'
on aura un résultat unique qui sera

[ d-u , d'« dz d'u dz
h dzdxdy
d'u da da du d'z _
[ da' dx dj-^ds dtfd^ - °'

Enfin l'équation (V), différenliéc, en regardant / et z comme
seules variables, produira

_ _ _i_ Ël£ -

df^'dy&z dj^da' dy da <iy~ °"

Les coefficients différentiels de la fonction z n'étant qu'au
nombre de trois pour le second ordre, seront donc déterminés
par les trois équations que nous venons d'obtenir.

Il faut observer que si l'on multiplie l'équation (XX) par dj;',
l'équation (XV) par zàxd}-, l'équation (YV) par dr 1 , et qu'on

(YY)

ifio TBAITÉ ËLÉMESTAIRB

ajoute les produits, en remplaçant les termes

on formera la même équation finale que celle qu'on aurait ob-
tenue si l'on avait diflrienlié. l'équaliun

du. Au. d«.

t- Ax ■+- — d r -+- — d z = o,

dx dy J Az

L-n v faisant varier ii lu fuis les qiciinin-s .r, r, r et il ~. i-u }
regardant t\x et dr comme constants, ce qui donnerait la diffé-
rentielle seconde totale de u, dans l'hypothèse de z fonction
de x et de_v.

138. On étendra sans peine ces considérations à tel ordre de
différen lia lion et à tel nombre de variables qu'on voudra ; car
lout se réduit à déterminer celles qui seul imlé pendantes, ce
qu'on ne peut faire que par la nature de la question qui a con-
duit à l'équation ou aux équations proposées; et ensuite on
dilïérentiera par rapport à charnue de ces variables en particu-
lier, en traitant les autres comme (les fonctions de celles-ci.

Si, par exemple, on a les deux équations

entre les cinq variables s, i, x, y et z, on verra que trois de
ces variables soin indépendantes. Supposant donc que y i'l ;
soient les deux variables subordonnées, ou îles l'ourlions de s,
I, x, données par les équations proposées, on différentiel-;!
successivement u et e par rapport à s, par rapport à (, par rap-
port à x, et l'on obtiendra

du du dr dud£_

di dy ds + ds ds ~°'

du du dy d«<lf_

d( dy ût + dz dl ~°'

d« d« dj- du &£ __

Ax dy d^ + d2 Ax~ °"
Si l'on multiplie respectivement ces équations par d*, dt.

Diqitized by Cooa

de c.iLtui. [HtTiiaiivriEi. ht ni', c.u.oui. imkc.uai,.
dx, qu'on les ajoute cl qu'on mette dy au lieu de

~dï-t--p- t\i-h dx,
dl dl d.r

da au lieu de

di d( dx dj* J ds

On tirera un résultai semblable de l'équation v — a ; et il s'en-
suit qu'en différent iant les équations u = a et t> = a par rap-
port à toutes les variables î, /, x, y et z, et en y substituant au
lieu de dy et de ds les expressions de ces différentielles con-
sidérées comme appartenant à des fonctions de trois varia-
bles (i5), il faudra égaler séparément à zéro le coefficient de
la différentielle de chaque variable indépendante.

En regardant tes coeflicients différentiels eux-mêmes comme
de nouvelles fonctions des variables indépendantes, on ne
saurait être arrêté dans la recherche des différentielles ulté-
rieures. Ainsi, après quelques remarques sur l'élimination des
constantes et des fonctions, je terminerai ce qui regarde la
formation des équations différentielles.

139. L'équalion u — o, entre x, y et z, avant deux différen-
tielles premières, il est évident qu'on peut éliminer deux
quantités entre ces trois équations, et le résultai exprimera la
relation des variables x, y, z, et des coefficients différen-

tiels -j— i -=— i indépendainn

s les trois du second
[telles on pourra éli-

miner Cinq quantités, et ainsi de suite.

110. Ceci conduit à une remarque importante : c'est qu'o
peut éliminer d'une équation à trois ou à un plus grand nnmbr
de variables des fonctions dont la forme est absolument in
connue. Soit pour exemple l'équation z = f (ax+by), dan
laquelle la caractéristique f désigne une fonction dont la form

6«éd. t. il

Digiiized by Google

THAITÉ ÉLÉMENTAIRE

n'esi déterminée en aucune manières on en déduit une équa-
tion entre — et ^ indépendante de cette fonction, et qui

dx Ay _____
convient également à z = ax + by, à z = \jax + by, a
« = sin(_ rt-irr), et en générai à toutes les fonctions de la
quantité ax^-'by, quelque forme qu'elles aient. Pour cela,
soit a* -h 67= f; l'équation proposée devient z = l{t), et si
Ion prend ses différentielles premières par rapport à x cl par
[■apportà^, on obtient

d3_df(£] dj_ d_3_df(/) àl (13G 0)
d_ — d( d*' Ay A' Ay '

entre lesquelles éliminant ^j^-» en résulte

d£ d/ _d£ d£_ o
Ay Ay Ay d.r

équation qui se réduit à

quand on met pour |^ et jj, leurs valeurs a et 6.

C'est là un caractère au moyen duquel on pourra reconnaître
si une quantité proposée est une fonction de ax + by ou non ;
car, d'après sa formation, l'équation précédente doit être satis-
faite ou devenir identique toutes les fois qu'on y substituera,
nu lieu de ~ et j^.i les valeurs qui résultent de la diffère fi-
liation d'une fonction de ax + by.

Je suppose qu'on ignore l'origine du polynôme
u'x' + iabxy+b'y J ;
en l'égalant à z, cl en différentiani on trouvera

~ — 7.n'x + %aby, 4^ = *abx ■+■ a6"r.
d x ■ ay

Ces valeurs mises dans l'équation b ^ — a ^ = o, la rendent

identique : on en conclura donc que le polynôme représenté

DigiiizMby Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i63

par z est une fonction de ax-t-by; ce qui esi d'ailleurs évi-
dent, puisque

t&x 1 + inbxy + ¥y> = {nx + by)\
On voit en gênera! que « = o élanl une équation enire x,
y, z et une fonction quelconque représentée par f( /), et dans
laquelle on ne connaît que la composition de / en x, y cl s, on

pourra toujours éliminer f (/) et —^f > ■ l'aide de celle équa-
tion el de ses différentielles relatives à * et à/(* ).

En passant au second ordre, le nombre d'équations deve-
nant plus grand, il est possible, dnns beaucoup <1<: cas, d'élimi-
ner deux fonctions indéterminées; mais je n'entrerai point
dans ces détails, non plus que dans ce qui regarde les équa-
tions qui renferment plus de trois variables.

Application dn Calcul différentiel à la théorie des surfaces courbes.

141. Toute équation à trois variables rcpi i'sc>iilant une sur-
fare. on prendra pour ordonnée de cette surface la variable
qui sera regardée comme déterminée par les deux autres. En
désignant par x, y, z ces trois variables que, dans tout ce qui
va suivre, nous supposerons rapportées à trois av.es perpendi-
culaires entre eux, nous prendrons z pour l'ordonnée, x et y
pour les abscisses d'un point quelconque, en sorte que z sera
une fonction de x et de y.

De même que les lignes sont engendrées par le mouvement
du point, les surfaces le sont par relui des lignes, l'ar exemple,
les cylindres el les cimes dont on s'occupe dans les Élémenis
de Géométrie ne sont que des cas particuliers des doux fa-

(-) Quand 6 = a , t(o*-*-tr), dercnanl r[o(*--*-r)], se ridult ù unc

fonction itn bînflmc 1 + j, el lVi|uaLimi l -, n— - = n se change un

— ~ = 0 , ijui est l'cipretsion do In proprlélo eiiric[érlslin;iio omplnjéo à
dorelopper f(j + 7), dans le n° 10. On Irouve dans le T™hé in-4°. toroel,
rhap. 11, d'aulres fvoinplo île rappliraiinn il.'- t-i|iljtlni» iliUVivciliolle'* par-
tielles 00 Jéirl"p|"'ini'iil l.inclk'iis, 01 p:iilii.ulii:ri'iiii'iil lu liirmulo appclro
le iMoreme de Lagraitçe,

164 TKMTÉ ELKUESTAIBE

milles île surfaces engendrées par une ligne droite, se mouvant
parallèlement ù elle-même, ou assujettie à passer constam-
ment par un. point donné. Pour diriger le mouvement de celle
droite, rien n'empêche de substituer au cercle d'où résultent
les cônes ci les cylindres, une courbe quelconque, située
comme on voudra dans l'espace ; mais, el ceci est bien remar-
quable, on peut, par l'emploi des différentielles partielles,
écarter ce qui tient à la forme de cette courbe, et exprimer en
général le caractère commun de toutes les surfaces d'une même
famille.

En effet, si nous supposons d'abord que loules les droites
génératrices doivent être parallèles entre elles, il faudra que,
dans leurs équations,

y = ax + *, z = hr + $ {Trig., 181),
les coefficients a et b soient constants, cl que les quantités a.
et p varient ensemble, de manière que l'une soit fonction de
l'autre; car la première élant donnée, le plan projetant de la
droite génératrice, sur le plan des xy, est donné, et son inter-
section avec la courbe qui dirige le mouvement de celte droite
achève de la déterminer ( * ) : on aura donc

y=ax-^a, Z = bx + t (a),

f élant une fonction dont la forme dépend de la courbe direc-
trice; mais la première de ces équations donnant
■2.= y — ax,

il en résulte

z — bx = v [y—ax).
Si l'on fail ici h — o, on "aura

Î = T (y—ax),

équation qui rentre dans celle du n" liO.
En éliminant la fonction y dans le cas général, après avoir

(■) Ou bien encore : niicnt r" = j'=o(*'}, les ëquiliom de la

conséquent, nz'+a= f £ = o(r'), d'où, un éliminant y, il

DigilizM 0/ Google

D!i CALCUL IHl-'Krâ i:\TIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i(j5

fait = pilx+qày, on obtient

p-\-aq = b.

142. Quand les droites génératrices doivent tomes passer
par un même point dont les coordonnées sont a, p, 7, leurs
équations deviennent

r -p = « ï- 7 = A (»_.),

ei ce sont les coefficients a et 6 qui varient ensemble à chaque
nouvelle position que prend la droite génératrice; il faut, en
conséquence, poser b = f (a), ce qui donne

L'élimination de In fonction f conduit à

143. On voit encore sans peine que si une courbe plane
quelconque tourne autour de l'axe des z, chacun de ses points
décrira un cercle, ayant son centre sur cet axe, et pour rayon

et, de plus, que le rayon de ce cercle varie avec sa dislance au
plan des xy, c'esl-à-dire avec z. Si donc on pose pour son
équation, x' ■+- ) J = a', a devra être regarde comme une fonc-
tion de z, et vice venâ, d'où il suit

*• ou * = f),
$ désignant une fonction inverse de f.
L'élimination de f conduit à l'équation
py — qx = o,

qui exprime le caractère des surfaces engendrées comme on
vient de le voir, dont la sphère n'est qu'un cas particulier, cl
qu'on nomme surfaces de révolution. Pour les considérer sous
le point de vue le plus général, il faudrait supposer dans une
situation quelconque l'axe autour duquel tourne la courbe
génératrice.

Il n'est encore entré qu'une fonction arbitraire dans l'expres-
sion des familles de surfaces que nous venons d'esaminer; il
y en aurait eu un plus grand nombre, si l'on avait laissé plus

iGÛ TI1AITÊ ÉLÉMESÎTAII1B

de conditions à remplir dans le tentent ou la nature des

lignes génératrices; mais un m p*-ut qu'indiquer ici ce sujet.
Cependant nous ;mr> n- bientôt l'occasion de faire connaître
encore une classe de surferez remarquables : ce sont toutes
celles qui, comme les cylindres et les cônes, peuveni,^ans
déchirure ni dupliraiure, s'étendre sur un (dan, et que pour
rette raison on nomme smfurs tlêveloppabUt [ICI).

Enlin, il faudrait aussi montrer le procédé à suivre pour par-
ticulariser, d'après des conditions données, les formes des
fonctions arbitraires cnuti-nnes d;ms les équations primitives
de.s familles de surfaces; mnis comme son principal usage se
rapporte au Calcul intégral, je l'exposerai à la suite de l'inté-
gration des équations différentielles partielles.

lii. Considérons maintenant les diverses manières de pas-
ser d'un point à un autre, sur une surface quelconque.

Lorsque x varie seul et devient x h, on passe du point M
[Jig. 37) au point m, situé sur la section QMni, faite par un
plan parallèle à celui des x:, et mené par le point M ; l'ordon-
née m' m de cette section a pour développement In série

ds h A'z h' d'à /i>

^d^d^r^^r^- 1 - 1 ^-

Si c'est y qui se change en h, et que x demeure con-
stant, on passera au point ;i situé sur la section FMn faite par
un plan parallèle à eelui des y;, mené encore par le point M,
et le développement de l'ordonnée n'n de cette section sera
_ fis k d's d-£ />

Z ~ ûy 1 ~ t ~ dy* i.» 4 " dy> i.a -3 + C "

En faisant varier x et y eu même temps, on passera du
point M à un point quelconque Pi, et cela de deux, manières
différentes, savoir, en substituant y i au lieu de y dans \".
premier dévekqi peinent ci-dessus, ou bien x -t- A au lien de x
dans le second. Par l'une de ces opérations, on passe de l'or-
donnée m' m a l'ordonnée N'N, dans la section /i/nN, et par
l'autre, on passe de n'n à N'N, dans In section qnti. Il est évi-
dent que ces deux sections doivent se rencontrer nu point N,
sans quoi la surface proposée ne serait pas continue : il faut

Qigrozad by Google

DE CALCUL DIFF8REKT1EL KT DE CALCUL INTÉGRAL iC)y

donc que les résultais rapportés dans les it" 39 et 40 soient
identiques; et l'équation g ^ g ^ ~ d yt T r ' * !aa . uc,lel ' eillcetIe
circonstance, n'est que l'expression de la loi de continuité.
Ayant à considérer particulièrement la série
ds , àz ,
ITr 3>

qui exprime le développement de la valeur de z correspon-
dante à x + A et à y ■+- k, pour abréger, je la représenterai par

s +ph + qk + ^ [rh* -+- zsfik + (**) -+- etc.,

en posant

dz dz d'à d'à d'à

âï=P' nj = ^ dT- = r > dTdT^ 1 ' d7 = ' ;

et je ferai observer que le rapport

k N'ra' .„.,, ,

l=Kf = " , " f ""'

déterminant la direction de U'N' par rapport aux axes des x
et des y, fait connaître celle du plan M'MNY, mené perpen-
diculairement au plan ABC, et coupant suivant UN la surface
proposée.

113. Il suit des considérations précédentes et de ce qui a
été dit n° 136, que si « =o représente l'équation d'une surface
courbe, les équations di Hé ri' miellés

A" .du Ai _ d» du dz _

d.r dz d.r ™° el dy + dz~dy~°

appartiendront respectivement aux deux sections QMfli et ,
PMn; la coordonnée v n'entrera dans ta première que comme
une constante arbitraire, qui détermine la position du pian
coupant : il en sera de même de la coordonnée x dans la se-
conde. On ne doit pas confondre le dz de l'une de ces équa-

I 68 THAITK |':!.]'.!1K\TA1NIÎ

lions avec celui de l'autre, puisque ces deu* différentielles ne
sont que partielles (135).

La différentielle totale, ou l'ensomliK- des termes du premier
ordre, ajanl pour expression

d3 — ïïî da7 + 57 dr== P ix ~ l ~ ? dr '
da = pAx est la différentielle de l'ordonnée de la section pa-
rallèle au plan des xz; semblablemcm iiz = q<iy est celle de
l'ordonnée de la section parallèle au plan des^-a.

Si l'on demandait la différentielle de l'ordonnée de la section
faite par un plan quelconque M'MW perpendiculaire à celui
des xy, l'équation de ce plan, de même que celle de sa com-
mune section M' S', étant de la forme y= ax-î- p j Trig., 176),
établirait une dépendance entre les coordonnées x et y; il ne
-..fui pluj |.i rrniï ■!(■ Int.- ..ifit-i l'iirii- .1.. I .mil. -, .1 ; n.-
pourrait changer qui' il'utu' Ki'iilr- mimièri' ; il latidrail alors em-
ployer la différentielle totale dz=pàx + qAy, en observant
que l'équation du plan coupant donne d/= ad^r, d'où il suit

Cet exemple offre l'explication géométrique de ce qu'on lit
dans le n" 46, relativement à l'emploi des différentielles to-
tales. En supposant toujours une dépendance entre les deux
variables, on fixe la direction dans laquelle on passe d'un
point à un autre sur la surface proposée; car si la section MN
n'était pas faite par un plan perpendiculaire à celui des xy, et
qu'elle eût en conséquence sur ce dernier une courbe pour
projection, la droite M' N' serait la tangente de cette courbe au
point M', et la projection de la droite qui loucherait, au point M,
la section MN faite dans la surface proposée.

liC. La première remarque qui se présente, c'est que la
limite du rapport

m 1 — mm'

WW '

donnant la tangente trigonométrique de l'angle que fait, avec
sa projection M'N'> la droite qui louche an point M la section
formée dans la surface par le plan M'.HN.V (58), mesure l'in-

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. iGg

clinaisOD de celle section par rapport au plan des xy, el in-
dique par conséquent la pente de la surface, dans la direc-
tion MN. Or, pour passer à la limite, il faut substituer aux
accroissements

MM' et M' N'= v'M'm'V Wm'',
les différentielles correspondantes

Az{p-haq}ûx, v/dT'-l-dj- 1 ^ t\x \j '■ ■+- a', (113)
d'où il résultera pour la limite cherchée,

Cela posé, on peut demander quelle doit èire la situation du
plan coupant M'MNN' pour que l'expression ci-dessus, qui va-
rie avec l'angle N'M'm' dont la tangente = isoit un maximum.
Pour résoudre ce problème, il faut différentier cette même
expression par rapport à z, el égaler le résultat à zéro ;i01j ; on
trouvera

'~'" =0 ' " = ''

et si l'on met pour «sa valeur on formera l'équation diffé-
rentielle

qdx — pdy = o,
qui, conjointement avec celle de la surface,

dz — pdx + qtly,
fera connaître la direction dans laquelle doivent se suceédei
les points consécutifs pour descendre du point M au plan des
a-/ par les arcs les plus inclinés, ou la ligne de plus grande
pente qui conduit de ce point au plan des xy- Celle ligne, qui
généralement sera courbe, se présente souvent dans les arts
de construction.

147. Venons maintenait! aux osculaiions des surfaces; con-
cevons-en deux passant par un même point avait! pour coor-
données x, y, :, ei qu'en changeant x en x + h,y ea 'y+lf,

IjO TRAITÉ ÉLFJUEKTAME

l'équation de la première surface donne

z + ph -Hç/r-t-- [rk'+athi + (A') -1- etc.,
ei celle de la seconde

leur dislance pour le second poini que l'on considère sera,
dans le sens de l'ordonnée s,

(p-P)A-H?-QÏ*

+I[(r-R)A'-f-a(»-S)AA- + t(-T)A']
-H etc.,

série qu'on peut rendre convergente, en prenant h et k très-
petits, et qui diminuera de plus en plus de valeur, lorsqu'elle
perdra les termes de sa première ligne, puis de sa seconde, et
ainsi de suite. ,

En raisonnant ici comme on l'a fait par rapport aux courbes
dans le n" 75, on se convaincra qu'une troisième surface pour
laquelle ces termes ne disparaîtraient pas, passerait nécessai-
rement en dehors des deux autres, dans tous les points qui en-
vironnent leur point commun.

Lorsqu'on aura

p-V = 0 , ?-Q = o,
les deux premières surfaces préposées se loucheront, et leur
contact sera du premier ordre; il sera du second, si l'on a en
mémo temps

r—a=o, t—s=o, t—r=o,

et ainsi de suite.

Ii6. Si l'on suppose maintenant que l'équation de la seconde
surface renferme un certain nombre de constantes indétermi-
nées, on pourra disposer de ces constantes pour anéantir les
premiers termes de la distance des deux surfaces, et établir
ainsi entre elles le contact de l'ordre le plus élevé possible,
c'est-à-dire une oscillation.

En représentant par x' , y, :' les coordonnées de la seconde

DigilizM 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAI.. IJ(

surface, la première coniliiion a établir, c'est qu'en changeant
dans son équation, que je représenterai par V'=o, x' et y en x
eir. on en tire

afin que les deux surfaces aient un point commun. IU'iiip!;ii.;mi
ensuite les lettres

p, q, r, s, t, etc., P, Q, B, S, T, etc.,
par les coefficients différentiels qu'elles désignent, les condi-
tions posées dans le numéro précédent deviendront, pour un
contact du premier ordre,

dz' d_£ d z' d_s

d^ — d*' d?" dy'
de plus, pour un contact du second, "

d'à' _d'g d'à' _ A'z d's'_d'z
d*"~~d*»' dx'df ~dxdr' d/' — dj 1 '
cl .linsi rie snit<\ cre qui éhihlit que ks rliffi'-roiitirll^î pai-lirllcs
du premier ordre, puis celles du second ordre, etc., de l'équa-
lion V' = o, sont satisfaites quand on y change x', j J , z' al
leurs différentielles, en x, y, z et leurs différentielles.

140. Appliquons d'abord cequi précédeau plan, en prenant
pour V'= o l'équation

z'=Kx'+B/+b [Tri g.,, -fi):

comme il n'y a ici que trois constantes, on ne peut satisfoii-o
qu'aux trois conditions du contact du premier ordre. La pre-
mière donne

z'=z = Ax-p-Bj'-l-D,

et les deux autres

du' . As dz' _ n_da

dx r ~ A ~dx > d/~~ Ar
En vertu de celles-ci, il vient d'abord

DigiiizM b/ Google

17a TBAITÉ fil-liM EST A ItlE

ei retranchant celle équation de telle du plan, on obtient
.'-* = fî (*•-*)+!£(/-,■),

OU

z'— z =p\x' — x\ ■+- g {/ — y} :
telle est l'équation du plan tangent à ta première surrace, au
point dont les coordonnées sont x,y, z.

On déterminerait encore ce plan par la condition qu'il doil
contenir les tangentes de toutes les secijons qu'on pourrait
faire dans la surface, par le point M ; car pour ces umgcnies, ona

&s = {p + a q)dx [145),
et, lorsqu'on fait ily = atlx, l'équation du plan donne
dz'= kdx+ Btiy = (A-J-aB)d,*,

résultai qui sera identique avec le précédent, quel que soil a,
si k=zp et B = q.

150. La droite perpendiculaire au plan langent, menée par
le poinl où il touche la surface proposée, s'appelle normale, et
ses équations sont, d'après celle du plan langent,

*-x+p[*'-*)=*,
/-r-t-î (*'-*) = ° [Trig., i8a) (*).
La distance du point considéré sur la surface courbe, à un
poinl quelconque pris sur la normale, sera

1[*-*)-+{ï-rY+l*'-'r= («■-'»)

d'après les équations ci-dessus; ei si l'on fait s' = o, le résultat

— z

donnera la longueur de la partie de la normale comprise cuire
la surface proposée et le plan des xy.

151. Les conditions d'un contact du second ordre étant au
nombre de six (U8|, ne peuvent pas toujours èire remplies par

(*) Noua I™ retrouveront pins loin (1J7|. par une cunsidoraliuii Je DHti-

DigilizM 0/ Coogl

DE CALCUL DIFFKRBHT1BL ET DE CALCUL INTÉGRAL. i ? 3

la sphère, puisque son équation générale ne renferme que
quatre constantes, savoir, les trois coordonnées du centre et le
rayon [Trig., 184) : elle ne saurait donc avoir dans tous les
sens la même courbure que la surface proposée. Pour mesu-
rer cette courbure, il faut employer deux cercles osculateurs
différents, qu'Eulcr a déterminés le premier, mais auxquels
Monge est ensuite parvenu par des considérations très-élégantes
que je vais exposer.

On a vu, dans le n° 80, que les points de la développée, oit
les centres de courbure d'une courbe, sont les limites des in-
tersections des normales; étendons celte détinilion aux sur-
faces, en cherchant les limites des intersections de leurs nor-
males consécutives, el pour cela reprenons les équations
[a) x' — x + p{z'—z) = a ,

(*) /- r + ï {«'-»)=o,

trouvées dans le numéro précédent. Les quantités x, y, z, p, q,
relatives au point que l'on considère sur la surface proposée,
sont constantes pour la même normale, mais elles changent
de valeur lorsqu'on passe à une seconde normale; or, ce pas-
sage pouvant s'effectuer dans une infinité de directions, savoir,
du point donné à chacun des points environnants, il faut faire
varier en même temps x, y et z; cl puisque l'on ne cherche
que le point d'intersection de la première normale avec la se-
conde, on regardera connue constantes les coordonnées x', y'
el z', affoelées à ce point.

En difrérentiani ainsi les équations [a] et (b), et posant
dp = rdx-i-*iiy, dq=.s&x-\-tdy (144etfc4}, ,
on trouvera

(«') — dx — /)'d.r— pqAy+ (s'— z) [rdx-\- sûy] =o,

(ft'] —Ay^tfdy— pqdx + [*'—*) (*d*-r-*d»=t>.

Hais les équations fa] et (b) donnant les valeurs de x'— x et
de/ — y, lorsque celle de z'— 3 sera connue, il fout, pour que
la question proposée ait une solution, que les deux équa-
tions (a!) el[b') s'accordent dans la détermination de cette der-

, -4 TBA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

nière quantité, c'esi-à-dirc qu'on ait

dx + p>Ax-j- p qAy Ay+ q> Ay + pq A x _

rd^+idj- ~ 7Ax-i-tày '

ce qui établit une relation entre Ax et dr, et montre que la

seconde normale ne rencontre la première qu'autant que le

point d'où elle pari est dans la direction marquée par la valeur

de — ■ 0r > en faisant
Ax

Ay= mAx

dans i 'équation précédente, et ordonnant par rapporta m, on
obtient le résultat

| [(■+«■>— «<]«'+ [(■+«•)■— (>+*■)']«

qui donne pour m deux valeurs: il n'y a donc, en général, à
chaque point d'une surlare, que deux directions dans lesquelles
deus normales consécutives se coupent, et soient par consé-
quent dans le même plan.

Un simple changement de coordonnées suffit pour mettre
en évidence la relation que ces directions ont entre elles, sur
la surface proposée. Il est visible d'abord qu'on peut faire coïn-
cider le plan des xy avec le plan langent au point que l'on con-
sidère, et placer l'origine des coordonnées à ce point, sans,
pour cela, déranger la position respective de la surface propo-
sée, et de ses normales; mais alors x = o, y= o, 2 = o, et,
dans l'équation du plan tangent, doit être nul quels que
soient x> cl/, ce qui exige quey> = 0, q = o, et réduit l'équa-

,<+ (r-

[*•-') -

et comme à présent toutes les droites qui louchent, au point
M [fig. 38), la surface proposée, se confondent avec leur pro-
jection sur le plan des xy, m' el m" représenteront les tan-
gentes des angles que font, avec l'axe des x, les droites indi-

OigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 173

quant les directions sur lesquelles on trouve les normales qui
se coupent; ainsi, ces directions seront perpendiculaires entre
elles (•).

152. On voit aussi qu'en menant par l'axe des z, qui coïn-
cide à présent avec la normale MG, et par chacune des tan-
gentes MIS' et M«', correspondantes aux valeurs m' el m", des
plans, ils couperont la surface proposée suivant deux courbes,
dont les cercles oscillateurs seront aussi ceux de la surface,
puisqu'elles auront deux normales communes avec cette sur-
face, tandis que les autres courbes ne sauraient en avoir
qu'une.

C'est par les rayons de ces cercles qu'on mesure les cour-
bures de la surface proposée; or, leur cïpression est évidem-
ment celle de la dislance

entre l'intersection des normales et le point que l'on considère
sur cette surface. Par la substitution des valeurs de et
iley — jr, tirées des équations {a) et [b], on trouve

(1' — «J^i + ^+f,
où il n'y a plus qu'à substituer pour s' — z sa valeur tirée de
l'une des équations («') et (/>'); mais on arrive à une valeur

indépendante de m, en éliminant d'abord ~ de ces deux

d*

équations, ce qui donne

(<*)

hp>)-j-jz'-*)r _ M-l*—*U

(*'-*)■ -{>+?') + (*'-*)''

posant ensuite
(s' — z) ift+p"+q' =3, d'où z' — z

puis substituant celte valeur de z' — z dans l'équation précé-
dente, faisant disparaître les dénominateurs, et ordonnant par

1 sphère seulement, pirec que to

I j6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

rapport à 5, on obtient

I [rt—i>)l>-[(l+p>)t — %pqi+(l+tf)r]t}/,+p t -1rq'

équation dont les racines exprimeront les rayons des deux
cercles oscillateurs.

Les valeurs de m, données en fonction de x,y, z, changeant
avec ces variables, pour chaque point de la surface proposée,
il en résulte les équations différentielles

d y= m'àx, Ay = m" d x,
qui déterminent, sur le plan des xy, deu\ courbes passant par
le point M' {Jig. 37), et qui sont les projections de celles qu'il
faut suivre sur la surface, pour rencontrer des normales qui se
coupent.

Chaque point M de la surface proposée se trouve sur deux
de ces courbes; celle qui répond à la plus petite des valeurs
de 3 est la ligne de plus gronde courbure, l'autre est la ligne
de moindre courbure.

Quand tes valeurs de d* ont le même signe, les deux cour-
bures de la surface sont tournées dans le même sens, et en
sens contraire si ces valeurs sont de signes différents.

Enfin, si l'on élimine x, y et z entre l'équation de la sur-
face proposée et les équations [a], (li), (d), on aura, par les
coordonnées x', y J , z' , l'équation de la surface qui est le lieu
de tous les centres de courbure de la proposée, et qui, en gé-
néral, sera composée de deux nappes, dont l'une contiendra
tous les centres de la plus grande courbure, et l'autre ceux de
la plus petite ('}.

Des points singuliers des surfaces courbes, des maximums et
minimums des fonctions de plusieurs variables.

151!. Les surfaces courbes offrent, dans leur cours, non-
seulement des points singuliers distincts, en nombre limité,

(') On trouvera, «la pa Ë o5Sodu l« volume du TraiirHn-4°, la formule i>oiir
déterminer |i:>r .ts lourlmrca celle d'une section l.iilc dm» la surface par un
plan quelconque.

Dlgitizcd by Google

DE CALCUL MFFÉn&NTIEL UT DE CALCUL INTÉGRAL. 1 yj

mais ces points y forment aussi quelquefois des suites conti-
nues, qu'on pourrait nommer lignes tingulières; les uns el les
mitres correspondent à des valeurs parti qui i ères des coeffi-
cients différentiels de l'ordonnée de la surface, analogues à
celles qui nous ont conduit à la détermination des points sin-
guliers des courbes. Mais pour se faire une idée de la forme
d'une surface, il ne suffit pas d'en chercher des points isolés;
il faut, comme pour la construire, imaginer un ensemble de
sections faites par des plans ou des surfaces assujetties à une
loi constante ei déterminée.

C'est ainsi qu'on peut reconnaître en quel point d'une sur-
face son ordonnée est un maximum ou un minimum, c'esi-
a-dire plus grande ou plus petite que toutes celles qui l'en-
tourent immédiatement, dans quelque direction qu'on les
prenne; car il doit y avoir alors un maximum ou un mini-
mum sur toutes les sections que forment, dans la surface pro-
posée, les divers plans passant par cette ordonnée. Or, en po-
sant pour l'une de ces sections

le coefficient différentiel de la variable z considéré
l'ordonnée de celle section sera exprimé par

v'djC-i-dj'

et devra être nul ou infini (101), indépendamment d'aucune
valeur de a, pour qu'il y ail maximum ou minimum, quelle
que soit la situation du plan coupant.
Les conditions du premier cas seront donc

et par leur moyen on déterminera les abscisses du point
cherché; mais, comme dans les courbes, on ne pourra pas
conclure de ces seules conditions qu'il y ail maximum ou
minimum : tout ce qu'il s'ensuit nécessairement, c'est que le

,^8 TRAITÉ ÉLÉUEMTA1HB

plan tangent est parallèle à celui des xy, puisque son équa-
tion se réduit alors à z' — 1 = 0 (14-9).
Si la surface proposée est la sphère donnée par l'équation

x' + y> + z'=a\

d'où

x = o, 7=0;
et on verra, par l'expression

ss=l/5 — — J**i
que toutes les valeurs de z qui répondent a des abscisses dif-
férentes de zéro sont < a.

154. En n'ayant égard qu'à la marche des valeurs de l'or-
donnée z, on rencontre aussi des maximums et des minimumt
qui rendent infinis les coefficients différentiels p et q : en
voici un exemple.

Si dans l'équation

z=b + {x'+y*)\
on fait x et y nuls, on aura z = b, et dès qu'on prendra x t\y
différents de zéro, on rendra z > b. Celte valeur est donc bien
un minimum; mais en supposant aussi x et „r nuls, dans les
expressions

2x ^ g~. . a - v ,

S ït^-r-rï*

on trouve Pour en connaître la vraie valeur, il faut d'abord
o

poser y = mx, ce qui les change en

P = i ~ [' 1= ! T>

3**(i-H»')« 3*' (■+«•)•

et montre qu'elles sont réellement infinies, lorsque * = o et
que m est assignable, d'où il résulte y = o.

A la vérité, si l'on cherche la forme de celte partie de la
surface, on reconnaîtra sans peine que le point qui répond

Oigiiizcd ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IHTÉGRAL. (jp,

à x=o, y=o, est une espèce de bec ou de rebrousse ment,
au delà duquel la surface ne s'élend pas, et semblable à celui
que produirait la courbe EM [fig. i4) en tournant autour de la
ligne PM. On verra aussi que p el q se présentent sous la

forme - , parce que la position du plan langent à ce point est
indéterminée, puisque loui plan qui passe par l'axe des z
louche et coupe la surface.

Il existe aussi, sur les surfaces courbes, des suites de points,
ou des lignes dans lesquelles elles retournent sur elles-mêmes,
qui sont nommées arêtes de rebmussemenl [on en verra bien- ;
lot un exemple), et d'autres lignes où les courbures changent
de cùté. Celles-ci sont des lignes d'inflexion, qui peuvent se
reconnaître par le changement de signe des rayons de cour-
bure; mais tous ces détails sortant des limites que j'ai dû me
prescrire, je vais passer à la recherche purement analytique
des maximums el des minimums des fonctions de deux va-
riables.

155. 11 est évident que la différence

u'—u={[x + h, r+ *■] — f [x, rh
entre deux valeurs successives d'une fonction, lorsque les ac-
croissements demeurent très-petits, mais sont d'ailleurs quel-
conques, doit rester toujours positive si la première valeur
de u est un minimum, ou négative dans le cas contraire.

Pour examiner les conséquences de cette condition, il faut
en général développer, suivant les puissances ascendantes des
quantités A et k, la différence indiquée ci-dessus; mais en nous
bornant ici au cas où les coefficients différentiels ne deviennent
pas infinis, nous pourrons faire usage de la série du n° 41, el,
pour abréger, nous désignerons par

B, C, D, E, F, etc.,

les fonctions

iu du d'il d'u 'd'w

d*' d/ dïi* dïdj-' dp ClC -

Posant ensuite h = ah, il viendra ^

DigihzM bjr Google

l8o TKMTI Kl ÏVIKVMinP

série clans laquelle If ternir alkc le île la première puissance
de li pourra devenir supérieur a la somme. île tous les autres :
et comme il changerait de signe en même lemps que h, il fau-
dra qu'il s'évanouisse lors du maximum ou du minimum, ce
qui Fournit l'équation

B -u C« - o.

qui, devant subsister dans tomes les relations de /■- avec li,
doit se vérifier indépendamment de a : on aura doue

— . *- » ë- M-

ainsi qu'on l'a déduit des considérations géométriques (133).

Ces conditions étant remplies par les valeurs de x et rie r
déterminées en conséquence, il faut encore que les coefli-
oienls I>, F. et F ne s'évanouissent pas en même lemps, et, de
plus, que le signe de la quantité qui forme la seconde ligne du
développement ci-dessus soit indépendant des valeurs de a.
En donnant à cette ligne la forme
f \ FA'/D aE ^ \

W — [f + T *+")•">

un volt que son signe restera le môme si le polynôme

i change pour aucune valeur de a; et c'est ce qui arrivera,
si, étant égalé à zéro, il n'admet pour a que des valeurs
imaginaires ou des valeurs égales : or ces valeurs, exprimées
-en général par

— Eiv'E' — FD
.= F

seront imaginaires lorsque E' < FI), et égales si E' — FD.

Sans ces conditions, il n'y aura ni maximum ni minimum;
et comme elles exigent d'abord que F et I) aient le même
signe, celui de la quantité [a) ne dépendra plus alors que du
signe du coefficient F; on aura donc un minimum s'il est posi-
tif, et un maximum s'il est négatif.

Euler, dans ses Instititlionrs Cati-uli differentiatis, n'indiqui-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL KT DU CALCUL INTÉGRAL- i8l

qu'une seule condition, savoir, que 1) et F soient de même
signe; Lagraoge montra le premier qu'elle n'était pas suffi-
sante, et donna sur ce sujet mie théorie s laquelle il ne man-
quait plus que l'examen du cas uù E' = FI), discuté depuis par
M. Français ( * }.

SI les coefficients du second nrdre s'anéantissaient en rm'ine
temps que ceux du premier, il n'y aurait maximum nu mini-
mum qu'autant que les coefficients du troisième ordre dispa-
raîtraient aussi, ot que les tenues du quatrième Tonneraient
une quantité dont le signe ne dépendrait aucunement de a,
<*est-à-dirc que le polynôme en a, qui monterait alors au
4' degré, étant considéré comme une équation de ce degré,
n'aurait que des racines imaginaires ou des racines égales.

156. Pour exemple analytique, j'ai choisi la question sui-
vante, analogue à celle du n° 1011 : Partager, la quantité
a en trois parties, x, y, a — x — y, telles, que. le produit

On a alors , *
yt = ^ r ( a — x —y)^ j ma — mx—my—px j=o,

les facteurs ma — nix — my — px et na — nx — ny — py, étant
égalés à zéro, fournissent les équations

m [a — x—y)—px = o, n[a — x—y) —py=o,
qui, par l'élimination de a — x — y, conduisent à

mpy — npx = o, d'où y =
et l'on trouve ensuite

X ~ m-i-n-r-p' r ~m-\-n-k-p' " * • ~ m -4- » +■ p '

{■) fur™ lu Treilii in-J", III' i-uluinc, ].n C ufiJi.

DfgIBnd By Google

I 8? TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Pour savoir si ces valeurs appartiennent en effet à un maxi-
mum, on fes substituera dans les expressions générales de

à'_u d'« d'w .
d*'* dxdy' d.) J '

en faisant , pour abréger, m -t- ra -t- p — q, on trouvera

Les quantités D et F sont toutes deux négatives, et l'on s'assu-
rera sans peine qu'elles remplissent la condition E'<T>F
lorsque les exposants m, n, sont positifs; ainsi on a obtenu
le maximum demandé.

157. Comme application géométrique, je prendrai la déter-
mination de la plus courte distance entre un plan et un point
donnés.

Soient x, y, s les coordonnées du plan, qui sont les incon-
nues du problème, x 1 , y, z' celles du point, qui sont les
données ; la distance entre le point et le plan sera exprimée
par

u=,i{x-x-y+(y--ï>y+{*-z-Y,

qui devra être considérée comme une fonction des deux va-
riables x et y, à cause de la dépendance qu'établit entre celles-ci
et l'ordonnée s l'équation du plan donné. Si on la représente
par z = kx-±- Bj-f-D, que l'on différentic u dans celle hypo-
thèse (136), on aura dz=kdx-\-K&y, et, supprimant les

dénominateurs des valeurs de ~ et de ou trouvera
dx dy

x-x'+(z-z'}A. = o, r -/- r .(,_»')B=o,

équations qui soni précisément celles de la perpendiculaire au
plan donné.

S'il louche, au point dont les coordonnées sont x, y, z, une

DE CALCUL DIFFÉRENT! EL ET DE CALCUL IKTKGRAL. ( 83

surface courbe pour laquelle dz = pAx -+- qt\y, comme alors
\ = p, li — q, les équations ci-dessus deviendront celles de la
normale à celle surface (150).

De l'application do Calcul différentiel aux courbes à double
courbure, et des surfaces développât les.

158. On sait [Trig., ig3) que deux équations primitives
entre trois variables se représentent par une ligne considérée
dans l'espace, tandis qu'une seule équalion entre trois va-
riables appartient a une surface. Lorsqu'on veut appliquer le
Calcul différentiel aux courbes à double courbure, on peut les
regarder comme les limites de polygones dont trois cùlés con-
sécutifs ne sauraient être dans le môme plan. Le prolonge-
ment de l'un de ces côtés donne la tangente, de même que dans
les courbes planes.

Ainsi la tangente MT de la courbe MX [Jig. 3g) est la droite
qui passe par les points dont les coordonnées sont

x,y,x, x+Ax, j-r-dj-, z-hdz;
et l'on aura, pour les équations de ses projections sur les plans
des xj- et xs,

f-r=% (•"-*).

qui appartiennent évidemment aux lignes M'T' et M"T", tan-
gentes aux projections M'X' et M"X" de la courbe proposée (08).
Il ne reste plus qu'à mettre dans ces équations, au lieu des
coordonnées s, et de leurs différentielles, les valeurs tirées
des équations des projections de la courbe proposée.

159. Deux tangentes consécutives TM et im déterminent le
plan qui passe par deux côtés consécutifs, et qu'on nomme
plan oscillateur; on peut trouver son équation en le regardant
comme passant par trois points consécutifs de la courbe pro-
posée. Soit donc

DigilizM py Google

l84 THA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

son équalion ; il faudra qu'on ait d'abord

puisqu'il doit contenir le point doni les coordonnées soni x,
y cl z ; et pour que les deux points suivants s'y trouvent aussi,
il faudra de plus que la différentielle première, et la différen-
tielle seconde de son équation aient lieu en même temps que
celles des équations de la courbe proposée.

On pourrait prendre une dos différentielles Ax, Ayou d =
pour constante '133); mais il sera plus symétrique de les
traiter toutes comme vnriables en même temps, et il viendra

d';=Ad'j-+Bd'.n

d'oil l'on tirera

^ dzd'y — d.rd'; jj _ d^d'2 — dz d'.r

AxA'y — AyA'x ~ dard*/ — d/d'a?'

puis retranchant l'équation

3 = \x + B r + D

de

mettant ensuite pour A et B leurs valeurs, faisant disparaître
les dénominateurs et passant tous les termes dans un seul
membre, on trouvera

(x-—x) {AyA'z — ûzd^y) + (/—/) (AzA'x—âxA'z)
-+- ( 2' — s ) (dxAy— AyA'x) = o.
résultat remarquable par sa forme.

En y substituant pour deux quelconques des trois coordon-
nées^,/, z leurs valeurs Urées des équations de la courbe
proposée, on aura l'équation du plan osculateur, particularisée
par la coordonnée restante.

Ici s'offre l'occasion de vérifier ce qu'on lit à la fin du a° 132;
car si, en regardant d'abord / et z comme des fonctions de x,
on fait

Ay = pAx, A'y = qAx*, Az = p'Ax, A , z = q'Ax i ,

Digiiizcd 0/ Google

DE CALCUL DIFFKRbNTIKI, ET DR CALCUL INTÉGRAL. i85

ei qu'ensuite on suppose les trois variables fondions d'une
quatrième t, on aura, par le n" 131,

d'y= çdx'-f-pd'^, A'z = q'ûx'+pT&'x,
valeurs dont la substitution dans l'équation du plan osculaleur.
Taisant disparaître il'.r, conduit au même résultat que si l'on
eût Tait Ax constant.

160. On observera en passant que la différentielle de l'arc
de la courbe a pour expression

puisque c'est celle de la distance des points dont les coordon-
nées respectives sont

x.y.z, jr+dx, r-Hày, 3-HtU.

161. La série des tangentes d'une courbe a double cour-
bure, ou, ce qui revient au même, la suite de ses plans oscu-
laieurs, lorsqu'on les mène par des points peu éloignés, forme
un polyèdre composé de plans angulaires accolés les uns aux
autres par un côté commun, et qui peuvent se ramener au
même plan ou se développer en les faisant tourner autour de
ce côté : c'est ce que représente la fig, 4o. Si, pour plus de
simplicité, on n'y considère en premier lieu que les lignes
tirées en plein, on verra bien comment les côtés du poly-
gone MM, M, M, . . ., prolongés dans le même sens, forment
les angles

TM,T| , T,M,T„ T,M,T„ T 1 M,T,, etc.,
situés d'abord dans des plans différents et qui se ramènent sur
un seul en tournant autour des lignes

M, T,, M, T,, M,T, , etc.
Considérant ensuite leurs prolongements dans le sens op-
posé, parties qui sont ponctuées et qui croisent la direction
des autres, en passant soit au-dessus, soit au-dessous, on en
voit naître une seconde nappe du polyèdre, laquelle rencontre
la première suivant les côtés du polygone, qui devient ainsi
une ligne de rebrousser lient sur ce polyèdre.

OigiiizM bf Google

■ 86 traité élémentaire

Il est bon d'observer que chaque côté de ce polygone peut
être envisagé comme l'intersection de deux faces contiguës du
polyèdre, ei chacun de ses angles comme celle de irois faces
conséculives du même polyèdre.

Cela posé, si l'on conçoit que les points pris sur la courbe
proposée pour former le polygone se rapprochent de plus en
plus, le polyèdre tendra sans cesse vers un corps continu qui
en sera la limite, comme les cylindres et les cônes sont celles
des prismes et des pyramides ; et sa ligne de rebroussemcnt se
changera dans la courbe proposée, qui est aussi nommée Varéte
de rebmussement de la surface formée par ses tangentes. Telle
est l'origine la plus simple des surfaces développables annon-
cées dans le n° 143.

Lorsqu'on a les équations de la courbe proposée, celle de la
surface de ses tangentes s'obtient facilement ; car si, dans les
équations de la tangente,

/-/=^-*>.

>-*=gJ(*'-«) (158),

on change x, y, s, en a, p, y, afin de pouvoir supprimer les
accents affectés aux coordonnées courantes de cette droite, et
qu'on représente par

P=T { R ), jjUfH, 7-+M. Ê-m

les équations des projections de la courbe proposée, et leurs
différentielles, en sorte que les équations de sa tangente de-
viennent

(a) {«)(*—],
(fi) («)(#-.),
celte droite n'est plus particularisée que par la valeur de a. Si
donc on élimine a, ce qui est toujours possible quand les fonc-
tions f et $ sont connues, l'équation résultante en x, y m z ap-
partiendra a l'ensemble des tangentes de la courbe proposée ei
sera par conséquent l'équation de la surface qu'elles forment.

Oigitized b/ Google

de calciîl diffkkkstiei. et de calcul intégrai, 187
Il est évident qu'on pourra reconnaître par cette équation si
la courbe donnée est plane on à double courbure, puisque dans
le premier cas la surface dont on vient de parler sera un plan,
ei dans le second une surface courbe.

Quanti les formes des fonctions f et !/ ne sont pas données,
l'élimination ne peut s'effectuer qu'en différemiant, et l'on
parvient alors ou caractère général dos surfaces tiéveluppables.
Il faut d'abord observer que l'équation [a), établissant une re-
lation entre x, y et o, fait voir que la dernière de ces quantités
est une fonction des deux autres : je différentie donc sous ce
point de vue, et successivement par rapport à a: et par rapport
à /, les équations (a) et (6). Pour abréger, je pose

dz =pùx + tfdr, ^= ^=«°J
après les réductions, il vient

0 = t 'H-H*-")«YW,

■ ;, = +'(«) + (*-.).'+>).
q = — ( a );

mettant alors dans les valeurs de pat de q celles de (a; — a) a'
et de [x — a)a", tirées des deuK premières équations, p el q
prendront la forme

* = •(«). ?='(«).
* et ï désignant des fonctions dépendantes de ? el de et par
conséquent arbitraires. Il résulte évidemment de là que
p = a(q),

o étant aussi une fonction arbitraire comme les précédentes.
Maintenant si l'on fait, ainsi que dans le n° 151,
$p = rAx-i-*Ay, dq = sdx + tdy,

qu'on différentie successivement par rapport à a: cl par rapport
à y, l'équation /» = o(ij),on obtiendra

r= a '[q)t, t = tf{q)f,

et éliminant la fonction u' (q), on aura enfin l'équation diffé-

l88 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

rentielle partielle du second ordre

, , d-: d's / d'* \>

rl — *'=o, ou -7— -r—, — {-. — 3-1=0,
dar' dr" \àxdyj

qui exprime le caractère général des surfaces développât) les,
découvert par Euler, mais sous une autre forme.

Il faut d'abord remarquer que l'équation [e] du n° 152 se
réduit au premier degré lorsqu'on y fait rl — s'=o, ce qui
montre que les surfaces développables n'ont qu'une seule
courbure, et qu'à proprement parler l'une des deux valeurs
de S devient infinie dans ce cas. La ligne de courbure qui s'y
rapporte est précisément une des tangentes génératrices, celle
qui passe par le point que l'on considère.

Le plan qui touche la courbe à ce point passe par la même
droite, à tous les points de laquelle s'étend le contact entre le
plan et la surface proposée, comme 11 est aisé de le voir, puisque
ce plan n'est autre que la limite de ceux qu'on mènerait par
deux tangentes consécutives.

Cette propriété, particulière aux surfaces développables et
résultant de ce qu'elles sont composées de lignes droites qui
se coupent deux à deux, les distingue de toutes les autres
surfaces sur lesquelles le contact avec un plan n'a lieu, en gé-
néral, que dans un seul point.

162. Mener une normale à une courbe considérée dans l'es-
pace est un problème indéterminé ; car il existe un nombre
infini de droites qui, passant par le point donné, sont en même
temps perpendiculaires à la tangente : l'ensemble de ces droites
forme un plan perpendiculaire à cette tangente, et qui se
nomme plan normal. En donnant aux équations de la tan-
gente (168) la forme

on voit que l'équation du plan normal est

(*'-—•) ^7 + \f-r) % + *'- = = ° {Tri*, .8=).

DE CALCUL DIFFKREXTrKI. ET 1>E CALCUL INTEGRAL. 18g

I') (x , -x)dx + {y'-y)d r +(z'-!)A* = o.

Considérons maintenant le plan normal pour le point con-
sécutif; il est évident qu'il coupera celui qu'on vient de déter-
miner, et que, sur cette intersection, les coordonnées a/,/,;'
n'auront pas varié, quoique x soit devenu x + di : on aura
donc alors

(a) (*-_- x)d>x+iy'— y)A' r+ (x>— 3 )d'*-d*»=o,
en posant, pour abréger,

ûx'-t- dy-+- ds'=di*,

et le système des équations (i) et (2) représentera la droitedont
il s'agit. Si on le combine avec les équations de la courbe pro-
posée, pour éliminer x, y et s, il restera une seule équation,
appartenant à la surface qui est la limite des intersections suc-
cessives des plans normaux, comme la développée des courbes
planes est celle des intersections consécutives de leurs nor-
males (80).

Celte surface est évidemment développante ; car, ainsi que
celle des tangentes, elle est composée de lignes droites qui se
coupent deux à deux, puisque, si l'on substitue un polygone
à la courbe proposée, l'intersection du premier plan normal
avec le second, et celle du second avec le troisième, seront
toutes deux dans le second, et ainsi de proche en proche.

C'est ce que l'analyse prouve aussi; car si l'on changea en a
comme dans le numéro précédent, qu'on fasse di constant, et
qu'on supprime les accents, les équations (1) et (3) deviendront

[i'J *-«+ lr-f [*)W W + [*-♦(*)] V [«) =°.
I [r-?(-)]T"(«) + [«-*(-)]r(«H_;

» ' | _,_,'(„)>_.!<(«). }-°>

la seconde étant la différentielle de la première par rapportas,
montre qu'on peut différenticr celle-ci par rapport àx M y,
sans faire variera, puisque les ternies qui résulteraient de cette
fonction seraient nuls en vertu de ia seconde équation. La pre-

Oigiiizcd by Google

igo TRAITÉ ÉLÉlIEYTAIflE

mière donnera donc seulement

i+p¥(«) = 0 , ï'( a ) + 5 f i»=o.
d'où il faut conclure, comme dans le numéro cité, que
*> = -(?} C).

163. Nous sommes maintenant en étal de déterminer les
courbures, ou flexions d'une courbe à double courbure. La
première, celle qui subsisterait encore quand on développerait
la surface des tangentes ou des plans osculateurs, est celle dit
cercle qui est la limite de tous les cercles passant par trois
points consécutifs de celle courbe, cl contenu par conséqueni
dans le plan oscillateur. Son centre, qui est évidemment l'in-
lerseclion de ce plan avec les deux plans nui-maux consécutifs,
sera donne en joignant l'équation du plan osculateur {159] au
système des équations (i) et (a) du numéro précédent.

■ (') Si, dans l'équation (■'), ™ <■»

«+fl«)f'W+*(«)r'(«)=n

ce qui rendra a foncUon do m, on pourra poser

(/(«)«-•(»), f(,<)«-T(i«),

(i-) x+r*(m]- i - J .T( m ) = ™,

(»*) J -*'(™) + *»'(*)=>-

Cm équations , qui dérivent de celles du plan, r-t- A/-t- Bi = m, dans laquelle
on a rendu deui des constantes fondions de la troisième, appartiennent à ]>
mile dei inlcnectioni d'un plan assujetti à bo mouvoir d'une manière quel-
conque dans l'espace : tel est l'énoncé le plus concis de lu formation des sur-
fa» développa bits.

En joignant aux équations (i*) et (a") la différentielle de la deuxième, prise
seulement par rapporta m,aDn de passer au point commun 1 deux intersections
successives des plans gén craie nrs, on aura pour ce point
(3') r*'(m)+.Y'(m) = o;

et si l'on élimine m entre les équations (."), {a") et (3-), on obtiendra l'aréle
de rebrousse me ni Jf In surface deicluppablc (101 ).

La famille de. surraces dcieloppables ne renferme pas toutes celles qui sont
ennendrées par le mouvement d'une II B nc droite; il y a en oulru les iur/acei
c<mc*« ou rigléa. Vojei, sur co sujet, le Tuile to-j», tome 1"-, page 606, et
P-me 111, page 666.

DigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAL. igi

Au moyen de ces équations, on déterminera les valeurs de
a>— x, f— y, z'—z,
pour l'es substituer dans L'expression

qui sera celle du rayon cherché, que je représenterai par u.
Si l'on pose d'abord, pour abréger,

àxù'y — dyd'x = Z,

dzA'x— d*d 1 a = Y,

d r d-a~ds;d'r=X,
en indiquant chacune de ces expressions par la lettre qui ne
s'y trouve point, l'équation du plan osculateur(i59) deviendra

X + Y(/- r ) + Z( a '_z)=o;

et en la combinant avec celle du premier plan normal (numéro
précédent), on en tirera d'abord les valeurs de x'—x et de
/ — yen z'—z, qu'on mettra dans l'équation du second plan
normal, qui donnera

où

D=(Yds— Zdj-)d'*+(Zd*— Xd 3 )d-r+(Xd r — Yd*)d%
puis

. (Zdg-Xd 3 )d^

r r— p 'j

el substituant ces valeurs dans l'expression de u 1 , on trouvera

,_ [[Xd7— Yd.r)'+;Zdg — Xds)'+[Yd* — Zd y )']dj'
« —

Cela fait, on s'assurera aisément que

Xda; + Yd/+Zdz = o,
et en ajoutant le carré de celle expression au premier facteur

1Çj3 TRAITÉ ÉLÉMENTAIBB

du numérateur de on aura

On verra aussi, en développant la valeur de D, qu'elle se réduit
à X'-t- Y'+ Z" ; on obtiendra donc pour dernier résultat

ci-

L'intersection des deux plans normaux consécutifs étant per-
pendiculaire au plan du cercle qui passe par les trois points
pris sur la courbe proposée, en est l'axe, ci chacun de ses
points peut servir à décrire le cercle, en prenant pour rajon la
distance de ce point à ceux du cercle; mais parmi tous ces
rayons on distingue, sous le nom de rayon lie courbure absolu,
celui qui est dans le plan même du cercle, et que nous venons
de trouver.

Les valeurs de x' , y', z' feront connaître la position du centre
de courbure ; et en éliminante, ^-ei z, on obtiendra les équa-
tions de la courbe formée par tous ces centres; mais celle
courbe n'est point la développée de la proposée lorsque celle-ci
n'est pas plane [**).

La formule précédente, donnant comme cas particulier la
courbure de l'intersection d'une surface cl d'un plan quel-
conque, se rattache à ce qu'on a vu sur la courbure des sur-

formule il joindra nui Cipreasi
(") Volez |ia B c«fij5elfitodii

DigiiizM 0/ Google

DR CALCUL DIFFERENTIEL ET »E CALCUL INTÉGRAL. ig3

faces (151). Je me bornerai ici au cas où le plan coupant passe
par la normale à la surface proposée ; je prendrai le plan tan-
gent pour celui des xy, et pour origine des coordonnées le
point où l'on cherche la courbure. Dans cette hypothèse,
dz = o et &'y— o, à cause que le plan coupant étant perpen-
diculaire sur le plan tangent, l'intersection du premier avec
la surface se projelie en ligne droite sur le second. U résulte
de là

Z = o, Y = — dxd'z, X = dyd'z, cV = d*'+dj-\

i _ (d^' + dj")'
" — d'z' 1

mais si l'on pose en général ds=/)d.r-t-çdj-,on en déduira

d'z = d(pAx+qdy)=dpdx+ûqdy= (/■^-at/7l-^-^m')dar^

suivant la notation du n" 151, où dy = mùx; et de là

Cette expression, dépendant de m, change de valeur avec la
direction du plan coupant, et peut, en conséquence, être sus-
ceptible de maximum ou de minimum. En égalant à zéro sa
différentielle relative à m, on trouve

(r-t- 2*n ■+■ tu?) m — (i +»»') {* -t- lm) =o,
ce qui se réduil à

5m ! + (r — l}m — * = o;

ainsi les valeurs de m sont ici les mêmes qu'au n° 151.

Comme elles appartiennent à deux directions perpendicu-
laires, on peut faire passer les plans des xz et des yz par ces
deux directions ; l'une des valeurs de m sera nulle et l'autre
infinie, ce qui suppose i = o dans l'équation précédente. Alors
on a

expression qui_ donne £ et j pour les rayons de courbure

jy/, lUIIt ÉLKMCNTA1RK

correspondants} c'est aussi ce qui résulté de l'équation (*),
page i^6, lorsqu'on y fait p = o, q = o c\ t = o.

Les autres rayons de courbure se déduisent de ceux-là, en
posant m = langf, v désignant un angle quelconque. En sub-
stituant à m sa valeur on obtient
cosv

cosf'+sinv' i

u — rcosf'-l- t sine 1 — rcosf-M s\nv'

et

- — rcos^-f- 1 sin v'.

Si l'on change ici l'angle u dans son complément i* — v, et u
e* < (1 en résultera

— ; = r sin f*n- < cosv';

d'où l'on conclura

ce qui fait voir que la somme des quantités inverses des
rayons « est constante pour tes directions qui sont à angle
4,0t. <■)•

(*) Les considérations ci-dessus rentrent àtm celles qo-Enler, premier au-
teur de celle belle théorie, a mises en usafle; el l'on loil comme ses résultats
s'accordent iTee ceux que Monge s obtenus eu suirant une Marche toute diffé-
rente, qui lui a fait reconnaître les point! singuliers qu'il a nommes cm&ilici,
dans lesquels la nombre dos lignes de cou rburedl'i ii'ril inlini ;ii..l^d[î In paj>e i-'i).
M. Polison a découvert d'autres pointa où . Il direction des taglM de courbure
. n'est pas ittâéleVtnliiee, mai* lent nombre *sl plus G»nd quo dent : il jlout

• MM quiu-o ou si» , au tout outre nombre pair, «t le rayon de courbure d'une
- section normale est susceptible do pluiicurs maxima et minima, dont le

• nombre est toujours égal a celui des ligues de courbure. • Il donne pour
esemple l'équation polairo i = u'sionfi, dans laquelle a — ^.r'-i- j-', sinfi = — ,
et dont le cas lo plus simple, celui où r> = i,csl c=f Ici p et q sont
véritablement nuls, tandis que r, s, i, qui se présentent sous la forme -i dé-
pendent dn rapport de fax. (Journal de fErole Poft technique, XXI* cahier,
page ao5.)

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ig5

16i. La seconde courbure, ou la seconde flexion des courbes
qui ne sont pas planes, est la courbure des surfaces dévclop-
pables formées par leurs tangentes et indiquée par les angles
compris entre les plans osculateurs, comme leur première
flexion l'est par les angles compris entre leurs tangentes. Or
les droites qui sont les intersections des plans normaux, étant
perpendiculaires aux plans osculateurs, comprennent entre
elles le même angle que ces derniers ; de plus, comme elles
forment par leurs rencontres l'arête de rebroussemenl de la
surface des plans normaux, elles sont aussi !eslan{;emesdecetle
arête, qui font, par conséquent, entre elles des angles égaux à
ceux des plans oscillateurs correspondants : ainsi la seconde
flexion de la courbe proposée est égale à la première flexion
de l'arête de rebroussement des plans normaux. Celle relation,
remarquée parFourier, est réciproque entre les deux courbes,
puisque les tangentes de la proposée comprennent évidem-
ment entre elles des angles égaux à ceux que forment ses plans
normaux, qui sont les plans osculateurs de l'arête de rebrous-
semenl de la surface développable qu'ils composent.

Ce serait ici le lieu de parler des points singuliers que peu-
vent présenter les courbes à double courbure ; mais cette dis-
cussion me mènerai! trop loin Je me contenterai de faire ob-
server que, d'après ce qui précède, elles sont susceptibles de
deux sortes d'inflexions : l'une, qui se rapporte à leur première
courbure, se manifeste comme dans les courbes planes par le
changement de signe de leur rayon de courbure absolu ; l'autre,
par celui du rayon de courbure de la surface de leurs tangentes,
ou de l'arête de rebroussement de la surface de leurs plans
normaux.

13.

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL.

SECONDE PARTIE.

CALCUL I.VTÉGB1I,.

De l'intégration des fonctions rationnelles d'une seule variable.

165. Le Calcul intégral est l'inverse du Calcul différentiel; il
a pour but de remonter des coefficients différentiels aux fonc-
tions dont ils dérivent. L'exposition des principes de ce Calcul
présente des divisions analogues à celles qu'offre le Calcul
différentiel. Il peut arriver que la composition des coefficients
différentiels de la fonction cherchée soit donnée immédiate-
ment par les variables indépendantes, ou qu'on ait seulement
une équation entre quelques-uns de ces coefficients et une ou
plusieurs des variables : le premier cas étant le plus simple,
c'est celui qu'il convient de traiter d'abord.

Lorsque le coefficient différentiel du premier ordre d'une
fonction de x est donné en x, on a

i£=X, ou dr=Xd*:

la fonction elie reliée est donc celle dont la différentielle est
\Ax; et on l'indique comme ci-dessous :

Digiiized by Google

:g8 TU.HTL ÉLÉMEÏTAIBB

la caractéristique / étant l'inverse de la caractéristique d, de
sorte que/du = «, et d /Xd;r = Xda: (").

Cela posé, les diverses formes que peut avoir la fonction
donnée X se classent ainsi qu'il suit :
Fonctions rationnelles,

Ax~ -+-RE* -r-Cx* +...=U,
kx- + B-r- +Cj-p +... U
A' ar- ' + B ' x- ' ■+■ C ' sf' -+• . . . ~ V '

Fonctions irrationnelles,

U.V"

Fonctions transcendantes,

f(U,lV), f(U,sinV),etc.

166. On voit d'abord que pour effectuer l'intégration, il l'util
renverser les règles qui ont servi à différencier; or, par la pre-
mière de ces règles, on a

d (u + c — H») = d« + de— du> (10),
et si l'on intègre le premier membre, en y supprimant la ca-
ractéristique d, on trouve

ce qui revient à

fdu+fdv — Jdw=f(iu-+-dv— d«<) (165),
d'où il résulte que

/(Pds + Qd* — Rdx)=JPdx+/Qdx—, fRdx,

(") Csui qui ont refit lea premiers snr la Calcul intégral ont employa lu
lettre / comme initialodu mot /marne, parce que, suivant lus iduc» de Leibuiu,
lu. iliili- l ,.-ri Li i l i,;s rr-i.r.-.tt'rilij rjt lu. aci:r.iis:.niu:ril> in!iii:iiii>iiL iiulils Jrs laria-
Lles[U), il i'oriMiil qu'une vurialilu quuirunqm- e-t la Minime d'un nombre inlini
d',l.-.'t.,ie,rn].'nt-. i|ii'ullu a ruuns (Ipptiii «in origina jusqu'au moment où on la
(■(iii'iiliTU ; rtuVsl pmii culii qu'un a donnu a lu l'i.ntti guu j'ai u[.[>rlùi' pi «lu-
tin le nom d'intcgralr, cumin» olont la résultai du l'agrégation du toute» lus
différentielle!. On verra plus loin (V..".C) qu'elle est, un toulu rigueur, lo ttnriu
du leurs sunimn. Cps dujjninirialiiiri- utiinl bien entendues, on petit ic servir
indiUti uni ment do l'une ou de l'autre.

DE CALCUL DIFFKBBVTIBL KT 11K CALCUL INTÉGRAL. jgg

c'esl-à-dire que l'intégrale de- la somme de pluiietus fonctions
différentielles est égale à la somme des intégrales de chacune
de ces fonctions.

De même, d. au = «d u [\\) donne 011= faits, et par con-
séquent /«d«=«/d», d'où fa\dx = afXdx . ainsi
l'on peut faire sortir du signe f le coefficient constant a, ou l'y
faire entrer, observation importante pour la suite.

167. Cela pose, on a par le n° 13, A.x" = nxr-' âx ; en pas-
sant aux intégrées, on en déduit x? == nfx~~>à.x, d'où,

Ax = et changeant » en, n + 1 , on obtient

c'est-à-dire que pour intégrer la différentielle monôme x'dx,
il faut augmenter l'exposant de la variable d'une unité, puis
diviser par le nouvel exposant et pardx.

De plus, suivant la remarque du n° 7, la différentielle de
X+ A étant la même que celle de X, il faut, à toutes les inté-
grales, ajouter une constante qui demeure arbitraire : ainsi
lorsque

Ay = ax*Ax, ona y — — — + A.

168. Avant d'aller plus loin, il est à propos d'examiner un
cas particulier, dans lequel la règle ci-dessus est en défaut;
c'est celui oùn = -i. D vient alors

r =f + A=2 + A i

mais si l'on fait attention que

Ay=ax-'Ax=^ = aA.\x (2»),

on reconnaîtra bientôt que

j=al^ + A,

et que l' exception que présente ici la règle du numéro pré-
cédent lient à l'impossibilité d'exprimer la transcendante lx
en un nombre fini de termes algébriques.

10O TRAITÉ ÉLËIlEBTAlnB

Néanmoins un simple changement de forme dans la con-
sume A suffit pour rattacher ce cas particulier à la formule

générale; car si l'on écrit — ^^ ---4- A au lieu de A, ce qui est
permis, puisque celte constante est arbitraire, la formule gé-
nérale est alors

r= a***>~a t A

et devient - quand n = — t; mais si l'on y applique le procédé
du n° 95, en prenant n pour variable, on obtiendra la vraie
valeur

y=alx + \,

la même que ci-dessus.

169. L'expression

dj-= ax"da: + bx"Ax — ex? Ax...
qui représente une différentielle rationnelle et entière, quel-
conque d'aijleurs, conduit à

ax"**' bx"+' ex**' ,

/- nH-i + /H-] _ "/.+i'" + '

d'après les règles des n" 100 et 167.

Je n'ajoute qu'une constante arbitraire; car il est aisé de
voir que si l'on en ajoutait une pour chaque monôme, elles
n'équivaudraient toutes ensemble qu'à une seule, qui serait
égale à leur somme.

170. Si l'on avait dj= [ax-\-b)"dx, on développerait la
puissance indiquée, cl Ton inu'^n-niil. chaque iiioiifiNif qui ré-
sulterait de cette opération; mais il est bon d'observer qu'on
peui arriver au résultat sans effectuer le développement. Il
suffit de faire ax-\-b = z, ce qui donne x = "~ b , <Ji-— — ;

substituant dans l'expression de ûy, on trouve Ay=^-^.
cl par conséquent j*=^~-jy-f-A. Mettant pour ; sa va-

Oigiiized b/ Google

DE CALCUL DIFFÉREST1BL ET DE CALCUL i.vrÉGIiAL. aoi

leur, on aura doue, lorsque

û r =[ax+b)-dx, r= ( ^^"J" + A.

Pour dy = [az*-h b^x—^ Ax, la transformation réussit en-
core; car en posant ax" + b = z, il en résulte nax^' dx = âz,
d'où

ce qui donne, lorsque

171. Je passe aux fondions fractionna ire s, et pour commencer
par le cas le plus simple, je suppose qu'on aild/=
En faisant ax-\-b = z, on trouve

et par conséquent

développant la puissance [z — fi)™, multipliant le résultat par
<iz, et divisant après par z", on aura une suite de monômes à
intégrer.

Prenons pour exemple le cas où m = 3 et n=a; il
viendra

( \r = ailZ ~^ 4l =^[zdz~2bdz + Wz-<dz— fi^-'d a ) ;

en appliquant à chacun de ces monômes la règle générale (1G7),
il en résultera

y = ^ [~ 3 fis 4- 3 b' 1 z 4- b' a-'J -+■ A.

On remetlra ensuite pour ; sa valeur, et l'on aura enfln,

3U a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

lorsque

d r =

= 5[5{ar + ^-36(< WF 4.6) + 36'U< W + fi) + ^ ï ]+A.

On construirait sans peine la formule générale; et si l'on
avait

ax*àx-¥- fix? tlx -t-yx*ix. . .
"" («* + *)• ~'

on l'écrirait comme il suit :

. ax" dx px> Ax yT'dx

r ~ + («+4J- + * " '

puis on opérerait sur chaque terme en particulier, comme je

viens de le faire, sur le premier.

172. Les différentielles fractionnaires cl rationnelles sont en
général de la forme

(Aj 1 + Bx- +

+ Cx>>...} àx

que, pour abréger, je représenterai par^^- Il faut d'abord
observer que l'exposant de a: dans le numérateur peut être
supposé moindre que dans le dénominateur; car si cela n'était
pas, en divisant U par V, et nommant Q le quotient de celle

division et Rie reste, il viendrait J^^- =/Qd> ■+■ j ;

mais Q étant une fonction rationnelle et entière, fQàx s'ob-
liendrait par l'application immédiate de la règle du n° 167, et il

ne resterait plus à trouver que J' ~ ^ ~ » dans laquelle la fonc-
tion R est, par rapport à x, d'un degré moins élevé que la fonc-
tion V. La forme la plus générale que puisse avoir la fraction

x" + k'x*-'+B' x" -■ -i- (? x—'. . .+ '

OigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉBENT1BL ET DE CALCUL INTEGBAL. aOÎ

La méthode générale pour intégrer les différentielles expri-
mées par des fractions rationnelles consiste à les décomposer
en d'autres dont les dénominateurs soient plus simples, qu'on
désigne sous le nom de fractions partielles, et qu'on obtient
comme il suit.

En égalant à zéro le dénominateur de la fraction proposée,
on formera l'équation

x" + A'i— ' + B'i*- '. .. -t-T' = o,

et concevant qu'on ait déterminé les diverses racines de cette
équation, on les représentera par

a, a', a", a", etc.,
en supposant qu'elles soient toutes inégales ; par ce mojèn, le
premier membre de l'équation ci-dessus, ou le dénominateur
de la fraction proposée, sera mis sous la forme d'un produit de
n facteurs

Cela fait, on regardera la fraction proposée comme la somme
des fractions

Ndj: ^ N'd* H"dx f etc

avant pour dénominateurs les facteurs du dénominateur de la
proposée, et pour numérateurs des constantes indétermi-
nées.

Je suppose, pour fixer les idées, que la différentielle à inté-
grer soit ,

(\x' + Bx + C)ûx
s?-*- A.' x*~^-B'x-i■C ,

et qu'on ait trouvé

x>-hk'x> + B'x + C' = {x— a){x— a') [x— a").

En réduisant au même dénominateur les fractions

Wdx N'd* li'Ax
K—a' x — a'' i — a*'

OigiiizBd bjr Google

1o4 TRAITÉ ÉLÉMENT Al Rit

et les ajoutant, il viendra

numérateur sera nécessairement une fonction du degré infé-
rieur à celui du dénominateur, c'est-à-dire du second degré.
En développant, on a en effet

((N+N'+N")^-[NK+ 0
-t- N a'o'+ N W+ NW j àx.
Cette fonction, étant comps
tion proposée, donne les tri

-N(o'+a*)-N'(a + «*)- NH (< , -t-«')=B.
Na'o'H- N'a«*+ NV=C,
qui ne sont que du premier degré, par rapport aux ind
minées N, N', N".

Pour les résoudre, il suffit de multiplier la première p
la seconde par n, et d'ajouter les produits avec la troisi
on trouve de celle manière

ù le numérateur est ce que devient celui de la fraction pro-

K— ) K-

imeile de s'assurer qu'r
v parviendrons bientôt

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ao5

Cela posé, puisque

(A*'+B:eH-C]dj _ Nd£_. _N^g_ + N'dj (
x'-hh'x'-i-B'x + C' r—a x — a' x — n"

Ndar Nd* . .

on fera d'abord x~a = 2, et Ion aura — — =-^-> dont
l'intégrale est Nls, ou M (a:— a). On trouvera de même que
J\ï^i = NM(*-«'), J|^,= NMU_«");

et par conséquent

r {\x'-\-$x-hC)<lx
J x'-hA.'x' + h'x+C
= N1(«— a)-t-N'l{*— a') + N"l(*- «-) + const.
= — «)»(*- a*)"' I> — «T 1 + const.
173. L'intégration des fractions rationnelles n'a donc aucune
difficulté lorsqu'elles sont décomposées, comme on vient de
le voir, en fractions partielles dont les dénominateurs sont des
binômes du premier degré; mais celte forme n'est possible
que pour les facteurs qui sont simples dans le dénominateur
de la fraction proposée. En effet, la supposition de a'= a, dans
l'exemple du numéro précédent, rend infinies les valeurs
de N et de N', et cela tient à ce que, dans l'ensemble des frac-
tions partielles

N N' = N + N^

x — a x — a x — a
li. somme des indéterminées N -t- N' se comportant comme une
seule, il ne s'en trouve plus un nombre suffisant.

On obvie à cet inconvénient en substituant à ces deu» frac-
tions, qui n'en font plus qu'une, la suivante :
[Nr + N'j Ax
(x-a)' '

et en la réduisant au même dénominateur avec la dernière,
- ~p t on obtient encore un nombre d'équations égal à celui
des inconnues N, N' et N".

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

L'iniégration de la nouvelle fraction n'offre d'ailleurs aucune
difficulté, puisqu'on faisante — a = t, on retombe sur des
monômes, comme dans le dernier exempta du n° 171, dont
celui-ci n'est qu'un cas particulier.

En général, si le dénominateur V de la fraction proposée
contenait le facteur ( x — a)", il faudrait prendre pour ce fac-
teur une fraction partielle de la forme

f K.r— '.+ N , x"-" + N ,g — '. . . -+- N»_i ) d x
qu'on intégrerait en posant

car le résultat de cette substitution étant de la forme
(M-t-M,z + M,8'...4-M— .»— ')di

revient à

Mdi < 1M» | $0 t M._,d t (I71)

Il montre en même temps qu'on peut substituer à la première
fraction les suivantes :

dont les numérateurs sont des constantes, et qui s'intégrent
! aussi par le procédé du n" 171.

174. Cette dernière forme et celle qui répond aux facteurs
inégaux (172), sont les plus simples dans lesquelles on puisse
décomposer les fractions rationnelles à intégrer, et donnent
lieu à une opération subsidiaire qui se divise en deux parties.
La première, qui consiste a déterminer les facteurs du déno-
minateur V, dépend, comme nous l'avons déjà dit, delà réso-
lution de l'équation V=o (172); la seconde partie, qui est la
détermination des numérateurs des fractions partielles, s'ef-
fectue par plusieurs procédés, dont voici le plus élimentaire.

Ayant mis à part un facteur simple x — n du dénominateur,

Digiiized Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL.

90 ?

. N . P

■ V«=(*-a)0 (

P étant une fonction de x, provenant de la réduction au même

dénominateur de toutes les fractions autres que — ^_ -1 qui

entrent dans la proposée ; ce sera par conséquent une fonction
entière par rapport à x. Mais en réduisant au môme dénomi-
nateur les deux membres de la dernière équation posée ci-
dessus, on aura

et puisque P est une fonction entière dex
soit divisible par* — a, ce qui ne peut avoir lieu, à moins que,
suivant le théorème fondamental de la composition des équa-
tions, le polynôme II — NQ ne s'évanouisse lorsqu'on y change

Si donc on désigne par u et par q ce que deviennent I) etQ,
après cette substitution qui ne change rien à N, puisque c'est
une constante, on aura

u — N<7 = o et N = -,
' 1

expression dont la valeur sera toujours finie ; car son numé-
rBteuretson dénominateur ne sauraient devenir frais, puisque
la fraction «tant réduite à sa plus simple expression, ie fec-
leur x — a ne fera point partie de U, ei n'entrera pas non plus
dans Q, puisqu'il ne se trouve qu'une fois dans V : il sera
donc toujours possible d'obtenir la fraction partielle corres-
pondante à un facteur de celle sorte.

Si l'on met au lieu de U ce qu'il représente (172), et qu'on
observe que

Q = {x—J][x— a") (*—«-) etc.,

on obtient

(«-«-) («-«") etc.'
expression qui rentre dans h loi annoncée plus haut [172).

ao8 TRAITÉ ttl

175. Voyons maintenant comment on peut trouver les nu-
mérateurs des fractions partielles qui répondent aux facteurs
égaux. Soit V=Q(;r — a}"; posons

forme que la détermination des inconnues va justifier. En ré-
duisant au même dénominateur, il viendra

t-N,(*

h-P (*-<,)-,

P _ U-Q[K+K.t*-«) + N,(g-aiH-...+N^,( j g-g)— ] .
(*-«)-

et comme P doit Être une fonction entière, il faudra que le
numérateur de son expression soit divisible m fois de suite
par x — a : ce numérateur s'évanouira donc lorsqu'on y chan-
gera x en a. On voit d'abord qu'il se réduit dans ce cas à
U— QN; mais pour que U — QN soit divisible par x — a, il
faut, en conservant les mêmes dénominations que dans le nu-
méro précédent, qu'on ait u — gN = o ou N '

Cette valeur changera U — QN en U — ^Q, qui, se divisant

alors para: — a, sera de la forme M,[x — a), U, désignant le
quotient; et la suppression du facteurs — a, dans les deux
termes de P, donnera

p = U.-Q[N, + N,(*_«)+...-hN.-.( a :-«)~l _

Maintenant pour obtenir N,, on fera x = a, et en nommant u,
ce que devient U, par le changement de x en a, on aura

Ml — çN, = o, ouN,= --
9

Mettant ensuite au lieu de N, sa valeur dans U, — QN,, il en

résultera la quantité U t -Q, qui, s'évan ouïssant lorsque

x — a, sera divisible par* — a, et par conséquent P se re-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET l)K CALCUL IXTfeiRAI. 109

duira à

p = V 1 -Q[K,+.K l lx- a )+... + S._ l ( x-.,r-' 1 >

0, représentant le quotient de la division de- li, — "' Q pat

— u. En continuant la même, notation, on trouvera encore

u,— </N,= o, d'où Ni=^i et ainsi des autres, sans tomber

jamais sur des valeurs infinies.

176. Le Calcul différentiel facilite beaucoup les opérations
précédentes. En effet, si Ton difféientie successivement m — 1
fois l'équation

U = Q [N + + H.(jt- «)■-»-. ..+ «_(* -a)—]

et qu'on fasse ensuite :r=n dans cette équation et dans celles

qu'on en aura déduites, il viendra
U = NQ,
dU = NdQ + N.Qd*,
d'U = N(i'Q-H^N,d Qd^ + sN.Qdf 1 ,
d'il = Nd'Q + 3N,d'Qd* + 6N,dQd J r*+ fiN.Qd*',

équations qui déterminent chacune des inconnues N, N,,
N,, etc., par celles qui la précèdent; bien entendu qu'après
les différentiations il faudra changer x en a ['}.

La valeur de q se trouve aussi par la différenliation. Ku
poussant jusqu'à l'ordre m celle de l'équation V — 0 (* — «I".
et faisant ensuite x = a, le résultat se réduit à

d-V = m(m-ï)..;a..Qd«- (57),

( * ) Si l'un mettait !a première équation de cet article ions la forme

£ = « + -.) + H,( »-«)'+. ..+«_(«-« )"- + î(r -«r,

qu'on en prit ulor* In din^rruiielles ucmuini el qu'on- y lit ensuite * = «,«b
ublipmliaîl vali-urt Immédiat de-. . | m ri t i I N, N, , N, . elf.

6'ed. L 4

Diainicû*f Google

tiiaut; ki.kaient.uiik

Q ayant alors la valeur particulière di>igui-e par q.

On passe ensuite aux différentielles de Q, relatives hx = a,
en prenant successivement relies de l'ordre m+i, m-H a, etc.,
de l'équation V = Q ( j- — a)™-, car il est aisé de voir, d'après
la remarque du n"57, que dans ce cas d" +l V— d"*'.Q [x— a)",
par eKemple, se réduit à [m + i)m.,,ï.idQdi , 1 II suit de lit
qu'on pourra exprimer les indéterminées N,, N,, N a , etc., à
l'aide des différentielles du numérateur LI et (le celles du dé-
nominateur V de la fraction proposée (')■

177. Le fond du calcul ne changerait pas, quand même
quelques-unes des racines «, a', a", etc., ne seraient pas
réelles; les imaginaires qui s'introduiraient alors dans les nu-
mérateurs des fractions partielles disparaîtraient par des réduc-
tions au même dénominateur; mais il est peut-être plus simple
d'éviter ces formes en ne décomposant le dénominateur V qu'en
facteurs réels, ce qui est toujours possible, parce que les fac-
teurs imaginaires d'un polynôme quelconque se groupent
deux à deux en facteurs réels du second degré. [Complément
ies Éléments d'Àtgèbre.)

Ces facteurs peuvent en général être représentes par

et pour obtenir les fractions partielles correspondantes, il ne
faut que modifier très-peu les procédés des n"' 17V et 17S.
Dans le cas d'un facteur simple, on pose

■ _ mj+n p

V x' — y.ix-ha'+p + y'

(• J Yojti le Traité in-'i", Inmo 11, page in; vnr. aussi, dans les Àcla Atad.
Pilrapalltna, an. 1380, p'rl \", p. to, cr. minent Euler, au mojen d'un déve-
loppement analogue à celui de 11' dnns le .V i)2, détermine les nu nui râleurs de*
fractions partielles, taquets snni 1rs cor ffieloots des puissances négatives de*
quand on change P en H.

3IO
d'Où

DigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ai I

a*QÙ l'on tire

rj=Q(M>-+-N) + P(;c'— a«x+«'-4-p'),

U-Q(M*-r-N) .
** — a + + B>'

et raisonnant comme dans le n" 174, puisque' P doit tou-
jours être une fonction entière de x, il faul <]ue la quantité
II — 0 (M-r-t-ÎS) soit divisible par X>~ ?.ax-i- a'-\- p 1 : elle
doil donc renfermer au nombre de ses facteurs ceux de ce
polynôme, et s'évanouir par conséquent dans les mûmes cir-
constances. Mais les racines de -r 1 — îh -+- a 1 + p'— o sont

valeurs qui, substituées successivemenl dans (J — Q(M*-r-N),
doivent faire évanouir cette quantité. Soient donc n ± «V — i
cl q ± q' <J~ ce que deviennent U el Q après cette subslitu-
lion, on aura

H ±«'v^-{tf:fc7'v^)[M(*±fW~) + \l = o (*), ■

équation double, à cause du signe ± dont sont affectés plu-
sieurs de ses termes, et qui est équivalente à celles qu'on for-
merait en égalant séparément à zéro la partie réelle ei la partie
imaginaire. D'après celle considération, on aura

(,'«- + . ç p)M- î , N= 0 ,

équations qui donneront les valeurs de M el de N. „

178. Si le facteur x'~ -*ax -t- *■-+- p', que, pour abréger, je
représenterai par R, se trouve plusieurs fois dans le dénomi-
nateur V, et qu'on ait

V=Q [x* _ aa.r-f-o'-t- — QR",

(*) En développant 1» puissance* («-( ,ï/^T)" <■! {« — 8 /— ■)", on verra
que les ciprcsiiuna telles qui; Ac + Bjc + tjf+elc., doiicnt m ■•M prendra
la forme supposée.

■4.

OigiiizM by Google

lia TAA1TK H.KMKKTAHIE

un prendra dans ce ras ( \TS)

L Mj+M Mi*±j?i jh£±j *! , P
V K™ + R— H lï^ "" 1 "

réduisant au même dénominateur, el lirant la valeur de P, il
viendra

m _ U — Q[M^- + N + [M,^ + N, )R + (M.f + N. )»'+■■■

En raisonnant dans ce ras comme dans les précédents, on
conclura que le numérateur de cette expression doit s'éva-
nouir par la supposition île x = a rfc p \/ — i , cgui rend aussi
R = n ; et gardant les mêmes dénominations ijne ci-dessus, on
aura, après celle opération,

ce (jiiî donnera, pour déterminer M et N, les mêmes équations
que dans le numéro précédent. Avant trouvé les valeurs de
ces quantités, on les substituera dans le numérateur de P: et
les termes U— Q(Mx+N) devenant divisibles par R, ou
x' — mi -t-a 1 -f- p", L'expression entière le deviendra aussi.
Nommant donr U, le quotient de U— Q(M* + N) par
.1-' — aajc + a' + p', on sera conduit a

p __ D.-Q[ M,-g+N.- ) -(M,r+N,)R + ...]
- R — ,

Rn remettant, dans ee nouveau numérateur, pour x les va-
leurs a± p \' — i, puis égalant le résultat à zéro, M, et se-
ront déterminées comme ('ont été plus haut M ei N, et l'on
continuera d'opérer de la même manière, pour parvenir aux
.alenrs des quantités M„ N,. M Jf N„ etc.

J79. Ce cas est parfaitement analogue à celui qu'on a traité
dans le n" 175: et le Calcul différentiel s'applique de la même
manière, à l'un et à l'autre, au moyen de l'équation

V = Q [M* ■+■ H H- (M, .r 4- N,}R -+- (M,* 4- N,) H' -h ...]-*- PR-

et de ses différentielles, dans lesquelles, jusqu'à l'ordre m — i

OigilizM By Google

DB CALCUL UIFFÉBENTIBL ET DE CALCUL HITEGBiU. ai3

inclusivement, celles du lermi: l'Il" s'évanouissent lorsqu'on
fait U — a. On obtiendra ainsi les équations

0 = (M*-i-N)Q,
dU=(M* + ^dQ + MQd.i-4- (M,r + Pi.)QdR,
etc.,

chacune desquelles deviendra double, lorsqu'on mettra pour
x les valeurs dont il est susceptible en vertu de l'équation
R = o, ou x' — + + p* = o. En égalant séparément a
zéro la partie réelle cl la partie imaginaire, on aura un nombre
suffisant d'équations, pour déterminer M, M, M„ N„ er--
Il faut encore remarquer que de

V = QR",

ou tirera

d-V = Qd-.R-, d'où Q = j£Jp
lorsqu'on supposera

On trouvera dQ, d'Q, etc., dans la nn!me liypotllèse, en pre-
nant les différentielles des ordres m + i , m + a, etc. , de
l'équation

V = QR-,

et supprimant ensuite les termes que cette hypothèse rend
nuls.

180. l'our intégrer la fraction

|M,c+N)dj-

on observera que

ou fera

et il viendra

+ S)iU - (Ma + M«+N)ds [Ma + N')d;

OigiiizM by Google

1\$ TRAITÉ ÉLÉM ESTAI HE

en posant

M« + N = N'.
(M s + V)dj: _ Mzds N'dz

lu première partie du second membre de l'équation ci-dessus
est mtégrable; car, en faisant z'-hfl'^u, on a zda = ^,
ce qui donne

Quant ù la seconde partie, si l'on j Tait a = pu, il vient

Vd; V d«

mais on a vu, n° 36, que i+ k1 est la différentielle de l'arc
dont la tangente — u : donc

rn 1 du N'

J y =-p-"rc (tang = h] + catut.

s deux résultats, on obtiendra

1 — a , + p ; - = M I V*' + P' + y arc (lang = p J +

Il est bon de remarquer que l'arc dont la tangente est ^

a pour sinus ■ ,- "■■ ■ » pour cosinus - .. - (Tria., 29);

car cette considération offre le moyen de présenter l'intégrale
proposée sou.s plusieurs formes, en désignant l'arc par son
sinus ou par son cosinus.
Lorsqu'on remet pour z sa valeur, on trouve'
J (M* + M)d* _

Ml /t'— aa^+ï' + P'-t- M --~^- aie ^lang= -"jf- ) -+■ cww/.

Dlqitizod by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 2l5

Votions maintenant à la différentielle
(MjH-N)ds

On fera d'abord x — a = s ei Ma + N = N' ; par ce moyen. on
, , ' rtU*+W)Ai . .. .

a plus a trouver que J — , qui peut s écrire

ainsi :

La première partie est intégrable immédiatement, et cela se
'Oit on faisant s'-t-p'— it, puisqu'on a

M f >*' " fîî__ï

™ Jla'+F)- - » J "■■"»(■

Quant à la seconde partie, elle est comprise dans une classe
de formules dont nous nous occuperons bientôt, et au moyen
desquelles on ramone son intégration à celle de la formule
■ . — -■ df - j — (200), où l'exposant du dénominateur est moindre

(*'-»-PT

d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à J- ^ - ^ déjà obtenue.

En rapprochant les résultats précédents, on remorquera sans
doute que les ililTéi-miiidles qui se. présentent sous la forme
de fractions rationnelles peuvent toujours s'intégrer, soit al-
gébriquement, soit par le moyen des logarithmes ou des arcs
de cercle.

181. Je vais donner maintenant une application de ce qui
{frécède. Soit la fraction

d*

x'-^-x' — x'—x'''
les facteurs de son dénominateur sont faciles :i découvrir; car
il peut se mettre sous la forme

DigiiizM bf Google

Vt6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Le fadeur 3? — i se décompose en x' — i et x'+ 1, ou x — i,
jc+ i et jt*+ i : on a donc

a-— &=a? (x — i) [x + ty[x*-hi);
et par conséquent la fraction proposée est décomposable
comme il suit (172, 173) :

\àx j B Û x | Cj£

Dd* Ed.r Fd.r (Gj- + H)dj:

t comparant le résultai
avec — J^î-; — i on déterminerait les numérateurs in-
connus; mais je vais faire usage des autres procédés indiques
ci-dessus.

Pour cela, je i-onsidére séparément les quatre facteurs
., {x-hi)>, x' et x' + i,
qui forment le dénominateur de la fraction proposée. Au pre-
mier répond une fraction de la forme — --— i les quantités
U — i et Q = 3^(t-)-i i'(.r'-l-i), lorsqu'on y fait x = i, don-
nent u = i, q = 8 ; on a donc (174) N — gi ei pour la pre-
mière fraelion partielle g ~ —

J'observerai qu'on aurait trouvé immédiatement la valeur

île q, cl! ilifliTi'iili;iill II- déni imillLili'll r :V -+- .r — .r\

ci faisant ensuite x = i (176).

Au facteur {x-t-t}' répondent deux fractions partielles de la
forme

avant alors Q=x'[x — i) [x' + i], je fais x-\-i = o, d'où
x = — 1,5 = 4, et - = j-, ainsi la seconde fraction partielle

Oigilized ûy Google

»K CALCUL DIFFÉRKHT1EI. ET DE CALCUL INTÉGHAL. 317

Mettant dans U — N(J, au lieu de N sa valeur ^» pour obttv
nir l'expression de U, [175], j'ai

U — NQ 4 — + — x > + x'

V -=lFTr = 4(, + 0

h 4* 1 - 4-g + 4

4

d'où il vient — =-~ =§ : on a donc pour la troisième frac-
q 16 8 . 1

lion partielle § ' | -

Pour appliquer ici le Calcul différentiel, on formerait (17G)
l'équation

i = Q[N + N, (* + i)]-J-Pl*-r-i)>,

qu'il suffirait de différentiel une fois ; et posant ensuite ar=— i ,
il viendrait

i = NQ f

o = NdQ + N,Qd:r;
Q étant x* — x> + x" — x*, la première de ces équations don-
neraitN = ^, et la seconde N,=|-
Le facteur x' fournit les trois fractions partielles

X' X' X

qu'on détermine au moyen de l'équation

i = Q[N-+-N,a7-f-K,^)-r-P«"
et de ses différentielles première et seconde. En observant que
Q = -H .r* — x — 1, ci faisant x = a, dans Q, dQ et d'Q, on
obtient

N — — 1, N, = i, N, = — 1 :

on a donc *--{-- i,

x* x' x

El ne reste plus à trouver que la fraction partiel le correspou-

irlure eu retranchant delà proposée imites les pré-

OigiiizM ûy Google

3l8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

cédantes ; maisjc vaisj pm-vcnir directement par les formules du
n°i77. Ona d'abord Q = x'{x—i) [jt 4- 1)« + X* — X>;
puis le facteur 4-1, étant égale à zéro, donne

d'où l'on tire

qàzq' </ — i = -j±3y/ — i, u = i, et n'=o;
les équations qui déterminent M et N deviennent
H-aM + aN = o, # aM — 2 N = o,

et l'on trouve par conséquent M = N =
Voilà donc la fraction proposée,

X> + X< — x'-x'

posée dans les suivantes :

i àx i di 9 ûx

Ex~=~; + "4{x-i-i)>~ h Bx~n

d.r^d;r ûx i \x + 1 ) Ax

L'intégration de chacune de celles-ci ne présente aucune
difficulté, cl l'on obtiendra pour résultat

' (s'l»-')-27iT + B l (- + ')+i— 1-1*

La réunion de tous les termes algébriques produira la fraction
~^2s f, i\L J j~ ' '' l ce " e " es lerines logarithmiques donnera

Jl(*_i)4-Jl[*-M) + ](*-M)-il(*' + ')-l*

ff + tf — x* — ^ 4 J p>(, + J :] ^'(ïT+Tî)

+ l (~~~r~~) ~~ " | llr '' i t0 "P = *') + <■<""'.

DigilizM Dy Google

DE CALCUL DIFFËrtF.vriM. ET DE CALCUL INTÉGRAL. 219

Les différentielles ' ., £ non-seulement

peuvent fournir des exemples particuliers d'intégration, mais
elles sont susceptibles d'être traitées généralement, parce
qu'il y a, pour décomposer leur dénominateur en facteurs
simples, un procédé commode qu'on trouvera plus loin (188}.

De l'intégration des fonctions irrationnelles.

182. Les fonctions irrationnelles doivent être regardées
comme intégrées, toutes les fois que, par quelque transfor-
mation, on les a rendues rationnelles, ou du moins lorsqu'on
les a ramonées à une suite de monômes irrationnels ; car alors
on peut y appliquer immédiatement les règles précédentes.

Soit pour exemple — j/ f :. J^ 37 . j| ( . s i évident qu'eu

faisant x = z', toutes les extractions indiquées s'effectuent,

et l'on a ' { "['^"' ~ Z ^ i divisant par i + ï', il vient

_6pda — s'dz — js'ds + î'dz — z'ûz-hdz—
dont l'intégrale est

Hï _ f~£ + ï _ ï + '~ ,re(l * ni!= * ) ] + """'''

et remettant pour z sa valeur ; x, on obtient

— |* + J/ï-f- j: — | %x> a 'x' — tij/x
■+■ 6 arc (tang = yfx)+ ctinst.

183. La première espèce de fonctions irrationnelles dont
je vais m'occuper est celle qui ne renferme que le radical
VA + Bx + Cx\ et qui ne saurait avoir que l'une ou l'autre

, Xdx

des formes Xdxt/k + B.r-t-Cx' et ^"^Juj. ^Tï^" .' ^ (}taiii

une fonction rationnelle de x. Il faut d'abord remarquer que
l'une de ces formes rentre dans l'autre; car l'on peut écrire la

lia TRAITÉ ÉLÉMENT Al HE

première ainsi qu'il suit :

X|]j y*A + K.r + O'X yA + IU + Cr '

_ X(A- r -B*-)-C.c i )d ; r

el le numérateur du résultai esl alors une fonction ration-
nelle.

Avant d'indiquer les moyens de rendre rationnelle, par rap-
porta x, l'expression ^A+ Bx-h Cx*, je mettrai la quantité
A-f-B^-f-Cr' sous la forme

et Taisant, pour abréger,

c =* v—

il en résultera \f.\-t-iix-hCx* — 7 y'a -1- px ^-
Maintenant si l'on pose

■fT+fx~+x* = z— x, .
en élevant au carré, il viendra * + $x = z' — zxz, ce qui don-

</A + Bx-TCx> = 7 (z - x) = 7 (î±2±±?y

Par le moyen de ces valeurs, on changera la différentielle

- en une autre do la forme Zdz, Z étant Line

v '\-^-]^J•-^-c^ ,

l'onction rationnelle de z, et réelle tant que C sera positif;
mais si C était négatif, 7 deviendrait imaginaire, et la trans-
forméo pourrait le devenir aussi.

Oigilized By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET i>E CALCUL IXTEfillAl. jai
Dans ce ras, on aurait + Bar — Cx', cl faisant

il viendrait yja-t- px — x'. La quantité .r>— p.r — a peui
toujours se décomposer en facteurs réels du premier degré ;
si on les représente par x — a et x — al, il est évident 411e

« + par — ,r J = — [x' — p.r — = — «) (a 1 — a:).

Faisant ensuite \/(-*' — «) K — ■>') — [ J- , élevant au

carré les deux membres de celte équation, elle deviendra
divisible par x — a, ei l'on aura tr" — x=(x — a)z', d'où
l'on tirera

valeurs qui rendront encore rationnelle la différentielle pro-

184. Je prends d'abord pour exemple la différentielle

. X \ ; la première des transformations précédentes
i/A.+Bx-hCx'

donnera ^7^™-^' dont l'Intégrale est ^I(p-f-az)+coRjf.

Rcmcltant pour s sa valeur x H- t/a-i-px-h.v', el pour a, p et 7
les quantités qu'ils représentent, il viendra

^'fe(^ + ^ +( ' A+1 " +Ca,, )] + ' ! '""-

résultat auquel on peut donner la forme

pour réunir ensuite, avec la constante arbitraire, le terme

333 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

185. Soil pour second exemple ' 1-C ; en faisani

usage de la dernière transformation du n" 183, on aura —. 3 **"■ ■)
7(s'-f-i]

dont l'intégrale est

Substituant, au lieu de i sa valeur = t tirée de l'équa-
tion ^ ^

et mettant \ZC pour 7, on obtiendra

/ A — = t= ■ arc (lang — ^" — zâ \ -+- coiut.,

a et d étant les racines de l'équation

Si l'on prend À=C = i et B = o, la différentielle proposée
devient, dans ce cas particulier, ^ = i et la formule précé-
dente donne pour son intégrale

car a et a' étant alois lt-s racines de .r 1 — 1 — a, il faut prendre
a = — 1 et <t = 1 , pour ne pas tomber dans l'imaginaire.

ce résultat revient à l'arc dont le si-

lielle (36). Pour cela je rappellerai que

. _ ?. tang A

-liiiifïA» 1

d'où il suit que l'arc double de celui qui est indiqué dans la

1>K CALCUL DIFFERENTIEL ET DR CALCUL INTÉGRAL. aa3

formule précédente a pour tangente — - — , et que par con-
séquent il est le complément de l'arc dont . serait la

tangente et jMe sinus [Trig.,g). Nommant donc s ce dernier,
on aura

?l comprenant l'arc dans la constante arbitraire, il viendra

En général, dans tous les cas où l'on obtient deux intégrales
diverses en apparence, pour la même différentielle, la diffé-
rence ne peut porter que sur la constante arbitraire; car si
deux fonctions V et X sont telles que

dX = dV, ou dX — dV = d(X — V) = o,

il faut nécessairement que X — V = const.

186. On peut ramener immédiatement la différentielle

à celle d'un arc de cercle;

car en disant d'abord x — £ = i

posant ensuite * + 7$' = g' ets = gu, on trouvera Au , -,
* 7 V 1 — u *

dont l'intégrale est ^ -arc(sin = u) -t- const.

187. L'intégration de la formule —Jt*-= peut aussi s'elîec-
Vi — x'

tuer au moyen des logarithmes, et conduit alors, par des
expressions imaginaires, à une relation très-remarquable
entre l'are, le sinus et le cosinus.

comparant cette formule

a a4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

trouve A = i, B = o, C = — i, et l'intégrait; générale de-
vient (184)

Si l'on représente par z l'arc dont ^=== est la différentielle,
on aura

ei si l'on veut que cet arc soit nul en même temps que ,r, il
faut supprimer la constante arbitraire; car, en faisant x = a,
le second membre se réduit à cette constante, à cause que
l.=o{*).

Cela posé, en observant que x étant le sinus de l'arc
— x' en est le cosinus, l'équation ci-dessus deviendra
z\j~i = 1 (cosz +<J — 1 sin z);
et si l'on suppose z négatif, comme

sin( — z) = — sin 3, cos [— z) = cosz,

;*) Il peu! n"*lr<! |ias imililr d.: moiilivr ([ni' mil,» intpnraln s'obtient immp-

d'oA il suit

. = .■-„. »■-.,
j.iiis, en .liflërcn liant ri divisant par i,

0 = ((_x S /=T)d 1 - ( J 3 -i^,

Digiiizcd By Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. aa5

on aura encore

-z^ri = \{ C0S z~s/—is\nz) }

en sorte que

± z <J=~i = 1 (cosa ± ^7 sini).
Prenant dans chaque membre, au Heu des logarithmes, les
nombres correspondants, il viendra

e= c " c:: = cosa ± \f^i sin z,
équation qui peut se vérifier en y substituant au lieu de l'ex-
ponentielle, du cosinus et du sinus, leurs développements tirés
desn-27et37.
Si l'on considère à part les équations

e ,lfr ' = cosz-V-v' — ■ sinz,
(r ,l/ - r ' = cosz — i/ — 1 sina,
pour les ajouter, on en tirera

et en retranchant la seconde de la première, il en résultera
smz — - •

Ces expressions ne sont au fond que de purs symboles algé-
briques, représentant, snus une forme abrégée, les séries du
n°37; mais quoiqu'on ne puisse leur assigner de valeur sous
aucune forme finie, ils ne s'en prêtent pas moins au calrul
avee lu plus grande fjcilité, el manifestent toutes les propriétés
dom jouissent les lignes irigononiétnqucs qu'ils expriment.

En mettant nz au lieu rte z, dans l'équation
<^ , ~ = cosï± v ^Tsin3,

.file devient

■= cusn;± v'— t siii'i:;

mais ou a aussi
donc

(cosz±.^f~i sini)"= cosnz±\/^ï sinm.

6' Éd. I. l5

Oigiiized b/ Google

2l6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Ces équations conduisent à des résultats très-i m portants {*);
ici je m'arrêterai sur l'usage qu'on en peut faire pour découvrir
les facteurs de la fonction x"-h q (181).

188. Cette fonction qui revient à x*+ e?, scion le signe de 7,
se transforme en os* (7*3:1), lorsqu'on (ail x = ay; et pour en
connaître les facteurs, il suflil de résoudre l'équation

qui donne

r=±«.

L'expression

y= cosi -H y' — 1 Bina

satisfait à celte condition, par une détermination très-simple
de l'arc x; car on a

y={cosz-\- v^ï sin^)"= cosnz + sinjw;

et comme, en désignant par * la demi-circonférence, et par m
un nombre entier quelconque, il vient

sinm*= o, cosmit =±1,

selon que m est un nombre pair ou impair, on n'aura qu'à sup-
poser nz = m-n, pour obtenir j"=±i.

Afin do distinguer plus particulièrement le cas où le nombre
m est pair, de celui où il est impair, on écrit pour le premier
3 m au lieu de m, et pour le second im + i,ei l'on fait

nz-=->. m«, et nz = (î M4-1) n.

Dans la première hypothèse, il vieni

r =cos^~ + ^7sin^p, y=-hi,

et dans la seconde,

y = cos ^ + y— 1 sin 1 — '— , y= — 1 ,

(') Va/ri l> nota B Ma lin de l'ouvrage.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3a j

189. Au moyen du nombre indéterminé m, on obtient par ce
qui précède toutes les valeurs dont y est susceptible; car la
première expression, en ; faisant

>s — h — i gin— ,

T = co, iiî=Hl + {=; s ,„ &î=*lî ,

i°. Passé ce terme, on ne retrouve plus tic nouvelles va-
leurs, mais seulement les précédentes, qui reviennent dans le
même ordre. En effet, si l'on suppose n = m, il vient seule-
ment y= cosa* = i, et l'on retombe sur la première valeur,
qui se reproduira toutes les fofs qu'on prendra pour m un mul-
tiple de n. Faisant ensuite m = n + 1, il vient l'arc
ta«4-a)<r _ a.

dont le cosinus et le sinus sont les mêmes que ceux de l'arc —

(Trig., aa), ce qui ramène à la deuxième valeur, et ainsi des
autres.

a". Le tableau ci-dessus semble ne présemer qu'une seule
valeur réelle, la première; mais on en trouve une seconde
lorsque n est pair, parce qu'on passe alors par m = -, qui
donne y = coB^+if^7 slnir=— i.

3". Les valeurs imaginaires du même tableau se groupent
deux à deux, savoir, la dernière avec la première, la van [-der-
nière avec la seconde, et ainsi de suite, parce que

=— — =a« — — . ! -lL- = i fc _3_, etc.,

Oigitized bjr Google

aa g TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

et qu'en général
cos(27t — a) = cosa, sin( 3 * — a) =— sina ( Trig., 29}.

Ainsi, quand n est un nombre impair, n — 1 étant pair, louies
les racines imaginaires depuis m = 1 jusqu'à m = n— t se réu-
nissent en couples de la forme

r=C0S i?p ±v Cr7 s in^,

où il suffit d'étendre les valeurs de m jusqu'à

Quand n est un nombre pair, il se forme seulement — —
couples, parce que la racine qui répond à -, et qui est réelle,
occupe le milieu de celles qui sont Imaginaires.

On arrive à des conséquences semblables pour l'équation
j*+i=o, où

formule dans laquelle
m = o, donne y = cos ^ -+- \J — 1 sin ^ ■
3* , . 3e

-3)ir r— . (an — 3
!— ■+ y* — 1 sm 1

y= cos

l"-)- + /=Tsl. '"-""

Au delà de ce terme, on ne retrouve plus que les mêmes va-
leurs, comme dans le cas précédent, et par la même raison. Il
ne peut y en avoir une réelle que si n est impair, et alors elle
répond à

m __ JZ_ qui donne y= cosn -1- tf^ï sin^ = — 1.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 32J)

Comme elle occupe le milieu du tableau, les racines imagi-
naires oui en sont également éloignées se réunissent en - — -
couples de la forme

où il suffit de pousser les valeurs de m jusqu'à m= H

faut aller jusqu'à m = ~ quand n est pair, parce qu'il n'y a

plus que des racines imaginaires.

l'on trouvai quelque (iiflii'ullé ;'i c oui prendre ces énoncés,
on les éclaircirait sur-le-champ, en donnant à n des valeurs
particulières.

190. Il est facile de déduire de ce qui précède, les facteurs
réels des quantités yzç. i .
D'abord la formule

y = cos ± <J — ' sin

donne pour facteur du premier degré de la quantité y" — i les
deux expressions imaginaires

[y — cos — <if II ï sin

cos ^ir) + v^sin^i
et en les multipliant, on obtient l'expression
y 1 — lycos^^ + i,

qui comprend tous les facteurs réels du second degré.

On trouve de même que les facteurs du second degré de la
quantité y+i, sont

y— 2y cos -i — + 1 .

Il faut observer que ces Formules comprennent aussi les

a3o tHAite élémentaire

facteurs réels du premier degré ; mais ils s'y présentent comme

doubles ; car si l'on fait m^= o dans, la première, elle devient

y*— *r+> = ir— <)';

et si n était pair, en prenant m = ^, ori trouverait encore

. ^+2^-1-1= (/-M)',

résultat que donne aussi la seconde formule lorsque n est im-
■ pair, et qu'on y fait m = - — ' ■

191. Les fonctions de la forme — npx"-t- q peuvent être
traitées comme celles qui ne renferment que deux termes. En
les résolvant à la manière des équations du second degré, on
en tirera les facteurs

(p±<Jp'~q),

qui seront réels tant que p 1 surpassera q, et auxquels on don-
nera la forme

en prenant successivement pour a" les valeurs de

p -+- vV— q, p—<Jp—<},

abstraction faite de leurs signes : ce cas rentre donc dans les
précédents.

Lorsqu'on aura /»■< q, on fera p =a', q = p", x = $y, et
il viendra

p'-r"— 2 p-j- -t- p«= p- (r— yV+ ■) ;

mais la condition p '< q ou s* < p M donnant a"< p", la quan-
tité jjj; sera une fraction, et pourra par conséquent être prise

pour un cosinus. Soit donc 3 l'arc correspondant; la fonction
proposée deviendra

p-fj-— 2J -cos*-i-i),
et il ne s'agira plus que de résoudre l'équation
y— 2 v*cos£ + i = o.

DE CALCUL DirFÉBESTIEL ET DU CALCUL INTÉGRAL. a3l

On en tire d'abord

y= cosJ± V— ï sin I;

puis prenant

. j- = cos!± ^Tsini,

il vient (187)

y"= cosiu±<j — i sinnz,
et en comparant avec l'autre valeur de/", on obtient
casnz = cos3, sinns = sin S.
On satislàit en général à ces relations, en supposant

m étant un nombre entier quelconque, puisque

cos (ami. +'*) — cosâ, sin (am*+i) = sini :
on aura donc

z = -2— , j- = cos ± V — i sin — . i

et les facteurs du premier degré de la fonction

y- — a/"cosi-t-i,
seront par conséquent compris dans la formule

Si l'on avait *» + ipx> ■+■ q = o, on ferait encore |j= coso*;
mais on prendrait

J*M-aj"COS(«r — *) + »,

puisque cos (* — 3) = — cos*; il viendrait ensuite

cosns = cos (« — 3), sinus = sin (*—»),

et par conséquent

na = amit + B — 3= (im + i) ir — * (*)■

{ ■ ) Los formule» dot n r< 180 et 10 1 c omiennei» implicitement las Ihéorènwe
de Cota ot du Moitts ol rempltcont "M »™Uge ces Ihiorimei, qui ne wnl

TRAITÉ ÉLÉUESiTAIftE

De l'intégration des différentielles binâmes.
192. Ces différentielles sont représentées par la formule

*— 1 d*[à+bar)î,

dont on ne diminue point la généralité, en supposant que m
et n soient des nombres entiers.

Si l'on avait, par exemple, x 1 dx (a-t- bx'}ï, onferail*=s*,

d'où il résulterait 6a' Az (a + bz')î. On peut aussi regar-
der n comme essentiellement |>o_sitivi>, parce que, dans le

cas où l'on aurait dx (a + bx~")i, on supposerait x='-,
et il viendrait — 'ds [a + ùz')i.

La formule :f-' dx {ax r ■+- bx"}ï revient encore à "\a pré-
cédente, en divisant par x r , dans la parenthèse; car on ob-
tient

a— •dx[x r [a-t-bx-')$ = x m *î~'dx (a -t- bz~}ï.

Pour chercher dans quels cas x™- l àx (a -+- for)» peut devenir

rationnelle, on fait o-i- bx"= z*, en sorte que [a ■+■ for)' = zf;
puis on trouve

et la différentielle proposée devenant par là

plus maintenant qu'un olijet de jnire curiosité; je n'ai pas cru par celle raison
deiolr les insérer ici - ou Ifs Iran» dans le Trailé in-î", lama 1, pape iai.

For'! dans la noie H, article Ml e domunslralion do cc-i formul», lodspen-

danlo des imaginaires.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL- a33

on voit alors qu'elle! sera rationnelle toutes les fois que ^
sera un nombre entier.

L'expression x'dx[a-i- bx*)* satisfait à celle condition,
puisque ni = g, n = 3, — = 3, el se transforme en

ft*~ *(*?)■•

î

La différentielle .r— 'da: (a -t- i-r")' est susceptible d'une
aulre forme, en rendant négatif l'exposant de x dans la paren-
thèse, ou en divisant par x" la quantité a + bx"; il vient

«— ' d * ( rt-h bx" ) ï = J7 d .C ( (LE"" -f- b )T

Cela fait, si l'on change n en — n,a en 6, 6 en «, menm + ^

dans la transformée en s, obtenue plus haut, on en déduira
l'expression

qui sera rationnelle si — -h - est un nombre entier.

Cela revient à faire immédiatement

ax— 4- b = SI, d'où a -H 6x" = x"Z',
transformation employée par Euïcr.

C'est à ce cas que se rapporte la différentielle

x t dx(a+bx , y,

pour laquelle

n~3 « g — 3 "

193. Puisqu'il n'est pas possible d'iniégrer en général la for-
mule /*"-' dar (a -+- fce"jt, l'idée qui se présente d'abord est

a34 TRAITÉ ÉLÉMENT AI HE

de chercher à la réduire aux cas les plus simples qu'elle pcui
renfermer.

On y parvient assez facilement, au moyen de l'intégration
par parties, procédé fécond qui sert à ramener une intégrale à
une autre. Il se lire de l'intégration des deux membres de l'e-

duv = nàf-hvàu

qui conduit à

B v=/ U ^+H«, d'où fud V = w- Jvdu.
On volt par là que si, dans la différentielle Xdar, la fonction X
peut se décomposer en deux facteurs P et Q, et que l'on sache
intégrer 1ù différentielle Qdx, en nommant v son intégrale, ei
faisant a = P, on aura

JVQ&x = Vv — f V &V,
ce qui ramène la difficulté à obtenir /fdP.
194. Pour abréger un peu les résultats, dans l'application

de ce qui précède à la formule x~~'ùx (a + 6ar*)f, j'écrirai p
au lieu de et il faudra supposer que p est un nombre
fractionnaire quelconque : on aura alors la formule

Parmi les diverses manières de décomposer celle diffé-
rentielle en facteurs, je choisis celle qui tend à diminuer l'ex-
posant de x hors de la parenthèse, et qui s'opère en écrivant
ainsi,

la formule proposée. Parce moyen, le facteur x—'&x {a -t-bz"}'
est intégrable, quel que soit/) (170) : en représentant donc ce
facteur par de, on a

[a -+- bx")^'
{P ■+-■)»*

d'où il résulte

/*— dx{a + bx-y
[p + i)nb {p-hi)nb J

DigiiizM 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAL. â35

or

' Ax (a ■+■ bx")r+' = f Ax {a + bx~Y [a -+- bx~)

= a /a-—' Ax (a -+- bx")t -f- bfx—' àx [a + bx")' ;

meiiani celte dernière valeur dans l'équation précédente, et
rassemblant les termes affecté s de l'Intégrale fx"-' Ax{a-\-bx"y,
il vient

_ x*—{a-i-bx"Y+ , — a(m—n)fx~~"ix{a + bx°Y
((■ + ■>»'

d'où l'on lire

i /»-•*»{«+ to-y

(- b{pn-l-m)

Il est aisé de voir que puisqu'on peut ramener, par celle
formule, l'intégrale JV-'d + à fx*—-' Ax{a-t-bx"Y,
on ramènera aussi cetle dernière à f a* 1 -*" -1 Ax(a -f- bx°y, en
écrivant m — n à la place de m dans l'équation [A) ; puis chan-
geant encore m en m — 211 dans celte même équation, elle
fera connaître far~"~'Ax(a -+- bx*y, au moyen de

fsr-**-* Ax[a-hbx*Y,

et ainsi de suite.
En général, un nombre r de réductions conduit à

fx-"-> Ax(a+bx"Y;

car si dans la formule (A), on change m en m — (r — t)n, on
en tire

fx—(— «- ' Ax ( a bx*y
_ x^"{a-hbx")^ — a(m~-rn)fx—'—Ax(a + bx-y

Il est évident, pu- celte dernière, que si m est «n multiple
de n, l'intégration de la différentielle Ax[a ■+■ bx')' s'ef-
fectuera algébriquement, puisqu'alors l'anéantissement du

336 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

c. oefficient m — m fera disparaître ia dernière intégrale

résultat qui s'accorde avec celui du n° 192.

195. On peut obtenir aussi une réduction par laquelle l'ex-
posant de la parenthèse soit diminué de l'unité; pour cela, il
suffit d'observer que

fx— < d x(a+ bx-f • dx(a+ bx*y- (a -+- bx-)

= afx— dx {a + bx*)r-< +bfx-~~ l dx {a + bx-y—,
ei que la formule (A), en y changeant m en m+ n, et p en
p — i, donne

fx*+-'àx(a+bx*)r->
_ x"(a + bx-y — amfx— • dx(a+ bx")r-<
b[pn + m)

Substituant celle valeur dans l'équation précédente , on

I Jx—dx(a-hbx'Y
(B) ! x- [a ■+- bx")P + pna fx~-' ûx [a -4- bx-}^

( pn + m

Avec cette formule, on ôlcrn successivement du nombre p
toutes les unités qu'il peut contenir, simplification qui,
jointe à celle que procure la formule, (A), fera dépendre l'in-
tégrale

Jx~<dx(a-\-bx*)r de J x— — ' dx {a + bx»)f-,
rn étant le plus grand multiple de n contenu dans m — i, eti
le plus grand nombre entier contenu dans p.

L'intégrale fx^dx (a + bx*)', par exemple, sera ramenée
successivement, Var | a formule (A), à

fx l dx(a + hx-)', fxàx[a->rbx>y;

puis la formule (Bj fera dépendre fxdx [a+bx l f de

Jxûx[a-t- !>x )K ci celle-ci de fxdx{a+

OigiiizM ûy Google

I)E CALCUL DII FÉRESTIEL ET DE CALCUL t\TL'GHAL a37

196. Il esl évident (juc si m et p étaient négatifs, les for-
mules (A) et (B) ne rempliraient pas le but pour lequel ell'>s
ont été construites : elles augmenteraient alors les exposants
de x hors de la parent lu'» se, et relui de l.i parenthèse; mais en
les renversant, on en trouve qui s'appliquent au cas dont il s'a-
git.

On tire do (A),

_ jc— (a + h.v\r+< — b [pa ■+■ m) ,/V— 1 d x {a -+- bx-)r _
_ a [m — *) 5

el mettant — m + n au lieu de m, il vient
r fx— <Ax{a-hbx*y

(C) J _ ^{a-hbx')r* t +b[m--*—Hp)farr*~*x{a+b*<\r
[ am

formule qui diminue les exposants hors do la parenthèse.
Pour renverser la formule (B), on prend

/ x"-' dx(a-h bx")?—
_ x"{a + bx-)r—{pn + m)fx~-dx[a + bx-Y m
pna '

puis on écrit — p -+- 1 au lieu de p, et il vient
I Jx— ' dx{aA-bx")-r

(D) ! _ x" {a -H bx")-i»- — (m+ ii — np}fx~- dx{a + bx")~r-<
{- [p-,}na

formulequi atteint le but propose.

Les formules [A), (B), (C), (D) deviennent illusoires, lors-
que leur dénominateur s'évanouit. Cela arrive pour la for-
mule (A), par exemple, quand m = ~np : mais dans tous les
cas de cette espèce, la différentielle proposée peut se ramener
à un monôme, ou bien à une fraction rationnelle (*).

197. Soit r^ i m étant un nombre entier positif; ta

CI Fur*» lu Traite in-4°, tome (I, pafe4i.

Digmzcd Dy Google

SI l'on donne successivement à m dliïérenies valeurs, en
On lirera de là

Ngitized by Google

Dans ce cas, toutes les intégrales proposées dépendront de

j <jt— x' ~ ar ° ' Sin = *' + COns '' ' 36 ' '
et en représentant par A l'arc indiqué, on aura

198. Je vais chercher maintenant les formules qui répondent
■u cas où tn est négative. On a alors, par la formule {C] (196),

Oigilized by Google

240 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

le dénominateur nul : il faut donc chercher à priori l'intégrale
de — ■ On la trouvera facilement d'après ce qui a été dit
n" 192; on fera i — x*= z', d'où il résultera

ei, par conséquent,

dx — Ai

équation dont le second membre a pour intégrale
Remettant au lieu de z sa valeur, on aura

multipliant par i + v'" — les deuï termes de la fraction com-
prise sous le signe 1, on obtiendra

on aura donc enfln

Maintenant, si l'on suppose d'abord m = 3, m — 5, etc., il
viendra

etc.

L.'in i : L 1 ,■ C

G CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 2

t ensuite m = a, m = 4, m = 6, etc., on trouvera

De ces deux suites d'équnlions on tirera, comme dans le nu-
méro précédent, deux classes de formules, l'une intégrée par
logarithmes, et l'autre qui sera algébrique.

199. La différentielle x~- •Ax{ax--hbx')p, se ramenant à la
forme Ax ya + bx'-'Y (192), est susceptible des mêmes

réductions que celle-ci. J'en donnerai pour exemple l'expres-
x*àx

sion ^ cx _ x , 1 U1 se Presenie dans la Mécanique. On a d'a-
bord

r xiAx L ,

J ^cx-x< = S * Ax ^ cx ~ "ï' ^/^àx^c-x)-'-,

la formule (A) (194), en y faisant
donne

fx^dx^c-xf-

q q J 1*1

et si l'on observe que

x ' = Xi- x', & t ~' = X?" af *,

puis qu'on fasse rentrer les puissances fractionnaires de x dans
les parenthèses, qu'on changera ensuite en radicaux, on aura
e« éd. t. ,6

OigiiizM by Google

200. Les trois exemples précédents se rapportent aux for-
mules (A) ei (C) ; on tire des résultais non moins utiles de U
formule (D) (196), puisqu'elle serl à intégrer la différentielle

qui a été mise de côté dans les fractions rationnelles (180) ; er
si l'on fait

x = z, a = p\ 6 = i, m=i. n = z, p = m,
la formule (D) devient

)-H-. + ( a „ t _3)/dz(ji- + -')-^

/d*((JM-*')~=
d'où il résulte

im — 3 f dz

La réduction indiquée dans celle formule s'arréle à j"

Car si l'on faisait m = i,le diviseur 2 m — 2 devenant nu!, If
second membre sérail infini. Il esl aisé de voir que celle cir-
constance est du même genre que celle du n° 168, puisque si
l'on pouvait passer de m — 1 à m — o, on tomberait sur l'in-
tégrale fi3=z, et l'on aurait algébriquement l'intégrale

/■ -^.,1 qui esl nénessairemeni transcendante (180).
s -t-p

De l'intégration par les séries.

201. L'inlégrale/Xd.rs'obiieni facilement lorsqu'on a dé-
veloppé la fonction X en série, parce qu'on n'a plus à intégrer
que des monômes, auxquels s'applique immédiatement la règle

DigilizMDy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. a43

•du n° 1G7. Eu effet, soit

X = Kx m -+- B^" + "+ C«** , "+B«»* J, -t-elc.;
si l'on multiplie les deux membres de celle équation par dx,
et qu'on intègre séparément chaque terme du second, on trou-

m+i m-i-n + i m + ss + i
Lorsqu'on rencontrera dans le développement de X un terme
de la forme —, il en résultera dans l'intégrale le terme Al*
(168).

202. La fonction la plus simple qu'on puisse réduire en séria
est — - — ! ayant pour développement

/dx x x' x 1 x'
— — = — +~— j — 7—: ■+- etc. + coiut.;

mais on sait d'ailleurs que J~^~ 1 (* + *) +eotut. :on
aura donc

Pour trouver ce qu'exprime la constante, il n'y a qu'à faire
x = o; il vient, dans celle supposition, 1 a = consl., et, par

résultat conforme à celui du n°29.
Soii la différentielle ~ - - ; i qui, pouvant se meure sous la

forme — — -1 appartient à l'arc dont la tangente =.- (36); en

a44

TRAITÉ KI.ÉMKKTAIHS

o , +« J a fi-
el l'intégration donnera ensuite

/ aAx

arc ^lang = -J +const.

Si l'on veut tirer de celte équation la valeur du plus peiitdes
arcs dont la tangente est - > il faudra supprimer la consume
arbitraire, puisque l'arc cherche est nul, lorsque x = o, et I on
aura

arc (une=- \ = - — — —, + etc.,

résultat conforme à celui du n" 38.

x-Ax
.t on trouve

En opérant de même sur -

r xrAx _ x~+<
n'-H*" — (m-t-ijo* (m-l-/i

203. Le but de l'intégration par les séries étant de se procu-
rer des valeurs approchées des intégrales qu'on ne peut obte-
nir rigoureusement, il est important d'avoir plusieurs séries
pour exprimer la même intégrale, afin de choisir celle que rend
convergente la valeur particulière qu'on se propose de donner
à x. Les séries qui procèdent suivant les puissances positives
de * dont les exposants vont en croissant, ou les séries ascen-
dantes, ne convergent, en général, que dans le cas où la va-
riable x demeure très-petite; tandis que celles qui procèdent
par les puissances négatives de x, ou les sérias descendante'.
convergent d'autant plus, que cette variable est plus grande.

Pour parvenir à une série de cette espèce, dans l'exemple

DIS CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. ^.JS

ci-dessus, il faudrait changer l'ordre des termes du binôme
a°-i- x; ei meure x à la place de a dans le développement de

et, après avoir multiplié par x"Ax et intégré, il viendrait

Ç afAx i

J x"-ha" (m— m— i)x-r~<

a' a"

+ -, ,— — - — t= ; — .. _ . -H etc. -H const.

{an — m — ij-a*-*- 1 [3n— m— i) •

Cette série serait illusoire, si quelqu'un de ses dénomina-
teurs, compris dans la forme in — m — i, s'évanouissait, ce
qui arriverait si m -M était un uiultiple de n; dans ce cas, la
différentielle développée contiendrait un terme de la forme

al '~' ) "~x~' dont '' inl ^8 rale serait

Si l'on fait, dans le résultat ci-dessus, m — o, h = % et a=i,
il devient

JS? = - i + si? - s? + elc - +

mais quoique l'expression soil ' a différentielle de l'arc

dont la tangente est x, il n'en faut pas conclure que la série
précédente soit le développement de cet arc, puisqu'elle donne
l'infini lorsque x = o. La considération de la constante arbi-
traire lèvera celle difficulté, si l'on fait aitcnlion que pour cpn-
nalire la vraie valeur d'une série, il faut toujours partir du cas
où elle est convergente. Or la série

l'est d'autant plus, que x est plus grand, et elle s'évanouil lors-
que x est infini: à cette limite, l'équation

arc (lang = x) = — - -L. + etc. + const..

Digiiizcd By Google

1v(6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

se change en arc de n=- = con»t., et substituant celte valeur
de la constante, on obtient

On pourrait intégrer aussi la fonction rationnelle ~î (172),
en développant en série l'expression ^ ; mais ce moyen ne
conduirait qu'à des résultats fort compliqués et rarement con-
vergents. D'ailleurs ces calculs sont à peu près inutiles, puis-
qu'on sait ramener cette différentielle aux logarithmes el aut
arcs de cercles, dont on obtient les valeurs par les tables tri-
gonometriques.

20i. La formule /x—'dar (a-f- est facile à intégrerpar

le développement de la quantité [a-\-bx")î en série, el il
vient pour résultat

(m qam-hn i.zq'a' nt+an

. p {p— g) {p — ag}&

>-.3q'<?

- -l-ete. i-i-fiontt.

Si l'on voulait obtenir une série descendante par rapport
à x, il faudrait donner à la différentielle proposée la forme

,_ 'd^ (4-r-aar")î, et après avoir développé (i-t-tur*)»,

multiplié le résultat par je"* T~' da: et intégre, on aurait

mq + np qb mq [p — q)n

p(p~q)a* qx i j
+ ..a^- V- H p- 3g ) B + etC -f + ^'
Tant que les quantités « et 6 seront positives toutes deux, ou
que i/ sera un nombre impair, on pourra se servir in diffère m-

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. a4j

ment de celle série on de la précédente; mais lorsque g sera

pair, la première formule deviendra imaginaire par le facteur â<
si ar est négatif, et la même chose arrivera à la seconde si br
est négatif.

205. Soit dx ■ expression qui est la différentielle de
l'arc dont le sinus — x (36) ; on aura

r i i.3 [.3.5 1.3.5.1

el de là

/Ax ix 1 i.3 x* i .3.5 x'

77=^ = * + ; T + t + ïTë 7 + elc - + contt -

En supprimant la constante, la série s'anéantira lorsque
x = o; elle donnera par conséquent la valeur du plus petit
des arcs dont te sinus = x, comme dans le n° 38.
Voici encore quelques résultais faciles à obtenir, d'après ce

précède, niais qu'il est bon de connaître :
,. àx _ Ax faisant y£ = « on a
mais par la série précédente, il vient
f adtt / iu> i.3 a» 1.3.5 «> \

I- ,— = 2[U-i- --x -\ t H 7-7; — -H etC +IWBI .

donc

J <ljX — XX

I ix 1 . 3 .r 1 1 . 3 . 5 x' \ 1—

= ' ( , ,+ ; 3 + îi 5 + îT5 y + e,c )

a», di •Ji.nx — x* = [jaYx'Ax ;

or

/ .r \'_ t 1 . 1 .r' 1 . : .3

OigilizM ûy Google

TRAITÉ ÉLÉMEBTA1RB

2.4 J-i*

- Tji fk* - elc -J ^ +«»»'..

- îrl - ete -) a *^+

3°. = = donne. après la réduction de - ■— — en série
ei l'intégration,

/da- ] a- i.3 1.3.5 *'

= * " S T + 5 " MT6 7 + + «""■

,„ Ç dx , r 1.3 1.3.5

Celle série, qui renferme la transcendante \x, est d'autaoi
plus convergente, que a: est plus grand. On peut en obtenir
une autre entièrement algébrique, et d'autant plus conver-
gente, que x diffère moins de l'unité. Pour cela , il faul faire
x=i + u, ce qui donne

/vfe -fv&s = fj" h - ( ,+ s) '■'

développant ('"l"^) ■ multipliant chaque terme par u'Hu
et intégrant, on trouve

Ç Au

— ' LJ 1.3»' t.3.S J \

-(, ■ " ■ '- 3 " 1 1-3.5 »' \ _-

~V~r3^ 4 -r^5l- a .4.6. 7 .H + elc 'j^"- 1 - c,< ' ni '- :

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL i4g

et puisque u — x — i, les tenu us de celle série sont d'au tant
plus petits, que i — i esi peu considérable.

306. L'utilité de la réduction des djflërenUeltes en série
étant seulement de les transformer dans une suite de termes
dont chacun suit intégr-ible en particulier, il n'est pas toujours
nécessaire que les termes de ces séries snient des monômes.

Si l'un a, par exemple,

et que e soit une quantité fort petite, le développement de
V 1 ! — e'x' donne une série très-convergente, parce que dans la
différentielle proposée x' est toujours <i, à cause du radical

c' , tfaf—

u n° t97. En substituant au lieu de

t. 4. 6 e

les expressions données dans le numéro cité, il en résultera
J fï^tf

-H etc.

y'i — «*— - A

'}*)

1.3.5 \ .

■■■4-e f

tllgmzad b/Cuogle

a5o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On irai le rait d'une manière analogue la différentielle

ûx _ Ax 1

x>){a + x)~ fT=x~' v'^H^*
en réduisant en série la quantité

cl quant a la différentielle

Ax

^cx-x'){b-x)\
qui se rencontre dans la Mécanique, le développement de

(»— r*=' 4 (i-f) H

.-il ix 1.3 «« 2.3.5a:' [

ramènerait son intégration à la formule

J^== (199).

De l'intégration des fonctions logarithmiques et exponentielles.

207. Soii d'abord la différentielle Vàx{\x)°, P étant une
fonction algébrique de x; l'intégration par parties fournit le
moyen de In simplifier en diminuant l'exposant de \x.

En effet, si dans l'expression générale fz'VAx, on peut
intégrer le facteur Pd;r, et qu'on pose en conséquence

VAx = Av, u = z- et dz=s'dx,

la formule de = m- — /«du (193) donnera

résultat où la différemïation a diminué d'une unité l'exposant
de z, si toutefois cet exposant est positif.

L'i i r : : ,_ J L,

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. a5l

Le contraire aura Heu s'il est négatif; alors il faudra changer
la manière d'opérer et faire tomber l'intégration sur le fac-
teur z; ce qui se peut en observant que l'équation da = z'Ax

donnant d.r = ^» on a

208; Pour la différentielle *»d*(l*)-, on pose
;r"d:r = df, d'où v — — — -,
ci l'équation (i) conduit à

jrix (!»)■= *~]|f - = 5^/«-4»(l«r-.
Si dans cette dernière on change successivement n en n — i ,

/*■«. (.*)-■ = - i=i /.-d. (!*)«,

etc.

En poursuivant ces réductions, on ôtera de l'exposant n, s'il
est fractionnaire, toutes les unités qu'il contient ; et l'on peut
aussi parleur secours construire la formule générale

OigilizM ûy Google

a5a TRAITÉ ÉLÉMBHTA1HE

I! est bien aisé de voir que ie fecteur (— i)'' sert â indiquer
l'alternative des signes -H et — selon que p est pair ou impair;
on doit remarquer en outre que l'intégrale du second membre
disparaît quand p = n.

En prenant n = i et n = a, on trouve

f xfdx\x = ~^TÏ f' x — m lj_ | j comt ->

fx-dx [ \x)> = \[\x)'~ ~- t Ix +j£^y, \ + cont.

Lorsque m= — i , la formule ci-dessus cesse d'être applicable;
mais en faisant \x = a, on a

J ~ ( I x Y=fur d u = -gl + comt.

et la même transformation rendrait algébrique la différentielle
^U, danslaquelle U désignerait une fonction algébrique de la:.

Lorque n est négatif ou fractionnaire, la série se prolonge à
l'infini; en faisant n — — -, par exemple, il vient

1.3.5 )
H f -+- etc. \-hconsl.

8(.+i)-(i«)' *

209. Pour diminuer l'exposant de \x, lorsqu'il est négatif, il
faut employer la formule (a) du n° 207, avec laquelle on
trouve

C x"Ax _ x"+< m + i Çx'Ax

J \lx)'~ (n-i)O*)-' ^n-. Jfîïp"

Répétant cette réduction, en changeant n en n — i, en
n— 2, elc, pi supposant que n est un nombre entier, on

DiïtiZ'XI 0; Cl 11

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL 953

obtiendra

JV

")(!*)" |»-t|l»-»l II»)*-
-■)(»— »)(»— 3)(l*)— '

-)»-»]. ..,J \*

f

Quand m = — i, la formule précédente conduit à
C dx i

Jîrw=-(a-, H u)-.+ c '""'-

résultat qui devient illusoire lorsque n = t ; mais la différen-
tielle qui répond à ce cas, s'intègre immédiatement, en
faisant \x = u, puisqu'elle se transforme en ^ et l'on a
lu-j-co/w(. = 1(1*) -\-coiut.

/x" A x C s^Ax

— j^— i de laquelle dépend J j^-^jr*

quand n est un nombre entier, paraît devoir constituer une

transcendante à part. On la ramène à une forme plus simple,

en faisant x m *-'=z; car il vient alors x~&x —

-71-+-I

la Cx*Ax fAs

\x= — —, et par conséquent / ^ = J j^-

On trouvera plus bas le développement en série de celte der-
nière, qui se rapporte aussi aux fonctions exponentielles, en po-
sant li = u, ce qui donne z = e", û:—e"Aa et

211. Je vais m'occuper maintenant de l'intégration des fonc-
tions exponentielles; je ferai d'abord remarquer que l'équa-
tion d.a? = <?tixla (27) donne

a'dx—~ t û,a', d'où J'n'Ax = ~-i-coiuU

OigiiiziM by Google

a54 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On tire aussi de la ûx = ~~ ; par ce moyen, la différen-
tielle Vd* devenant se change en lorsqu'on
fait a*— u, et est algébrique par rapport à «, lorsque V est
une fonction algébrique de «*. On trouve ainsi que
a'flx du

212. Passons à la formule fa- x-dx, de laquelle dépend
fPa'àx, lorsque P est une fonction rationnelle et enlière
de x. L'équation (i) du n° 207 donne

et en continuant cette réduction de n — i à n — a, etc., on
parvient, lorsque n est un nombre entier positif, à

213. Si l'exposant n est négaiif, l'application de la for-
mule (2) du n°207 conduità

et quand l'exposant n est entier, on obtient

r^__ «- «*i«

J «■ [»— l« — ij[n — aj*—»

£M o-(i«)—

1«— (»-3)^-~- ■ — (»-,}{, J a) ... l3f
(«-•)(»-»)-.. J ~'

On ne saurail pousser la réduction au delà de Jl^£;

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL.

ne donne rien, lorsque n = i.
On retombe encore dans cet exemple sur In transcendante
n pouvait obtenir

j"——-* dont j'ai déjà parlé n- 210; eu

son expression, un aurait en même temps l'intégrale fa'x'àx,
pour tous les cas où n est un nombre entier.

Lorsque n est un nombre fractionnaire, les deux développe-
ments dont on vient de faire usage ne se terminent poini. Si
l'on avait, par exemple, n — — -, le premier donnerait la

et en faisant n —-^ dans le second, on aurait

J i/î ~ |i ' 3 ■ 3.5

2H. En remplaçant tf par son développement (27) dans la
fonction JVa'Ax, on obtiendra

/Po- d x = J P d x ■+■ j f P x d r -+- fi^ / P x ■ d x

re qui fournira un nouveau développement de _/" P «* d.r, toules
les fois qu'on pourra obtenir les Tondions

/PdX, JPxilx. ... /PjCdar, etc.

j56 TRAITÉ ÉLÉU EKTAl RE

Si P=x", il viendra

,-r + etc. -hconst.

( .3(/H-4>

ou il faudra mettre la; au lieu de n ~- t lorsque n sera un
entier négatif égal à — i".
L'application de ce moyen à l'intégrale donno le

, développement

fa-<ix _ |x . x\a t x'(l* •

= - - — X3

- ^ j j -S- etc. ■+■ canif.,

que la supposition de a? = z, d'où il résulte <r =
la: = 112— lia, transforme en

f ds -
J 1* =

i a i.a 3 i .2.3

+7 ■ ^ -J-f ■+- etc. -+- coru
4 1.2.3.4

215. Il y a encore un autre moyen d'iniégrer une fonction
exponentielle, telle par exemple que ^~^pr, ; n'est de cher-
cher à la rapportera la différentiel le delà fonction cP, qui est
c(Pd^ + dPj. et dans laquelle P représente une fonction al-
gébrique de x. C'est principalement la sagacité et l'habitude
du calcul qui peuvent guider dans ce procédé. L'exemple pro-
posé étant fort simple, il suffit de faire i+x=a . on a
alors

tfxdx _ e— (a — t )dz

: -i|*G'-S)l'

- étant la

DH CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ajj

différentielle de-, il faut prendre P = -, d'où il résulte l'in-
tégrale ~ ~ + const. Remettant au lieu de a sa valeur, on
trouve

I -, r, — ■ H eotut.

J [i-hz)' * + x

De l'intégration des fonctions circulaires.

216. L'cqualion (i) du n- 207, en j faisant P = x",
z = arc (sin = x), et observant que

d.urc („!„=*) = j= (36),

donnera

Ja^d^arc [sin = x] •
X~> . . . î fx^-dx

= —.«(«.=.]-— jj==,

é traitée dans les n M 197 et 198.

Ax

Cet exemple suffit pour montrer que fPzdx, z désignant
un arc de cercle et x l'une quelconque des lignes trigonomé-
triques correspondantes à cet arc, pourra être ramenée à l'in-
tégrale d'une différentielle algébrique, toutes les fois que
_/"Pd# sera une fonction algébrique de celte variable, puisque
les différentielles de l'arc sont aussi de pareilles fonctions (36).

En supposant toujours que x soit le sinus de l'arc s, et fai-
sant V = i, dans l'équation (i) du n° 207, on obtient

J J </i—x>

cl ainsi de suite, d'où l'on conclut

fz- dx = z-x + nz~> ^ - ■»(■- ■ )

_ „ („_,) („_ a ) fn^'-i- etc.,
série qui s'arrête lorsque n est un nombre entier positif.
6* éd. 1. 17

OigiiizM &y Google

a58 TBAITfc ÉLÉMENTAIRE

. Si l'on avait Pda: = d*, l'intégrale fVz'Ax se changerai!

en fz'Az = — ■+■ const. ; et si l'on substituait à *■ une

fonction algébrique quelconque de z, l'intégrale considérée par
rapport à z rentrerait dans quelqu'une des formules traité»
précédemment.

217. Les fonctions qu'on rencontre le plus souvent ne con-
tiennent pas l'arc, mais seulement sa différentielle, et |»ur
les intégrer il faut se rappeler que, par les n™ 33 et 31,
d. sin ni = nAz cogna,

d'où

JAz cosnz = -sinns-t- const. ;

• d . cosnz = — n d z sin nz ,

d'où

JA z sin ns = — - cosna -f- const. ;

nAz

d.tangnï^; r-,

cosns '

d'où

/Az i
: r- — - tanenz -+- const. :
(cosnz)' n 6 '

nAz

Jr.

col ns + const. ;

, . ndzsinnz
1 . sèc n* = "j^rjjj ji~ J

j y^z? =

«dscosnz

d . Ctisec nz = — , ,- .

(sin la)'

- - rosec m ■+- const. —

oigitizM by Goc gic

DE CALCUL DIFrânEXTIEI. ET nB CALCUL INTÉGRAL. 35g

218. De ces intégrations résulte d'abord celle de loules les
fondions rationnelles et entières de sinus et de cosinus, parce
que, au moyen des expressions de

slnacosft, cosasiné, sinasinft, cosncosft,
rapportées dans le tableau des formules trigonomélriqucs
[Trig., 29), on peut les changer en simples sinus et cosinus.
Soit pour exemple

d x sin {mx + n) cos (px -t- q);
si l'on fait d'abord

a — nwc -\-n, b = px + q,

on trouve

sin {mx-t-n) cos[px +g)
= ls\B[[m+p)x + n-hq} + jsiû[(m— + « — q];

et posant

( m + p)ar + B-t-$ = a, (m-p]ï + »-î = î',

d'où

* »— />

on n'aura plus à intégrer que la différentielle

î -, dzsin;+ -r— ■ rdz'sin^',

2 (m + p) *{m — p)

qui donnera

1 . cos* reosî'+cow(.

a(m+ p) 3 (m-p)

En remettant pour 2 et ~' leurs valeurs, il viendra

<-«s\l<n + p)x + n+q] _ COs\{ m -p)x + n-q] ■ ^

Il n'y a pas plus de difficulté pour les sinus et cosinus élevés
à des puissances entières ci positives, parce que les formules
'7-

Olgilcœl By Coogfe

a6o

TRAIT h ÉLÉMENTAIRE

tri gon orné triques citées convertissent ces puissances en sinus
et cosinus d'arcs multiples.
C'est ainsi que la formule

changeant

[sin [mx ■+• n)}> en ~ — ^ cos a {mx ■+- n),
conduit à l'intégration de

dar[sin(ffLr + n)]';

car si l'on fait

a[mx + n)=a, d'où dx = ^l,
on obtiendra la différentielle

— I cos Z 1 j

am\a a /

dont l'intégrale
s -sin g _ a (mx + n j-sina(B.

I- cottst.

219. On s'élèverait aisément des expressions de sin a' et de
cosa 1 , à celles de sina 1 et de cosa", et ainsi de proche en pro-
che; mais celles du n° 187 conduisent à des formules qui com-
prennent tous ces cas particuliers.

En efTet, on a d'abord

cosz" = - ; i ou î.'cosï = (e* v_i + e—' 1 -')

et si l'on développe le seeond membre de cette équation, en
supposant que n soit un nombre entier positif, cas dans lequel
la formule du binôme s'arrête, et les termes placés à égale dis-
tance des extrêmes ont les mêmes coefficients, il viendra

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL- 361

mais lorsqu'on change 1 eu mz, l'équation
doDnant

é auV= '= cos ma — 1 sinma,

fournit le moyen d'exprimer en sinus et cosinus tous les termes
du développement ci-dessus, qui peut encore s'écrire ainsi :

2"cos3"=cosna + "cos{n— 2) z + "'"~ . '^ cos(n — 4) 5

+ ni "72.3~ a ' cos (n ~ 6) *+*•••+ 7 cos - [n-î)i-H=OS-nï

+ " ( "Ta'r" a ' sin( n -6)^+...+ "sin-i/ t -2)a+ s i n -fl a j,

et les termes affectés de se détruisent comme on va le
voir. '

i". Si n est impair, ie nombre de ces termes est pair; en
les assemblant par couples pris à égale distance des extrêmes,
ils ne différeront dans chaque couple que par le signe, parce
que

sin — ma =— sinntz (Trig,, 26),

quel que soit m : la première moitié des termes est donc dé-
truite par la seconde, et il ne reste que la partie réelle du déve-
loppement. Si l'on éprouvait quelque difficulté à concevoir ce
qui précède, il suffirait, pour la lever, de faire ie calcul en assi-
gnant à n une valeur particulière, tomme 3 ou 5.

Dans cette opération, on verra sans peine que la partie réelle,
qui forme la valeur de s." cos z; lorsque le nombre n est im-
pair, peut être réduite à la moitié de ses termes, en observant
que

cos — mz = cos mz (Trig., 2.6),

d'où il suit que les termes placés à égale distance des extrêmes
sont égaux : on peut donc se borner aux termes qui composent

DigilLzed by Google

363 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

la première moitié de la formule, pourvu qu'on les double. De
cette manière, on trouve

2"cosa*=acosnï -H— cos(n — a) z

+ 3 "^~'' cc«( W -4)*-Hetc.,

ou, en divisant les deux membres par 2,

2°-' cosz"= cos ns +- cos(n — 2]*

+ iilr^i cos ( n _ 4) z 4. etc.,

en s'arrétant au dernier arc positif, qui est [n — (n — 1)] -s = s-
2°. Quand l'exposant n est pair, chaque partie du développe-
ment a un nombre impair de termes ; mais dans la partie ima-
ginaire, celui du milieu étant

„(—.)<— ,)...(._ï+.)

: ï = i-sin{n — n)s,

I. 2.3-4-.

s'évanouit : celte partie est donc encore nulle.

Quant au ternie du milieu de la partie réelle, comme il est
affecté de

cos(n — «)i = coso = i,

il se réduit à son coefficient, le même que ci-dessus; et à cause
qu'il est unique dans la formule, il faut en prendre la moitié.

le cas précédent, en sorte qu'on peut encore se servir de la
même formule que dans ce cas, pourvu qu'on ait soin de ne
prendre que la moitié du coefficient du cosinus de l'arc nul
qui se présente alors.

Avec cette attention, il sera facile de former les valeurs de la
table suivante:

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL,

COSZ = COSZ,

a cosz'= COS22+ i.

4 cosî4= cos3ï -+- 3 cJsa,

Scosz' = cos4z + 4 C0S2Ï + S,
16 cosî> = cos5z -+- 5cos3z ■+- io cosz,
3a cosa' = cos6a -+- 6cos4* + i5 cos23 + io,
64 cosz'= co3î a + 7 cos5a 4- 21 cos3ï -4-35 cosa,
etc.

220. L'expression du sinus (187) donne l'équation

slna

et, par conséquent,

a'{V=ï)' sinz-= {e-^-~ e-*~Y

où les termes du dernier membre sont alternativement positifs
et négatifs. Lorsqu'on remplace les exponentielles par leurs
valeurs en sinus et cosinus (numéro précédent), il vient

a"( ¥ Crr)" sma « == cosnz — -cog(n~ a)z+— - B ~ - '^ cos(n — 4) s

- "t"-')^- 3 ) cos{ii-6) f . . .± J cos-(«-2) « T cos -«

+ jsinna — "sin(n — 2) z + ^1=^1 sin (n — 4)3

-^fc^==^sin(n-6)ï...±y S in-( f .-2)r TS in-nzJ.

où il faut encore distinguer deux cas.

i°. Lorsque n est impair, le nombre des termes de chaque
partie du développement étant pair, et ceux de la partie réelle
ayant, quand ils sont à égale distance des extrêmes, le- même

36 j TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

coefficient avec des signes contraires, se détruisent, puisque
cos — mz = cos mz. Celle partie réelle esi donc nulle. Il n'en
est pas de même de la partie imaginaire; les termes placés à
égale dislance des extrêmes s'ajoutent, parce que ceux de la
dernière moitié changent de signe à cause de

sln — nu = — sinms.
Dans ce cas, l'équation ci-dessus étant ainsi réduite à son pre-
mier membre et à la parlie imaginaire du second, devient di-
visible par y'— i, et les quolienls

2 "(v' — 'T" - ' sina"= sinus — - sin{n — i\z

«.(.-<)»- * l * - 7^;~' «■ [.-g ... ,

±- sin — (n — î)i^sin — m,

sont tous deux réels, puisque, n — i étant un nombre pair,

selon que n — i est divisible seulement par i ou par 4-

Ici, comme dans le numéro précédent, les termes placés à
égale distance des extrêmes ayant la même valeur, on peut en-
core se borner à doubler ceux de la première moitié, en s'ar-
rêlant au dernier des arcs positifs.

3°. Quand n est pair, les termes placés à égale distance des
extrêmes avant le même signe, c'esl la parlie imaginaire qui
s'ancantii ainsi que dans le numéro précédent, cl la parlie
réelle qui subsiste, avec un terme du milieu: observant donc
alors que (y'— ï)" = ipi, et supprimant un facteur a dans cha-
que membre, on peut poser

pourvu qu'on ait soin de s'arrêter au terme où l'arc est nul, et
de ne prendre que la moitié du coefficient.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL- afîS

Par celle formule, et en t changeant tous les signes lorsque
celui du premier membre est — , on trouvera sans peine les
valeurs contenues dans la table suivante :

4sinz>=— sin3ï-f- 3 siaz,

8 sinz' = cos4z — 4 cosaz-i- 3,
16 sinz'= sin5î — 5sin 3î -f- io sinz,
3asinz"= — cos6s-f-6cos4z — i5 cossz -H io,
64 sinz'— — sin73 + 7 sin5z — 21 sin 3j + 35sins,
etc. (').

221. Maintenant, soità intégrer la différentielle /dzeoss';
on tirera d'abord des formules du n° 219,

cos z' = ^ cos4 z + jcos2î + |i

et l'on aura

/dz cosz'=I/dzcos4z + ^/dzco S2Z -l-2/ds

Cet exemple montre assez comment il faudrait opérer sur
tous ceux qui pourraient s'offrir.

222. Les formules

sinz =

av /=T

(187),

changeant les fonctions de sinus et de cosinus en exponen-
tielles, ramènent l'intégration des unes à celle des autres.

On peutaussi changer la différentielle dz sinz-cosz* en une
autre qui soit comprise dans les différentielles binômes : il

(*) Dans les formules ci-dessus, je mo suis borné à considérer n tomme en-
tier, ro cas ùtinl le seul nécessaire pour le "lui G rnnd nombre des opplicaliuns :

366 thaitè élémentaire

surfil de faire sin a = x, d'où il résulte

et l'on obtient ensuite

/dasinz-cosî' — fx~dx{t— x'}~.
Celte dernière expression s'intègre d'abord quel que soit m,
lorsque n est impair, puisque "~* est un entier. Quand n

est pair, - ~' revient à ±i — ^ i" étant un entier, et l'em-
ploi, soit de la formule (B) (195), soit de la formule (D) (196),
ramène à

qui s'obtient quand m est un entier (197, 198).

Dans tous les autres cas, on réduira l'intégrale proposée à
celle de la différentielle analogue la plus simple.

Il est visible qu'on peut transformer de la même manière les
différentielles contenant les autres lignes tri go no métriques.

223. Avant d'aller plus loin, il est à propos de remarquer
que si l'un des exposants m, n est impair, l'intégrale
fàz sin a" eosa" se ramène sur-le-champ aux fonctions algé-
briques entières, en observant que

/ da sin «i^ cosa- = / d z sina . cosa- [sin *>)<■,
/dssins"cos2 I ^ 4 -' = /ds cosa. sin a" (cosa'}?,

que

(sina 1 )'' = (i— cosa 1 )', (cos (i — siaz'f,

que

dasina — — d.cosa, Az cosa = d.sina,
et faisant cosa = «, puis sinz = u, onarriveà

intégrales qui s'obtiennent en développant les puissances en-
tières de i —

L'tj.i !:■,■

DE CALCUL DIFFÉRENT! KL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 367

224. Les formules (A), (B), (C)et(D) des n» 194, 105, 196,
pourraient être facilement transformées par rapport à la diffé-
rentielle dz sinz-cosz" (222); mais on parvient immédiate-
ment aux mêmes résultats, en décomposant en facteurs celte
différentielle.

Si on la met d'abord sous la forme da sinzcosz'.sinz" - ', le
premier l'acteur dz sina cosa" pouvant, à cause que
dasina = — d.cosz, s'intégrer, on trouve

/d*6in.3"cos2' , = JAs sinz cosz" sinz— '
= — cosz**' sln«— /dzcosz" 4 -' sina— 1 ;

et parce que cos"z~" = cosz". cosz' = cosa' (i — sinz 1 ), on ob-
tient

fdz cosz**' sinz*—' = / dzcosï-sinî* 1 - 1 — / dz cosz* sina".

Substituant dans la première équation, et prenant la valeur de
/dasina"cosz", il en résultera (A)

/daslnz-cos2-=— s '" :i ^ 0 n SZ " eL +gg/dasLna— cosz-.

225. On peut construire de même la formule propre à di-
minuer l'exposant de cosa; mais elle se déduit immédiate-
ment de la précédente, en posant

z = i! — y, d'où dz = — dy, sinz = cosr', coss = sin/.
Par ce moyen, et en y changeant tous les signes, la formule (A)
devient

et maintenant, si l'on remplace y par a, qu'on change m en «
et réciproquement, on aura la formule (1)]

Jdz sinz-coss*= S '- 8 ^°"'~' + £^/dzsinz" cosz—.

226. Comme leurs analogues pour les dilféreniiellcs bi-
nômes, ces formules doivent être renversées lorsque l'expo-'
sant qu'on se propose de réduire est négatif (196}.

a68 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

En prenant dans la formule (A) la valeur île l'intégrale du
second membre, on obtient

fdz Sin*— co S3 - = sin ^°""' + ÎJ±2 fix sin*" cos*';

si l'on change ensuite m en — m + 2, et qu'on passe les
puissances négatives au dénominateur, il viendra la for-
mule (C)

j' Azcosz- _ ÇQSZ-+- | m — ra — z J dzcosz"

En opérant de même sur la formule (B), on en déduit la for-
mule (D)

227. Voyons maintenant l'usage de ces quatre formules.
Si l'on applique, par exemple, à fàz s'mz' coss', la première,
elle donnera d'abord

fà.z sins' cos-s' = — ""y^ + l/djrin** «hj> ;

puis

fàz 8in*'CM«'=— ""'^"V j /d « cos j'.

Employant ensuite la seconde, en y faisant m — o, n = i, on

CA . , sinacosz 1 sinscosz , z
fûz C0S3' = 1 — jAz= h —

Enfin, remontant de ces valeurs à celle de l'intégrale proposée,
il viendra

fdz sina'cosï' = — isina'cosz' — p-^ sins coss"

On voit bien, par cet exemple, comment l'emploi répété des
formules (A) et (B) fait trouver fà z sin z" cos:" , lorsque

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 2fio

les exposants m et n sont entiers et positifs. La première con-
duit à /dssina coss", quand l'exposant m est impair; et
comme dzsinz = — d.cosz, l'intégration qui reste à Taire
s'effectue tout de suite (223).

Si l'exposant m est pair, on arrive à /dz cosz", et la for-
mule (B), en y faisant m = o, mène à JAz cosi = sinz,
quand n est impair, et à J\\z = z, quand le contraire a
lieu.

Si les exposants m et n étaient égaux, mais de signes con-
traires, les formules (A) et (B) ne pourraient plus servir, à
cause de l'évanouissement de leur dénominateur m+n. Pour
éviter cet inconvénient, il suffit de commencer par réduire
celui des deux exposants qui est négatif.

La formule (C), appliquée d'abord à yËl£9i£, conduit à

y ^'shi" ' ° U " / dsC0SÏ "' se,on 1 ue m est impair ou
pair. La formule (B), appliquée ensuite à ■ con-

duilà f~l^I~ ~ f ^i{i!z £ '~ l ' sinz "*~ contt -> sin est im-
pair, et à J^^> dans le cas contraire. Ce dernier résultat

n'étant pas compris dans les diffère miellés intégrées précédem-
ment, doit être mis à part.
Avec les formules (D) et (A), on passe de j"— 5 — fi, à
quand m est pair et n impair.

Enfin, si m et n sont tous deux négatifs et impairs, la
formule (C) conduit d'abord à

r dzcosz- Al s sin a-'
J sinz ~J cosz- '

intégrale que la formule (I)) ramène à

/ dzsin *-' _ C dz
cosz — J sinz cosz*

nouveau résultat qu'il faut aussi traiter en particulier.

Oigiiized ûy Google

ajo TRAITÉ É

228. Je vais en conséquence m'occuper, dans cet article, de
1'iniégration des trois différentielles

en commençant par la dernière.
Si l'on divise ses deux termes par coss 1 , elle devient

_d.tangs

et 11 en résulte

/"sîi

En posant î = et mettant pour sinas' sa valeur
asins'coss' ( Trig., 1 1), on obtient

j'^^ = fsinz'cos z' = ^' ian ^ Z ' + const -'
d'après ce qu'on vient de voir : donc

= I . tang -î + consl.

f-

J sinz

Changeant ensuite z en f—y, il vient
■l.tang-

_ r°r =

Jsin/

J COSZ

=— l.langi(if— s) + contt.,

ce qu'on peut transformer en I. COI- (i' — z) + consl., parce
que l.cot« = — 1. tang a (Trig., 9).

On voit donc que l'intégrale f&z s\nz" cos^" s'obtient toutes
les fois que les exposants m (An sont des nombres entiers, soii
positifs, soit négatifs; il n'en est pas de même quand ces expo-
sants sont fractionnaires. Il faut avoir recours aux séries, ex-
cepté dans un petit nombre de cas où l'intégration se présente
d'elle-même.

Digilizefl 0/ CoogI

DE CALCUL DIFFÉREXTIKL IÎT & CALCUL lYTËGItAL. 3JI

Ce qui précède m'a paru suffisant pour donner une idée des
diverses méthodes du Calcul intégral des fonctions explicites
d'une seule variable. On voil qu'après un petit nombre de dif-
férentielles qui s'intègrent exactement, on est réduii à simpli-
fier les autres de manière à les faire dépendre de quelques cas
particuliers (193 — 200, 207 — 212,224 — 227), dont on cal-
cule ensuite la valeur par approximation, ou pour lesquelles
on construit des tables comme celles des logarithmes ci des
sinus. Ces cas particuliers, tant qu'ils sont irréductibles, con-
stituent des transcendantes distinctes (*).

Méthode générais pour obtenir les valeurs approchées
des intégrales,

220. Le développement des intégrales en séries ne conduit
à une approximation que dans le cas où les séries qu'on ob-
tient sont convergentes, ce qui n'arrive p;is toujours; c'est
pourquoi les Analystes ont cherché les muvens de parvenir à
des valeurs approchées des intégrales, quelles que soient les
fonctions différentielles proposées. Le théorème de Taylor
mène d'une manière très-simple aux formules qu'Euler a con-
struites pour cet objet; mais avant d'y parvenir, je ferai con-
naître quelques dénominations relatives aux divers points de
vue sous lesquels on envisage les intégrales.

La nécessité d'ajouter une constante arbitraire à une inté-
grale, pour lui donner toute la généralité qu'elle comporte,
fait voir que ces fonctions sont doublement indéterminées,
puisqu'il ne suffît pas, pour assigner leurs valeurs, d'en attri-
buer une à la variable dont elles dépendent, mais qu'il faut
encore déterminer leur constante, qui est susceptible de toutes
les valeurs possibles. On détermine ordinairement celle con-
stante, en assujettissant l'intégrale à s'évanouir pour une valeur
donnée de x. On en a déjà vu plusieurs exemples (187, 202,
203), et cela revient en général à ce qui suit.

Si f-XAx = î{x)-*-C, ((x) désignant la fonction variable
déduite immédiatement du procédé de l'intégration, C la con-

( ■ ) IV" la ..olo D à 11 il., i. l'ouvrée.

Digiiizad by Google

THA*K ÉLÉMENTAIRE

stanle arbitraire, et que l'intégrale doive s'évanouir pour une
valeur x = a, on pose l'équation f («) -f-C = o, de laquelle

Sous cette l'orme, l'intégrale JXix n'esi plus que la diffé-
rence entre la valeur que prend f (x) lorsque :r=o, ei celle
qu'elle acquiert pour toute autre valeur de la même variable.
Pour x = b, par exemple, il vient

Il est à propos de remarquer que ce résultat s'obtient immé-
diatement, sans qu'il soit besoin de déterminer la constante,
et seulement en prenant la différence des résultats qui corres-
pondent aux valeurs x = a el x = b, lesquels sont f (a) +C

La valeur x = a, pour laquelle l'intégrale s'évanouit, en est
l'origine; et l'on dit alors que Yîntégrale doit commencer
lorsque x=a. La valeur à laquelle on s'arrête, répondant à
x = b, on dit en conséquence que Y intégrale est complète

Les deux valeurs x = a et x = b sont désignées en com-
mun sous le nom de limites de l'intégrale.

Toute intégrale qu'on énonce sans fixer son origine ou sans
indiquer ses limites, se nomme intégrale indéfinie, cl doit,
pour être complète, renfermer une constante, arbitraire.

Lorsqu'on assigne ces limites, l'intégrale est définie. Si elles
sont x =a et x— b, par exemple, on dil alors que l'intégrale
fXdx doit être prise depuis x — a jusqu'à x = b; et cela
s'effectue en calculant successivement ee que devient l'expres-
sion variable de l'intégrale lorsque x = a, puis lorsque x =b,
et en retranchant le premier résultat du second. Dans ce cas,
il est inutile d'écrire à la suite de l'intégrale la constante arbi-
traire, puisqu'elle disparaîtrait par la soustraction.

Pour indiquer l'intégrale définie prise entre les limites

a et b, Euler écrivait / Xdx .. ^~ ^ I, notation à laquelle

Fourier a substitué / \àx, ce qui esi plus simple; ci on

lire

C = — f{a) el /Xdar = f(*)— f(a).

/Xd*=r(*)-f(«).

el ([b)-hC.

Oigilized by Google

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET l»E CALCUL ISTÊOIHL 2-3

eonsétiuence lorsque /Xdar = f{«), il en résulte

Ç Xâx = t(b)— fin).

Il suit de là que, si a, fi, c sont trois valeurs île x, rangées
par ordre de grandeur, on aura

J fxd,=j['xd, +J fxd„

puisque

r M —f(«) =H») - r(«) +{(.)- r

c'est-à-dire qu'en prenant la somme des intégrales définies enr-
respondantes aux intervalles congru tifs b — a, c— 6, on forme,
celle qui répond à la somme c — a de ces intervalles. Il est im-
portant de se familiariser avec ces expressions, qui reviennent
souvent, et que les considérations que ji' vais exposer rendront
encore plus significatives.

2:t0. Le théorème de Taylor,

, Ay h A'r h' d'r !<'

ne peut déterminer la valeur de y, correspondante b + i,
lorsqu'on ne connaît que les coefficients différentiels do j;
même à partir du premier ordre; il faut encore avoir la valeur
primitive Lorsqu'elle est indéterminée, elle représente une
constante arbitraire; mais il n'en est pas ainsi de la différence
entre cette valeur et celle dey, puisque

dr h d'r h' A'r h'

Si donc on fait fXAx = y, on aura

3* • d*' dtf' dar- da»' e,C *'
les coefficients différentiels se déduiront tous de la fonction
donnée X, et il viendra

v h dX h> d'X /i>

6*«d. i. ,l8

Oigiiizad B/ Google

274 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Pour tirer de celle formule la valeur de f\tix, depuis x=a
jusqu'à x= b, il suffira de prendre k = b — a, elde remplacer
x par a, dans la fonction X et ses coefficients différentiels, que
je représenterai alors par A, A', A", etc.; on trouvera

jf 'Xd* = K !*=Si + .V !i=î£ + A- fc=-«ï + e,c.

Cette série est, en général, d'autant plus convergente, que
l'intervalle b— a est plus petit; mais lorsqu'il a une valeur trop
considérable, on le partage en un nombre de parties assez grand
pour former des intervalles suffisamment petits, et l'on calcule
à pan la valeur de l'intégrale relative à chacun de ces inter-
valles. Je suppose que la différence b — a soit divisée en n par-
lies égales à a, et que les quantités A, A', A', etc., se changent
respectivement en A,, A',, A", etc., A„ A',, A", etc., lorsqu'on
y met a -h a, a+n, etc., au lieu de a; on aura, entre a et

<H-a,

Aa , A'*' A"c J

entre a -h « eta + 21,

A, a , A', a' , A>-

n-r-aa et rH-3a

- + 1 î-5-f-etc,

et la somme de tomes ces séries, dont le nombre est n, com-
posera la valeur lotale de^* Xda-, qui sera par conséquent

j Î(À-+-A,+ À,-K..+A.-,)

) + r.ï" 3 1 A " + A ". *L, )

| + etc.

Diatizcd by Coi

DE CALCUL DIFFÉAHOTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 978

231. C'est en passant de la valeur de y correspondante à x,
ir la valeur de / correspondante à x -+- h, qu'on a construit la
formule précédente, qui représente la différence de ces deux
valeurs; mais on peut aussi obtenir cette différence en rétro-
gradant de :rà a; — A, au moyen de la formule

r = r _ * + ?I ]±- _ ËLT JL- + etc .,
r * ~ d*i d*M.a d**i.a.3^ w '

dans laquelle y, répond à x — h, et qui donne

dj*A_^<Pr A 1 d'r A'

7 r '~<û 7 dx'T^. dx* 1.2.3 e

Pour appliquer celle dernière à J' Xdx, il faut, dans X et

dans ses coefficients différentiels, changer x en b; et suppo-
sant qu'on en tire les quantités B, B', B", etc., on trouvera

f'xd*= B <'— )-»'('— r+W—ï-^.
,/„ i i-a 1,2.3

Lorsqu'on partage l'intervalle A — a en n parties égales à a,

on obtient par la formule ci-dessus, entre les limites a -+- s et n,

A.« A', «' , A*«>

séries pareillement en nombre n, ei dont la somme donne
( ï(A,+AH-AH-...+A.]

| -H ~^ { K + A*, -t- A", + . . . + a; )

OigiiizBfl b/ Google

t'jG mu™ Ki.KMGNTAine

332. Chacune île ces deux formules peut être appliquée en
particulier; mnis leur comparaison fait découvrir les limites de
l'approximation qu'elles donnent.

Pour établir cette comparaison, il faut d'abord observer que
dans une série de la forme

M«-+-N*'+P«M-etc.,

dont aucun des coefficients M, N, P, etc., ne devient infini, où
l'on peut supposer o aussi petit qu'on voudra, et rendre par
conséquent un terme quelconque supérieur à la somme de tous
ceux qui le suivent (02), l'erreur que l'on commet alors, en se
bornant à un nombre limité des premiers termes, est d'un signe
contraire à celui du premier des termes qu'on néglige, c'est-
à-dire que le résultat péchera par défaut si ce terme est posi-
tif, et par excès s'il est négatif.

11 résulte de là que, si les valeurs de la fonction X vont en
croissant de x = a à x = 6, et qu'on se borne dans chaque
formule aux termes multipliés par a seulement, ta première
formule sera en défaut, et la seconde en excès; car si la série

A, A„ A„ etc.,
est croissante, toutes les valeurs correspondantes
A', A',, A',, etc..

du coefficient différentiel ^ seront positives (62); ainsi les

termes affectés de a' seront positifs dans la première formule,
et négatifs dans la sernnde: on aura donc

jf\,l.r> ï (\ + A,+ A, + ...+ A._ 1 ]

et

<«(ÀH- A.+ A.+... + A.).

De plus, la différence a (A, — A) de ces deux quantités devien-
dra d'autant moindre, qu'on prendra a plus petit, ce qui s'effec-
tue en augmentant le nombre n. sans changer A et A„ qui ré-
pondent aux limites a et 6 assignées à x.
Il suit de là que chacune des deux sommes entre lesquelles

Oigiiized b/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 277

est comprise f\ix, approchera aussi près qu'on le voudra de
la vraie valeur de cette intégrale, qui, par cette raison, peul
être considérée comme une somme de différentielles, puisque
les produits An, A, a, etc., ne sont que les valeurs de Xdx cor-
respondantes à x = a, = a-ha, etc., et dans lesquelles « a
pris la place de Ax.

Celle conclusion, qui sera bientôt vérifiée par les considé-
rations géométriques (230), suppose, comme on voit, que les

Tondions X et ^ ne changent pas de signe, et ne deviennent

pas infinies entre les limites x = a, x — b, ce qu'on peut lou-
jours obtenir en séparant les parties de l'intégrale dans les-
quelles l'une do. ces circonstances aurait lieu [').

Il esl évident aussi que l'ordre des limites de /Xd.r serait
Inverse, si les valeurs de X allaient en décroissant; la première
ligne de la formule (1) serait en excès, celle de la formule (II)
en défaut.

233. Les mêmes remarques peuvent être étendues auv ter-
mes affectés dés puissances de a supérieures ii la première -. il
en résulte, comme cl-dessus, que quand deux lignes corres-
pondantes dans chaque formule ont des signes contraires, la

(■) Le. fc.rn.ule. précéder les sont .cuvent «rite dana la notation Indiquée
sir la page 571; avant posé /X ilx = f(x] , d'où il mit X=l^~'
J«i 1! .i Bpa rJ'( i ), il tiant

A = f't», A, = f'(« + «),.--, A.= f'(«i-— )=f( i ),

«(A.-i)=î^îf.r'<i)-r'eO]i

XtU = f (b) — f(«) est la limilodoiill'raproMi»»

« jf(.)H- !•(. + «)+...* f',--»-(—.;*]} .
sapprocho do plus on plus, à meauro que lo nombre n augmente et que a, qui

,., »„„,.

Si l'on 110 voulait qu élalilir iclte relation , on pourrait sulistiluer à la aério de
Tavlor l'iipNnion qui termine lu 11" (i.

Ïj8 TKAITK ÉLKMENTAtKB

somme de colles qui les précèdent est en excès dans l'une des
formules, et en défaut dans l'autre, et que, par conséquent, si
l'on ignore, comme cela arrive presque toujours, la quantité
de l'erreur, il sera convenable de prendre le milieu entre les
deux résultats. Si l'on opère immédiatement sur les deux for-
mules, il viendra

234. Ce qu'on a vu dans le n° 232 fournit, pour les valeurs
des intégrales, des limites moins resserrées, mais qui, néan-
moins, peuvent être très-utiles.

Si l'on désigne par M la plus grande valeur de X, par m la
plus petite, dans l'intervalle de x = a à x = h, qu'on substitue
m au lieu de A, A,, etc., dans la première des expressions des
limites de /Xdx, et M dans la seconde, on obtiendra

J X&X>n*m et <n=M,

>(M« el <(* — «) H,
puisque na = b — a (230).

On voit par là qu'il existe entremet M une valeur de fi telle,
que

£xàx = (b-a) H")-

(•) Cos formules sont élégantes et simples, mais commo elles ne sutii pat
toujours les plu ! commodes dans l'application, on on Iruuïer.i par ta suilo ;*0;!,
410) des transforma lions qui rempliront niiem ce Lui.

( ■' ) Lu voleur de i qui donne X — ji, clam intermédiaire entre a cl b, peut

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL 1IÏTÉGRAL 27,)

S'il s'agissait d'obtenir/XQdar, ei qu'on sùi intégrer Qdx,
comme entre les limites de x, on aurait

XQ&r>mQdx, XQda:< MQdx,

pour toutes les valeurs de X autres que m ou M, la môme su-
bordination existerait entre les intégrales, et il viendrait
fXQàx>m/Qûx, fXQdx<MfQ-lx,

où il n'j aurait plus qu'à mettre pour JQàx sa valeur entre
les limites x~ a et x = b.

235. La considération des courbes conduit aussi d'une ma-
nière très-simple aux principales conséquences établies dons
les articles précédents.

fXdx exprimant l'aire du segment d'une courbe dont l'or-
donnée est X ((i5), si BCZ [Jig. 4") représente celte courbe,
que l'origine des «lisrisses soit en A, et que X — PM, l'expres-
sion XAx sera aussi bien la différentielle des segments BMP,
DEMP, que du segment ACMP qui commence à l'origine; ainsi,
l'ordonnée qui borne le segment de ce côté sera absolument
indéterminée. L'ordonnée PM qui forme l'autre limite l'est pa-
reillement, tant qu'on n'assigne aucune valeur à l'abscisse AP;
mais lorsqu'on aura fixé les abscisses de la première et de la
dernière ordonnée, le segment sera tout à fait déterminé.

Si la partie variable de l'intégrale JXdx = f[x) 4- C s'éva-
nouit d'elle-même au point B, cette fonction exprime immé-
diatement les aires BCA, BED, BMP; alors si l'on veut faire
partir les segments de l'ordonnée AC, il faut retrancher de ces
aires l'espace BCA. Cet espace représente la constante, déter-
minée pour que la quantité f(x) -H C s'évanouisse au point A;
mais en considérant à la fois les deux limites d'un segment, il

amer par a -h 9(4 — a), 0 dtsicnanl nno quontlU comprlis ai
i l'on écrit t(x) au lieu daX, od nn

J%*f(*)=C»-,.)ft-'. T .*(*-« , ;[.

m qua l'un rcucoulru Quilqudui*.

TRAITÉ ÉLÉMEYTAinK

est inutile de s'occuper de tu constante; car, soit que l'on
compte les aires à partir du point B ou du point A, sur l'axe
des abscisses, le segment DEMI', par exemple, s'obtiendra éga-
lement par la différence des segments BMP, BED, ou par celle
des segments ACMP et A CED.

236. I, 'inspection de la ligure montre que l'aire du seg-
ment d'une courbe quelconque est toujours comprise entre la
somme d'une suite de rectangles inscrits PB, P' If, P" B*, etc.,
-et celle d'une suite de rectangles circonscrits P'S, P'S',
P"S", etc., les premiers construits sur la plus petite or-
donnée de chacun des trapèzes curvilignes PM', P'M",
P"M", etc., et les seconds, sur la plus grande; on prouve, de
plus, que ces deux suites peuvent approcher l'une de l'autre
aussi près qu'on voudra.

En effet, le rectangle MBQN est évidemment égal à la somme
des rectangles,

M KM' S, M'R'M'S', M'R"M"S",
qui forment la différence entre les polygones

PMRM' B' M" lï" P", PSM'S' M" S" M" P",
l'un inscrit et l'autre circonscrit au segment PMM'M*M°"P*';
mais ce rectangle HRQN a pour hauteur la différence MN,
entre les deux ordonnées extrêmes PM et P"M™, qui ne change
point, tant que l'intervalle PP™ demeure le même, tandis que
la base MR='PP' peut être rendue aussi petite qu'on voudra,
en multipliant les ordonnées intermédiaires : le rectangle peut
donc lui-môme doveniraussi petit qu'on voudra.

Il suit de là que le polygone inscrit et le polygone circon-
scrit peuvent approcher du segment aussi près qu'on le vou-
dra f).

rumonlc des leoroitMmanU uni variables. Il est a remarquer que le fond du
nlionnemcni, «fflplojii kitcbI dîna les litre» Èlomenlni™, tire son uni; me du
JV.iiir du ConutJa cl itei If/ilirrin'ilrt, li'Awlii ili-, |ir<Pi>. XXI..

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DK CALCUL INTÉGRAL. 28 1

Cela posé, si l'on prend

AP = a, PP'= P' P"= P" V= etc. = «,

on aura

PM = A, VW = k„ P"M"=A„ P-M-=A„ etc.,
la somme des rectangles inscrits sera

(r) Ai + A,» + A,s + ...+ A_,a,

celle des rectangles circonscrits

(a) A,«+A,*-f-A.*+...-l-A,a,

et ces deux sommes pourront donner l'aire du segment

PMM'M"M"P", avec autant d'approximation qu'on le voudra,

ce qui confirme la conclusion tirée, n° 232, du principe de la

convergence des séries.

On voit encore parla comment l'intégrale fXùx peut être
prise pour une somme d'éléments, puisque, représentant l'aire
d'un segment de courbe, elle est la limite de la somme des
rectangles

A», Ai a, ' A,«, etc.,
qui sont les accroissements des aires des polygones inscrit et
circonscrit au segment (note de la page 198).

les rectangles inscrits sont formés sur la première ordonnée de
chaque trapèze curviligne, et les rectangles circonscrits sur la
dernière; mais si elles passaient par un maximum, comme
dans la Jig. fa, il n'en serait ainsi que dans la partie CM", anté-
rieure à ce maximum, et le contraire aurait lieu dons la partie
postérieure M"Z : alors la série (i), d'abord moindre que
l'espace curviligne, deviendrait plus grande, et la série (2),
d'abord plus grande que cet espace, deviendrait plus petite.

237. On approchera davantage de la vraie valeur du segment
de la courbe proposée, en prenant, au lieu des rectangles in-
scrits et circonscrits, la somme des trapèzes terminés par les
cordes des arcs MM', M' M", M" M", etc.

Ces trapèzes ayant tous même hauteur, PP', et chaque or-
donnée, excepté la première et la dernière, étant commune à

38l

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

dons trapèzes, leur somme sera précisément égale à la série

qui tient le milieu entre les séries (i) et (2), et qui est la pre-
mière ligne de la formule (III) (233) (*).

Enfin, il est évident, par In Jig. 43, que l'aire curviligne
PMNQ est < que le rectangle QE cl > que le rectangle PF,
construits, l'un sur la plus grande, et l'autre sur la plus petite
des ordonnées comprises cuire les limites AP et AQ de ce seg-
ment, ce qui s'accorde avec le n°23!f.

238. L'emploi de Ta formule (III) du n° 233 peut présenter
quelques difficultés. Elle ne saurait servir lorsque la fonction X
devient inllnle; et aux environs des valeurs de a- qui amènent
cette circonstance, il ne suffit pas de diminuer l'intervalle a,
ou de resserrer les ordonnées, pour compenser l'effet de leur
rapide accroissement ; il faut encore avoir recours à des trans-
formations convenables.

Soit, par exemple, X = - ■■ ■■ — ; il est d'abord évident que
x

lorsque x approche de l'unité, un très-petit changement dans
la valeur de celle variable en produit un très-grand dans celle

de X. Si donc on demandait l'Intégrale / ■ > depuis x =0

jusqu'à x = 1 — i, S étant une petite quantité, il faudrait, vers
la dernière limite, multiplier beaucoup les valeurs intermé-
diaires données à x. De plus, la même intégrale ne peut se
calculer immédiatement jusqu'à x = t, car alors X devient in-
fini, sans que pourtant la valeur de fXAx le soit, puisque

Cette difficulté tient à ce que, dans l'intégration, le facteur

(•) On pourrait, aui polygones reetilnjnes , substituer an poljjjnnc furmù
d'arcs de courte* d'une nature plus simple que lu proposée , et s'en approchant
plus que ni' primai l'aire (les lignes il mi les ; ''es! il ceb ijilc reviennent au fulid
les formules (0 et (Il ). Veyet le Traité in-$°, lome 11, pujo i<io.

+ const.

Oigiiized by Coog

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. a83

(i — x}* passe du dénominateur au numérateur; et elle aura
V

lieu, en général, lorsque X sera de la forme - et qu'on

(«-*)•

aura Pour la lever, on fera a — x = zi, ce qui don-

nera

x — a — jf, Ax=—qzi-'&z et Xd*=— <]Vzi-r-Az,
quantité qui ne deviendra plus infinie quand x = a ou z = o,
si la fonction V reste finie dans celle circonstance. On calcu-
lera donc alors l'intégrale /V zi-p-'&z, depuis z = o jusqu'à
z = 5, 3 étant une quantité assez petite, et l'on aura ainsi la

/V Ax
correspondante à l'intervalle
(«-*]*

compris entre x = a et x=.a —
On peut encore obtenir l'intégrale Ç V<ia: . depuis x = a
J [a-x)<

jusqu'à x = a — 3, en faisant seulement x = a — z; parce
que la petitesse de la variable z, renfermée enire les limites
très-éiroiies o et 3, permet de simplifier beaucoup le coeffi-
cient différentiel. Si l'on avait, par exemple, f - x t ^' r -- . la
J V«'— **

diffère mie Ho à intégrer après Ja transformation indiquée serait

-{a- z)'Az = — (tf- 3g , + Az

\fâà>z — ï>a'z>+ 4 az'~- z 1 \fi . \j\ a 1 — Ùa's ■+■ 4 as' —
En réduisant la fraction

V '4«'-6 a 's-r-4«î I ~s J
en série ordonnée suivant les puissances de z, et en s'arrélant
au carré de celte variable, on aurait enfin

Ce résultat, qui s'évanouit lorsque z = o, donnera, parlasub-
stitulion de 3 à z, la valeur de l'intégrale cherchée, depuis

384 TRAITÉ ÉLÉMSltTAIRK

x = a jusqu'à x = a — 3. Le reste de celle intégrale pourra
se calculer par le moyen de la série du n°233.

239. L' intégrale ^ e ^ x ne pouvant s'obtenir par la ré-
duction de f 1 en série que pour le cas où x serait très-grand,
je vais montrer comment Euler en a calcule la valeur depuis
x = o jusqu'à x = i, au moyen de la formule du n"233.

On peut d'abord changer

en j** - x , dX ' — e **—f e

dont la partie c z x s'évanouit lorsque x — o, et devient e -1
quand * = i.

Il reste à trouver Je * Ax, pour laquelle

expressions qui s'évanouissent quand x = o, et d'où il résulte
que A, A', A", etc., sonl nuls (*).

(■) Ceci q besoin d'une einlicnlion. Un lormo quelconque des expressions

prcnldenloi, CUlU ri! | .r>-son té par kc " devlenl lic~' = lors-

qu'on fait - = c; or, à mesure que i diminue, r croit, cl de plu» en plusrapi-

leurs leltes, que nili épie i puis le aur passe auuni qu'on vomira, quel qu'il
mil; nlurs l'eiposanl — t-t- I ! pnstrra du lit-[;nlif Lin po.silif, il lui; moulera

«m» ttue; ainsi U's lurflirit'iii'i ■ILnYrpNiivI? d>' la ' liuii <■ ' ne a'c\ .munis.-

□igiiizad by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. a85

Si l'on met ensuite a, îa, 3a, etc., à la place Je a:, on ob-
tiendra les valeurs de A,, A', , etc., A„ A',, etc., et, depuis o
jusqu'à x — na, on aura

+ etc.

Lorsqu'on veut s'arrêter il la limite x = i, il faut faire a=-i
et il vient alors

En se bornant aux termes qui sont écrits, ei faisant n — ro, on

«ont pas tous, loraqua 1 = 0 : apri» avoir élo nul», ils croissent jusqu'à l'infini.
Coup cireonilaiico no nuit pas eopondanl à l'appli cation indiquco dans la laite,
para quo ]« prom ion termes do la formule ( III) nufhsïnl seuls pour donner
une approiimation do pins irn plus gronda (Ï30).

Digiiizea by Google

lS6 TRAITÉ ÉLKMENTA1RE

trouvera, suivant Euler, la valeur de Je 'dx, à un millio-
nième d'unité près, ei on l'aura avec une exactitude vingt fois
plus grande encore, si l'on prend n = 20.

240. Le théorème de Taylor donne aussi deux développe-
ments généraux de l'intégrale /Xd*. En désignant par C la
valeur de cette intégrale, quand x = o, ei représentant par
A, A', A", etc., ce que deviennent alors les quantités X, jj^.
d'X

Ax>' etc- ' onaura

/ X d x = C + A * -+■ A' -H A" -+- etc. ■

série dans laquelle C tient lieu de la constante arbitraire.

En partant de la valeur générale de /Xdj;, que je représen-
terai parj-, pour revenir à celle qui répond à x = o, et que C
désigne, il est évident qu'il faut faire A = — x, dans la série
de Taylor, ce qui donnera

_dyx A^y j£_ d'y x'

dx 1 + d.r' 1.2 dx' 1.2.3"*" :

remettant dans cette équation, au lieu de r, etc.,

' ax dx'
leurs valeurs, et prenant celle de /X dx, on aura

, „ , v * dX x' d'X x'
/Xd* = C-l-X I _3 î -— H-jy—j-elc:

la quantité C est encore ici la constante arbitraire.

L'intégration par parties conduit aussi à ce développement.
En effet, si l'on décompose la différentielle X d.r dans les deux
facteurs X et d;r, qu'on intègre le second, on aura
f\dx = \x— fxdX.

puis

/,d'X_ f<TX _i d'X ^ r d'X

' i*-J — dx' Zj'ix''

c=r-ï

Oigiiizea by Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL, 287

menant successivement pour fxdX, /^-Jr^r' e,c -> lcurs
valeurs, il en résultera

i>v j v x dX , d*X x 1

JXAx = X j h-r— r — —s — etc.,

J 1 Ax 1 .2 dx' 1.2.3

et pour que l'expression de l'intégrale soit complète, il faudra
ajouter une constante à ce développement, qui par là devien-
dra semblable au précédent. Celte série a été donnée pour la
première fois par Jean Ilernoulli, et elle porte son nom, comme
celle du n" 20 porte celui de Taylor.

241. Jusqu'à présent je n'ai considéré que le coefficient dif-
férentiel du premier ordre; mais si l'on ne connaissait que
celui du second ordre, il faudrait alors deux intégrations suc-
cessives pour remonter à la fonction primitive dont il tire son
origine.

Soit X le entérinent différentiel du second ordre de la fonc-
Woay; on aura ^j£=X, et en multipliant les deux membres
par d*, Il viendra ^ = X dx: or ^ est la différentielle de
prise en regardant il x comme constante ; on aura donc
JXAx. Si P représente la fonction primilivcdex, égale

à /X dx, et C la constante arbitraire, il viendra ^ = P -t- C;
multipliant ensuite les deux membres par dx, on trouvera

d r =Pd* + C Ax,
et, en intégrant, on obtiendra

r = /Pdx-t-Cx-r-C,
Celant une seconde constante arbitraire. Si l'on remet fXdx
au lieu de P, il en résultera

r — fAxfXdx + Cx + C,
expression où / dx f X d* indique deux intégrations succès
sives.

TRAITÉ Éi.ÉMESTMF.É

Je passe maintenant aux différentielles du troisième ordre.
SoitX le CDcfliriciit iliiréreiiiiel de la fonction ,r. relatif à coi
ordre. On aura

ÏT=X, d'où Î5=Xdx:
d*' dx'

mais 5^ = tl ff^' <lonc ^~i = / x<,c + Cf! 4 ui <lonne

En intégrant une seconde fois, il viendra

^=/d*/Xd* + G* + C,
d'où l'on conclura

et, par une troisième iiiiégratiort, on aura enfin

Dans celle expression, on peui d'abord changer - en C, puis-
que la constante C est arbitraire ; ensuite, il faut bien observer
que chaque signe f doit être repinlé comme applique à tous
ceux qui le suivent : c'est pourquoi, en faisant abstraction des
constantes arbitraires, on indique encore plus simplement les
intégrations successives par la notation que voici :

Lorsque X désigne le coefficient différentiel du second or-
dre, on a

d'r=x&x*,

et, en prenant l'intégrale de chaque membre, on trouve

dj =fXdx';
puis, en intégrant encore une fois, il vient
y = ffXdx>=f'Xdx>.

On a de même, quand X est le coefficient différentiel du troi-
sième ordre,

d'x=Xdx>,

Digilized by Coogl

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL 389

puis en intégrant,

d>y=fXAx>, Ay=/fXAx', r =ffJXàx'=fXdx>,
el ainsi de suite pour les ordres supérieurs.

242. On peut ramener ces expressions à des intégrales sim-
ples, au moyen de l'intégration par parties; car, en inetLaiu P
au Jieude /X.dw dans f'Xùx'=fdxJXAx, il vient
fûx/\àx=/Pdx = Px— fxdP = xfXdx-/Xxdx,
d'où

/•XAx' = x/Xàx — /Xxdx.
Passant ensuite à f'XAx>=/Ax f'Xdx', et mettant pour
f'Xdx' la valeur précédente, on obtient

/•X d x> =Jx d xJX d x — fd x/X x d xpteft' *
observant alors que

SxdxJXdx = ^fXdx—lfXx'Ax,
fÀxfXxdx = xfXxAx—fXx>dx,

on trouve

f'Xdx- = -{x'fXdx— zxfXxdx-hfXx'Ax),
et continuant ainsi on forme ce tableau :
fXdx=fXAx.

f'XAx'= -j- [xfXAx—fXxAx],

f'Xdx-= — [x'fXdx— zxfXxAx+fXx'Ax],

/•Xdx , =y^x>JX<ix--3x?fXxdx4-3xfXx'dx-- fXx-dx],

etc.

Les coefficients numériques île ces expressions sont les
mêmes que ceux des puissances du uinùmu 11 — fi; el tandis
que l'exposant de x hors du signe / diminue d'une unité à

îjjo TRAITÉ ÉLÉftnrrAIRB

chaque lerme, en allant vers la droite, son exposant sous ce
signe augmente de la même quantité.

On restituera les constantes arbitraires que J'ai omises dans
res formules, en écrivant/Xdjr-r-C pour fXàx, fXx<\x-hC
pour fXxûx, f\x'dx+C pour f\x'ix, el ainsi des au-
tres; car les constantes C, C, C", etc., étant affectées de di-
verses puissances de x, seront irréductibles entre elles.

243. Los différentielles que j'ai traitées jusqu'ici sont prises
en regardant àx comme constante, parce que ce sont les seules
qui ne renferment qu'un coefficient différentiel; mais lors-
qu'on fait varier en même temps ày el ix, on a (131)
d'j- = qAx'-^-ptï'x. Si donc on se proposait la difrérenïiellr
Ud^'-i-Vd**, il faudrait qu'on cùtV=p et = d'oà il
résulte L' = -^; et cette condition étant remplie, on n'aurait

plus qu'à intégrer fVilx.

Celte condition ne serait pas nécessaire, si l'on particulari-
sait la relation qu'on suppose entre x el t; car par son moyen
on chasserait x, Ax el a*x, el l'on aurait d'_r en ( et d( seuls.

Application du Calcul intégral à la quadrature des conrbes et à
laur rectification , â la quadrature des surfaces et à l'évaluation
des volumes qu'elles comprennent.

De. In quadrature des courbes.

244. La quadrature des courbes se réduit à l'intégration de
la différentielle Xdr, en nommant X la fonction de x, qui op-
prime leur ordonnée (05) : il ne s'agira done ici que d'appli-
quer à celles qui soin \r< [dus ciiniincs. les méthodes exjioséfs
précédemment pour effectuer cetlfi intégration.

Les courbes dont l'équation est la plus simple sont les pa-
raboles des divers ordres, dans lesquelles j-" = j).r m ; on en

tire y — p"x', et par conséquent

/XiIj~//j : i' dx = -^£ - .r~ -Proust.

OigiiizM b/Coogl

I)K CM.CliL DIFFKI1KNTIEI. ET DE CALCUL INTÉGRAL agi

Toutes ces courbes, comme on voit, sont c«mi6/e*; c'est-
à-dire qu'on a l'expression finie el algébrique de la surface du
segment compris entre leur arc, l'axe des abscisses et l'ordon-
née. Il est facile, par l'expression de ce segment, de calculer
celle de tout autre espace contenu entre une portion de la
courbe et des lignes droites formant, avec les abscisses et les
ordonnées, des polygones dont la Géométrie élémentaire donne
la mesure; on-en verra plus bas des exemples (252-255).

Les courbes proposées, passant par l'origine des abscisses,
puisqu'on a en même temps x = o et y = o, si l'on veut avoir
leur aire, à partir de ce point, il faut supprimer la constante

arbitraire, parce que l'expression J^^_ n x ° s'anéantit d'elle-
même quand on y fait x = a. Pour avoir ensuite l'aire BCMP
(Jig. 44)i comprise entre les ordonnées BC et PM, correspon-
dantes aux abscisses AB = a et AP = x, il suffira de retrancher

de -5^- x * .qui exprime l'aire ACMP, la quantité— ^£ — a -
égale à l'aire ACB, et l'on aura ainsi

BCm = j^--{x~ — <i~)-

Quand l'exposant n est pair, l'expression — x~ est sus-
ceptible du double signe ± ; et comme alors la même abscisse
AP appartient à deux branches ACM et Acm, on a deux seg-
ments, ACMP et AtwP : celui qui renferme les ordonnées po-
sitives a une valeur positive, et l'autre une valeur négative.

Lorsque les exposants m et n sont impairs l'un cl l'autre,

la quantité x~+ n'a qu'un seul signe el reste toujours positive,
quel que soii le signe de x; mais il est aisé de voir que dans
ce cas l'une des deux branches de la courbe proposée a ses ab-
scisses el ses ordonnées négatives en même temps : il suit
donc de là que les aires correspondantes à des abscisses et à des
ordonnées négatives doivent être regardées comme positives.

'9-

OigiiizM by Google

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Si n seule esl impaire, alors la quantité x " devient néga-
tive en même temps que x ■ mais dans ce cas les deux bran-
dies de la courbe proposée sont du même côté de la ligne des
abscisses, et les ordonnées demeurent toujours positives.

En rapprochant ces remarques, on en conclura que l'aire
d'une courbe esl positive quand l'abscisse el l'ordonnée sont de
même signe, et négative lorsque te contraire a lieu.

Tous les segments paraboliques ont un rapport constant avec
le rectangle ADMP, formé sur l'abscisse ci sur l'ordonnée ; car
l'expression

équivaut à xy, en venu de l'équation y= p* x"-

Lorsque n=m, la pnraholedevienlune ligne droite, puisqu'on

a )-= p"# ; le segment ACMP se change dans le triangle AMP,
dont la valeur esl, par la formule ci-dessus comme par la Géo-
métrie élémentaire, égale à ~ xr.

En faisant n = 2 et m = 1, on tombe sur le cas de la parabole
ordinaire, et l'on trouve |ay pour la valeur du segment ACMP.

245. Je vais chercher maintenant la valeur du segment des
courbes représentées par l'équation x m y = p, qui se lire de

y=px m , en y changeant -H m en — m; on a y— p-x • et

JXdx — n ^" m * ' -hconst.

Les courbes proposées sont les hyperboles des divers ordres,
rapportées à leurs asymptotes, el sont composées de plusieurs
branches, telles que UMV {Jig. ^5), inscrites dans les anules
que forment ces droites. En comptant les segments de l'ori-
gine <<cs abscisses, ils renferment l'espace infini en longueur,
compris entre ia partie CV de la courbe et son asymptote A Y,

OigilizMbyGoogl

DE CALCUL BIFPÉHBNTIBL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 303

et dont l'aire est infinie ou Unie, scion que m est plus grande
ou moindre que n. En effet, pour avoir l'espace BCMP, pris
depuis l'abscisse AB=a jusqu'à l'abscisse kP—b, il faut
faire (235) successivement x = a et x — b dans l'expression

n P" x~t et retrancher le premier résultat du second ; on
n — m

aura donc BCMP = .Si maintenant on sup-

pose a = o, le point B tombera sur le point X, et l'espace BCMP

se changera en YAPMVj or la quantité «■"sera infinie ou nulle,
selon qu'on aura m> ou <n: dans le premier cas,

et dans le second

™"-=5,(' ? -)=i' ? '

En laissant a d'une grandeur assignable, el faisant b infini,
on aura alors l'espace XBCU, qui sera infini si m est moindre

que n, el qui sera égal à J^^ n a ~' s > m surpasse n. 11 résulte
de là que quand m et n sont inégaux, des deux espaces asymp-
toliqucs, l'un est infini el l'autre fini.

La raison de celle différence se trouve dans le plus ou moins
de rapidité avec laquelle la courbe s'approche de son asymp-

lote; et puisque j-=£-et x=£-, il esl facile de voir que

quand m>n, y décroît beaucoup plus vite que x, que par
conséquent la courbe s'approche beaucoup plus rapidement
de l'axe des abscisses que de celui des ordonnées, et vice versû.

2i) 4 TRAITÉ ÉI.ÉMEVTAltlE

En mettant y au lieu de ' dans l' e sp rc5sion

elle deviendra ^^^r, et la valeur de l'aire VAPMV sera
comt. Il semblerait que le terme £^ doit s'éva-
nouir lorsqu'on faltx=o; mais ce qui précède prouve la né-
cessite de ne rien prononcer à cet égard, avant d'avoir substitué
pour y sa valeur en x.

246. Quand n = m, on a xy = p", OU xy =p, en changeant p
en p, ce qui est indifférent; la courbe dont il s'agit dans ce cas
est l'hyperbole ordinaire, et équilatère si l'angle des coordon-
nées est droit. L'expression générale de l'aire, trouvée au
n" précédent, se présente alors sous une forme infinie, quelle
que soit x, et la différentielle de cette expression, étant
a pour intégrale plx+comt. Les espaces asymplotiqucs sont
infinis l'un et l'autre, car 1* devient tel par la supposition de
:c = ocl par celle de x infini.

Soit UMV tjg. 46} une des branches de l'hyperbole équi-
latère dont le demi-axe transverse AC = a, et la puissance
SE X ÂB = AB 1 = i a ! [ Trig., .64) ; on aura p= a', et comp-
tant les airesà partir de l'ordonnée BC, correspondante au som-
met C, on obtiendra BCMP=£ o'I . AP — ^ «'I . AU 1 . ^
Si l'on prend AB pour l'unité, il viendra, à cause de
l,t = o, BCMP=1.ÀP. On aura de mémo BCM'P' — I. A.P,
BOrP"=l.AP", etc., d'oùil suitquesi les abscisses AP, AP',
AP", etc., sont en progression par quotient, les aires corres-
pondantes BCMP, BCM'P', 0Ol"P", etc., seront en progression
par différence.

2W. L'hjperbolcqueje viens déconsidérer étant équilatère.
n'a donné que des logarithmes népériens; mais en variant

»E CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 5f)S

l'angle dos asy m pi aies cl prenant toujours AB = i , on peut ob-
tenir une infinité d'ouires systèmes de logarithmes. Soil liMV
{Jig.fa) une hyperbole quelconque; en menant les ordonnées
l'M, parallèles à l'asymptote AY, on prouvera, par des raison-
nements analogues à ceux du n°65, que le parallélogramme
PMRI" est la différentielle deBCMP. Or, si l'on mène P'Q por-
pendiculaire sur l'M, on trouvera

P'Q = PP'.sinP'PQ=PP'.sinXA.Y;
désignant paru l'angle des asymptotes, on aura P'Q = d«sin«,
et par conséquent FMttP'= i j'U>sin«. Si l'on met pour j- sa
valeur-t il en résultera — sinw pour in différentielle de l'aire

BCMP; et par conséquent 1!CMP = 1j:=1,AP, en prenant sinu
pour module (28).

Celui des logarithmes ordinaires étant o,/(34 3 !)4 5 {30). °n a
sinu = o, 434 a 9if5, d'où il suit que les asymptotes de l'hyper-
bole dont les aires donnent les logarithmes ordinaires, font
entre elles un angle de oî,a86oi .

248. Considérée analyliquemenl, la quadrature de l'hyper-
bole ordinaire présente une singularité qui ne peut être passée
sous silence; c'est que les espaces asympluliqucs ykpmv
[fig. 46), ronespriiulants au\ abscisses négatives, ne sauraient
être compris dans la même formule que les espaces YAPMf
qui répondent aux abscisses positives. En effet, la fonction Ix
qui exprime ceux-ci .iîli:. non-seulement devient infinie quand
x = a, mais pusse à l'imaginaire quand .t devient négatif, parce
que l'équation u — \x, dérivant de n'admet point de

valeur négative pour x.

Cette difficulté, sur laquelle je ne saurais m'arréier ici, tient
au passage de l'ordonnée y par l'infini, qui parait rompre
quelquefois le lieu de la continuité entre les aires (*). Cha-
cune de ces aires s'exprime cependant ti cs-bien en particulier;
car si l'on prend, sur le côté négatif de l'axe des abscisses, des

(*) Voir 1k Trniiii ïn-i", (orne I, piga i3f; lumc H, page ilii; lem" lit,
lingo 6i3,

DigiiizM b/ Google

ayt» TtlAITÉ ÉLÉMENTAIRE

parties Aft = AB, Ap = AP, on aura

bcmp = BCMP = 1 . ~ = ] . £| ( 246) .

La même chose se conclut aussi du calcul, en observant que
si l'on change x en — x, la différentielle de l'aire, devenant

— &x _Ax

a encore pour intégrale \x-\-const.

249. En faisantAC=a, AP =*et PN — r W'S- 48), l'équa-
tion du cercle ANE sera y a = aax — x\ et le segment ANP
aura pour expression fdxijzax — x', qui se transforme

en — fAu{a'— u'f, lorsqu'on Mix = a — u. Or, la for-
mule (B) (105) donne

avec cette valeur et celle de u, on trouve

— ^(a—x) — z'-h^a'arc ^cos = ■>

résultat qui s'évanouit quand x=o.
Il est facile de reconnaître, dans la partie

'-{<!- *)vW=^,

l'aire du triangle PCN, de voir que

^n'arr ^eos = - ^ j, ou ^ AC.arcAN,

est celle du secteur ACN ; or ANP = ACM — PCN.

OigiiizM by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL ISTÉGRAL. ao?

Quand on j fait # = 30, l'expression de ANP devient - a' are
(cos=— t)— -a'n.ir désignant la demi-circonférence du cer-
cle doni le rayon est i ; et clic appartient alors au demi-cercle :
on aura donc pour le cercle entier aV = - « . a«ir, ainsi qu'on
le prouve dans les Eléments de Géométrie.

Le développement de fûxfoax — trouvé dans le n° 205,
donne des valeurs approchées de l'aire ANP.

Si l'équation du cercle était rapportée au centre, on obtien-
drait immédiatement par la formule [B] (195)

fàx-fa' — x' —~ x \la>— x'-f-^a'arc ^sin — ^J-

250. L'ordonnée de l'ellipse étant ^iax — le segment

elliptique AMP sera égalai -fdxtfnax — x\ et comme il est
nul en même temps que le segment circulaire ANP, on aura
ANP:AMP;:a:6; car il est facile do conclure du n° 236 que,
quand deux différentielles sont dans un rapport constant, ce
rapport est aussi celui des intégrales, si ces intégrales sont
nulles en même temps.

D'après ce qui précède, l'aire du cercle décrit sur le grand
axe d'une ellipse, pris pour diamètre, étant à l'aire de cette
courbe comme le grand axe est au petit, celle-ci est équiva-
lente au cercle décrit sur un rayon moyen proportionnel entre
les moitiés de ces axes. En effet, par le rapport ci-dessus, l'aire

<le l'ellipse estuo'X - ou xab, et cette dernière quantité re-
présente évidemment l'aire du cercle dont le rayon serait </ab.

251. L'hyperbole rapportée à son axe transverse a pour
équation J ? = ^(*ax + x>), et donne

Digilizefl 0/ Google

208 TRAITÉ ÉLÉU ESTAI II E

Celle intégrale peut s'oblenir par les logarithmes (183) ou se
développer en série; mais.au lieu de m'arrêlcr à calculer ces
résultats, je m'occuperai des secteurs elliptiques et des sec-
leurs hyperboliques, dont les expressions différentielles se
présentent souvent.

252. Soit ABa& une ellipse dont le demi grand axe AC = n,
le demi petit axe BC= b; en faisant CP = ,c il vient

11 est évident que le secteur

ACM = CMP + AMP,

et que

d.ACM = d.CMP + d.AMP,
CMP = ^ CP X PM = l — ^«^ÏS

d.AMP = — fa'—x'.

La dernière de ces différentielles est affectée du signe—, parce
que l'aire AMP décroît lorsque x augmente ; et elles donnent

,h f Ax
d.ACM=— i2^===.

Si l'on fait ^ = i , le secteur elliptique ACM se changera dans
le secteur ACN, appartenant au cercle AEœ décrit sur le grand
axe Ka comme diamètre ; on aura donc

d ACN = ■ a ' Ax _ ■ a x «il*

^yV — je 1 2 \ja' — x''

Mais ;^^L= étant la différentielle de l'arc AN, il en résulte,

ainsi que de la Géométrie élémentaire,

ACN = ^ a x AN = ^ AC X AN ;

DigilizKi By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. aOO

el puisque le. secteurs ACN el ACM on! leur origine eommune
bu point A, on en eonolurn (250) que le secteur elliptique

ACM = £aCN = jECxAN.

253. Dans l'hyperbole XAi. décrile sur les mêmes axes que
l'ellipse ABao, et dont l'équation est

le secteur ACR = CQR-AQR. ce qui donne
d.ACR = d.CQR — d.AQR;

et comme

CQR = iCQXQR = ^ <!•'— •>'■

d'oii l'on voit que la différentielle du secteur hjperbollque est,
aux signes près, la même que celle du secteur elliptique.

251. Le secteur hjperbollque ACM (.fa. ij) est égal à l'es-
pace asymptolique BCMP; car

ACM = BCMP + ABC-AMP, \

et » ■^''■èC

ABC _ ACxBCXsinB = AP X PM X sinB = A „ p

255. Ce qui précède suffit pour faire voir comment le calcul
intégral s'applique à la quadrature des courbes i cependant je
ne puis quitter ce sujet sans donner quelques-uns des résultats
intéressants auxquels les géomètres sont parvenus par rapport
aux courbes transcendantes.

Dans la logarithmique, dont l'équation est J = 1*. on a
/rd „/d*l*=*l*-* + con.l. (SOT), la partie variable

3(10 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

de celte expression devient nulle lorsque x = o; car en fai-
sant ,r = i-, elle prend la forme — ~ — ^1 sous laquelle

elle est nulle quand m est infinie (99) : il esl donc inutile,
d'après cela, d'y ajouter une constante lorsqu'on veut avoir les
segments à partir du point A [fig. 4g).

En y faisant x= AE— i, elle donne l'expression de l'espace
asymptotique cAE.r, qui esl fini el égal à — i.

Si l'on prend les ordonnées à la place des abscisses, on aura
fxày = JAx =x pour l'espace cOMjf, appuyé sur l'axe des
ordonnées AC, cl doni l'expression est algébrique; je n'y ai
point ajouté de constatite, parce qu'elle s'évanouit en même
temps que x. L'espace cAEa% qui répond à j7 = AE=i> a,
par celle formule, la même valeur que par la précédente, abs-
traction faite du signe.

J'ai supposé le module égal à l'unité; s'il élail désigrK' par M
on aurait

fAx\x = x\x — /Mdi = x\x — M*

01

fxdy=Wx.
256. En discutant la courbe dont l'équation est

on trouvera sans peine la forme indiquée dans la fig. 5a.
L'axe C(7 des y esl asymptote des branches UF, IV F', et AB',
côté négatif de l'axe des x, l'est de la branche M'K',

La quadrature de cette courbe dépend de l'intégrale

dont le développement en série, obtenu dans le n"214-, semble
ne pouvoir convenir à la partie de l'aire correspondante aux
abscisses négatives, à cause de son premier terme I x qui de-
vient imaginaire; cependant si l'un appliquait à cette recherche
le procédé du n" 233, on obtiendrait des résultats réels. Celte
difficulté, du même genre que celle qui a été indiquée dans le
n* 218, se lève en changeant le signe de x avant l'intcgraiion:

Oigilizad b/Godgle

DE CALCUL DIKHÎI\E\T1EL ET DE CALCUL IXTLCnAL 3oi

comme si l'on avait changé x en — x dans les seuls termes
nl^r'linijties du développement cité.

Pour savoir cg que sont les trois espaces nsymptoliques de la
courbe proposée, il faut chercher les valeurs que prend l'inté-
grale y "~— entre tes limites

x = o et x = n.

n désignant une quantité finie quelconque. Dans le premier et
dans le second cas, on trouve un résultat infini, puisqu'on
Taisant x= o, soit dans la série du n° 211, soit dans celle qui
vient d'être rapportée, elles se réduisent à [,o; mais on ne
saurait rien prononcer sur le troisième cas, parce que les termes

du développement de J'~~~ étant alternativement de signes

contraires, il se peut que la différence entre la partie positive
et la partie négative demeure finie, quoique chacune de ces
parties soit infinie; et c'est ce qui arrive en effet, comme l'a
prouve Mascheroni, en déterminant ta constante arbitraire de
manière que l'intégrale s'évanouisse lorsqu'on y suppose x in-
fini ; en sorte que l'espace asymptotlque B'P'M'K', compris
entre les limites x = — n et x = — infini, est d'une grandeur

nnie (■).

La transformée j"jr ( 9 1*)> obtenue en faisant o*= 3, pré-
sente les mûmes circonstances à couse du terme 11; qui com-

I ■ ) Korn le TralLé in-4=, taras III, p>& Sl3.

Ot/ÊOt By Google

3oa TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

nience son développement, et qui devient imaginaire quand \ z
est négatif]*).

257. L'équation de la cycloïdc étant ■

expression qu'il serait facile d'intégrer par les arcs de cercle,
au moyen de la formule du n° 199 ; mais on peut arriver à un
résultat plus simple en prenant la différentielle du segment
ACQM (fig. 5i), dont l'ordonnée QM — AC — PM = aa — y.
Posant, en conséquence, aa — j" = z, on aura
d.ACQM = zd.r,

el l'on obtiendra

7.Ar = j r - ,1 r ^„ r _ v . ;

i/iay—f

donc

ACQM = fijr ^ay—y' + canst. <

Or cette intégrale, exprimant l'aire* d'un segment du cercle
dont le diamètre est aa et l'abscisse y (249), représente le seg-
ment Imn, qui s'évanouit quand y = o, ainsi que le segment
ACHQ; donc ACMQ = Imn. Au point K, oit y=i.a, le seg-
ment ACK devient égal au demi-cercle ImKI. Enfin il esl vi-
sible que l'espace KMQ = ACK — ACQM = Km*.
Le rectangle AK, ayant pour hauteur IK et pour base

(*) La coiirhe qui rcpnnd à l'Équation transcendante / = oiïre uni!

circonstance rcmorqupble. No s'etendont point <Jn eftlc des i nefi-nti/a, puisque
leurs Harilhraca sont imaginaires (248), el pasianl par l'origine de» coordon-

jiiirt iiin i-i.Lirljiï :i]-r.|,[iqin^ . III];,:. Lis, cmn-l,,'- ilu B ,;\ru li><;:irillmiii|ut> [in-
tentent encore d'autre* singularités. Vojn le Trait,) in imne III, page GiS,
el un Hémoln de H, Tintent, AihuIcj de UaiMnaUjea, tome, XV etXVI.

DE CALCUL IHI FKHF.yriKL ET DU CALCUL INTEGRAL. 3o3

AI — 1 m K, sera quadruple du demi-cercle IntKl; retranchant
de ce rectangle l'espace ACK=ImKl, il restera AMKI = 3fois
ImKI. Il suit de là que l'espace AKLA, compris entre une
brandie de la cycloïde et son ave, est triple du cercle généra-

258. 11 me reste à parler des spirales; je vais m'occuper
d'abord de celles que représente l'équation n = af (117), dans
laquelle / est l'arc ON (Jig. 5i) d'un cercle dont le rayon AO= i
cl u = AM. Les coordonnées étant polaires, la différentielle de

l'aire sera (120). Mettant pour u sa valeur, et intégrant,
il viendra f'Jj^ - ^ 4- const. ; et quand n est positive, on doit
négliger U constante lorsque l'on compte les aires en partant
de la ligne AO, sur laquelle ( = o : alors l'aire ACM e=
Après une révolution du rayon vecteur, on aura l'espace

4/H-a

u étant la demi-circonférence du cercle ON.

Dans k spirale d'Archimède (111), a — ~s n = i et

ACM = jt^ji résultat qui, lorsqu'on y fait / = air, donne

ACMJ1 = ^> c'est-à-dire le tiers du cercle ON, puisqu'il s'agit

d'unités carrées, et que l'aire de ce cercle est jt (i)'.

Dans la seconde révolulion, le rayon vecteur AN repasse sur
l'aire tracée dans la première, et ainsi de suite à chaque révo-
lution, en sorte que ces aires s'ajoutent les unes aux autres,
ct<]Ue pour donner seulement celle qui est terminée par la

m"** révolution, l'intégrale doit être prise entre les

limites ( — (m»— -t] z* et ï = m.a*.

Pour la spirale d^Arctiiniédc on trouve ainsi ~ ~ - it.

3o4 TRAITÉ ÉLÉMEKTAinE

Si l'on calcule l'aire terminée par la révolution suivante,
c'est-à-dire la (m-f-i)""*, et qu'on en retranche celle qui la
précède, on aura pour l'espace compris entre deux révolutions,
ou spires,

( m -|_,)l_ am ! + ( m _,))

1 ! 3 - ^ — >-u = 2mTT,

ce qui revient à air quand m=i, et montre que l'espace com-
pris entre la m'*" et la (m -t- 1}™ spire est égal à m fois celui
qui est renfermé entre la première et la seconde, ainsi que l'a
trouvé Archimède.
Dans la spirale hyperbolique, où n = — i , on a

/^ = -ï7- 1 """"'"
et l'aire comprise entre les deux rayons vecteurs correspon-
dants à(=:Aetà/ = c sera

expression qui devient infinie quand / = o, à cause de l'espace
comprisentre l'axe KB{/ig.3it) et la branche infinie MK (p. i£o).
Dans la spirale logarithmique enfin, ( = lu (128),
du Çu'Al fudu u>

De la rectification, des courbes.

259. La différentielle de l'arc d'une courbe rapportée à des
coordonnées perpendiculaires entre elles est exprimée par
\U\ x'+ tly* (fii); en y substituant, au lied de dj", sa valeur
tirée de l'équation différentielle de la courbe proposée, elle
prendra la forme Xàx, cl son intégrale donnera la longueur
de l'arc d'une courbe. Demander la longueur de l'arc d'une
courbe, c'est demander sa rectification, parce que la solution
de ce problème, lorsqu'elle s'obtient exactement, met en état
d'assigner une ligne droite qui soit égale à l'arc dont il s'agit.

'200. Je prends pour premier exemple les paraboles des di-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3o5

vers degrés représentées par l'équation y=pxf, n étant un
nombre quelconque entier ou fractionnaire; il vient

dy = npx—' d x, ^d-r'-f- U_> J = Ûx ^1 -+- n'p' x"~' ;

l'arc parabolique sera donc exprimé par

Celle intégrale s'obtiendra sous une forme finie et algébrique
lorsque l'exposant an — 2 sera égal à l'unité ou s'y trouvera
contenu un nombre exact de fois (102).

Soit d'abord 2/1—1 = 1, U en résultera n = - et

JAx [i-i- n'p'x"-'}' — (< -+- 2 p'x^j V consl.;

la courbe proposée sera donnée par l'équation y = px' ou
y*= p'x i , et sera par conséquent la même que la parabole du
troisième degré qui est la développée de la parabole ordi-
naire (81). Si l'on compte les arcs à partir du point où x=a,
on aura

En faisant — g = i, i désignant un nombre entier, on
trouvera n = - ' jt~ ' . et l'équation = p* &>•*• fournira une

infinité de paraboles reclifiables ; à l'égard des autres, on ne
peut obtenir leurs arcs que par approximation.

Pour la parabole ordinaire, dans laquelle n=a, on a

y àx[i +$p'x'}' ; par la formule (B) du n" 195, on trouve
et comme

JVsf^ = i' ('■f*+>' 7 ^?î+»»'M»).

G" éd. I. an

Diqiiizefl 0/ Google

TBA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

il e» résultera

/d x [ i + 4/>'*' ) " = ; * { 1 +

-t- .^L 1 (apx-r- iji+4p'x*) +

Telle est la valeur d'un arc quelconque de ta parabole ordi-
naire; on peut y supprimer la constante, en faisant commen-
cer l'intégrale lorsque x =o.
L'arc des hyperboles données par l'équation/^/)*-", a

pourexpression/^-^'d^t^' + n'p')'", et ne peut s'obte-
nir que par approximation.

261. La différentielle de l'arc de cercle esl -j" ix
qu'on part de l'équation/' = a' -

on emploie l'équation j" = a <w — x'; s
ces formes, son intégrale ne peut s'obtenir que parapproxi-
motion, et j'en ai déjà donné plusieurs développements (2Q6).

262. Je passe à l'ellipse, et je prends pour équation de celte
courbe.^— —,{a' — x'}; la différentielle de son arc sera

dWa 1 — {a'^ gjg!. En faisant pourpius de simplicité le grand

a\]a'-

axea = i, ei le carré de l'excentricité a' — 6' = i— b' =e',
l'arc deviendra f ^ ^T?- -. Déjà, dans le n°206, j'ai rap-

J v , i—*'

porté une série qui donne la valeur approchée de cette inté-
grale, lorsque e est très-petit, et qui convient aux ellipses peu
aplaties.

En supposant x = i dans celte série, et mettant ~ à la place
de l'arc A, qui est alors de n, on obtient

Digitax! 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3oj

développement trètf-convergciil lorsque e est une pelile frac-
Xi on.

263. La différentielle de l'arc elliptique s'exprime d'une
manière très-simple, au moyen de l'arc qui lui correspond
dans le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. Soii
EN=,(Jfc.48)i on aura

CP = j = sin T , - dx — d T ,

et par conséquent

d.BM = d T \/i — e'sin f '.

264. L'équation de l'hyperbole étant

l'unité, se développer en série par un procédé analogue à celui
du n°206.

205. Il me reste à parler des courbes transcendantes. L'équa-
tion de la cycloïde étant

différentielle dont l'intégrale est

= -*- a \j7.a{t.a — y) + const.

Il est évident que <f*a(*a—y) est l'expression de la corde
mK [jig. 51) du cercle générateur; ef comme la partie variable
de l'intégrale s'évanouit au point K où y=2a, il s'ensuit

3ll8 TRAITÉ KLK1IEMAII1E

qu'elle exprime l'arc MK : on a donc

Quand j-= o, cet arc devient AK = alK, résultai qui s'accorde
avec ce qu'on a vu dans le n° 116, et d'où il suit que l'arc
total AKL est quadruple du diamètre du cercle géi)éralcur(').

266. Pour donner un exemple rie l'usage de la formule
vVdr-t-du 1 , qui exprime la différentielle de l'arc d'une
courbe rapportée aux coordonnées polaires ( 125), je prendrai
les spirales dont l'équation est u = al", et j'aurai à intégrer la
différentielle

it <fiFpï+t?<ir&- : '=aF~'àt (/' + «'}*■

Lorsque n = i, on a seulement itAt(VA-i)', différentielle
de la même forme que celle de l'arc de la parabole ordi-
naire (260), et d'où il suit que c'est à la rectification de cette
courbe que se rapporte celle de la spirale d'Arcbimède.

Dans la spirale logarithmique on a I ~ 1 u, ce qui donne

•J u-iif ■+■ du' — du v 1 » :
l'arc de celle courbe a donc pour expression « \fï+ cotul.,
ou seulement u \fz, en partant de l'origine des rayons vec-
teurs; et l'on voit que quoiqu'il se trouve, entre cette origine
et un point quelconque de la courbe, une inliniié de révolu-
tions, elles ne composent cependant qu'une longueur finie,
égale à la diagonale du carre fail sur le rayon vecteur.

De la cubature des corps terminés par des surfaces courbes, de
la quadrature de leurs aires, et de l'intégration des différen-
tielle'! partielles.

2fi7. Los sinï;u'f s fomlii's qui; les péf uni 1 très mit l'oiisiili'-

(') Si Ion rcpnwnla par < l'arc MK, par y' la lîjns K/i = a-r-c, et quo

Oigiiized ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTK6HU. 3cp
rées les premières, sont celles de révolution, parée que les
différentielles de leurs aires et des volumes qu'elles com-
prennent, onl une expression plus simple que leurs analogues
dans les surfaces courbes en général.

Soil u le volume du corps engendré par le segment AMP
f_/ïg. 53) d'une courbe quelconque AZ, tournant autour de l'axe
AB pris dans son plan ; il est évident que ce volume, terminé
par le plan circulaire décrit par l'ordonnée MP, est une fonc-
tion de l'abscisse AP = Si l'on prend une autre abscisse Al",
que l'on mène une seconde ordonnée M'P' et les droites MB
et SM', parallèles à PP', on verra que le volume « s'accroît de
celui que décrit le trapèze cni-vili^iie PMM'P', on tournant au-
tour de PP', et que ee dernier corps, compris entre les cy-
lindres engendres par les rectangles Ml" et M'P, diffère d'au-
tant moins de l'un et de l'autre, que les points M et M' sont
plus rapproches, en sorte que la limite des rapports de ces trois
corps est l'unité: on peut donc, lorsqu'il s'agit de limites,
prendre le cylindre décrit par MP', pour le corps engendré par
PMM'P'. Ce cylindre ayant pour base le cercle décrit par le
rayon PM = J-, son volume sera *)•' X PI", en nom niant n le
rapport de la circonférence au diamètre ; et l'on trouvera, par

le raisonnement du n° 05, que ^ = 7^, d'où « — nfj*dx.

Lors donc qu'on aura l'équation de la courbe AMZ, on substi-
tuera pour/ sa valeur enx, et l'intégration fera connaître le
volume d'un segment quelconque du corps engendré par cette
courbe.

268. Pour trouver la différentielle de l'aire du même corps,
il faut observer que l'accroissement de cette aire étant décrit
par l'arc MOM', qui s'approche sans cesse de la corde MM',
tend à se confondre avec l'aire du tronc de cône droit décrit par
cette corde; et en passant aux limites, on peut prendre l'une
pour l'autre (*). Mais l'aire du tronc de cône droit décrit par

( • ) On vbttA ait.wnt qu'il n'en «,1 pas ainsi de colles des cylindres iintril
ci ureoiiscrit, ençendivs par MK aISH'.

OigiiizM by Google

3io TBAITB ÉLÉMEÏTAIHE

MU', aura pour ex pression

i(airMP + anM'P')MM' = it(MP + M'P']MM';

et en la comparant à l'accroisse m cm (le l'abscisse PP', on ob-
tiendra

r, en passant aux limites, M'P' se confond avec MP ou y, et

l'aire décrite par l'are AM, est égal à

et par conséquent 2*y< l jAx*-*-ûy' est la différentielle de celle
aire.

On parvient sur-le-champ à celte expression, ainsi qu'à celle
du numéro précédeni, en regardant la courbe AMZ comme un
polygonei car alors l'élément du volume est le cylindre décrit
par le rectangle MP', celui de l'aire est le tronc de cône décrit
par le côté MM'.

269. J'insisterai peu sur les applications, qui n'ont par elles-
mêmes aucune difficulté. Si l'on prend l'équation à l'ellipse,

^=-(saj — je'), on trouvera que le volume d'un s>

du corps qu'elle engendre, en tournant autour de l'axe dé-
signé par aa, est exprimé par

~ j [i.ax—x>) dx = ~{ax'- Çj -hco^t. (267) ;
et l'intégrale étant prise depuis i = o jusqu'à x = ia, donne
--^ — pour le corps entier.

Quand a = b, ce corps devient une sphère, et son volume
est ~-, ainsi qu'on le trouve par la Géométrie élémentaire-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL BT DE CALCUL INTÉGRAL. 3t I

Si l'ellipse était rapportée à soi) centre, ou qu'on employât

intégrale qu'il faudrait prendre depuis x = — a jusqu'à x = a
pour obtenir le corps entier, cl qui donnerait alors le même
résultat que ci-dessus.

L'expression de l'aire serait

Lorsque a>6, celle intégrale se rapporte facilement à l'aire
du segment circulaire dont l'abscisse csl x et le rayon , t p *

Elle esl logarithmique quand n<ft, puisque le radical prend
alors la forme Vu'-!- [b'— a') x'. Enlïn, si l'on suppose a = b,
on a seulement

intégrale qui donne, en la prena ni depuis x = — a jusqu'à x=n,
4*()' pour faire totale de la sphère.

270. Je considère maintenant les surfaces courbes eu géné-
ral, en les rapportant à trois plans perpendiculaires entre eux,
au moyen des coordonnées Ai' = r, PM'=r, M'M = s [Jig. 5.{(.

Le segment APGMM'QHD, ayant sa base APM'Q sur le plan
des 27-, et terminé parles de ux plans PM'MG, QM'MH, res-
pectivement parallèles à ceux des yi et des xi, et par lu sur-
face courbe proposée, est nécessairement une fonction des
deux variables indépendantes x et y, il peut s'étendre succes-
sivement dans le sens de chacune, ou varier par rapport à
toutes deux simultanément. En effet, si Von suppose que,
y demeurant constant, x se change en AP-r-P/>, ce segment
s'accroîtra de la tranche PliMM'm'.mgp, et de h tranche
QIIMM' rinhq, si l'on fail varier y seul de Qq; enfin si x et y
deviennent simultanément AP+Pp, AQ +Qtf, le même sog-

const..

ment, ayant alors pour limites les plans /'N'Ntf. g N'N/i, diffé-

et par l'espèce de prisme tronqué M'm'N'n'/tMniN, qui n'est
autre que l'accroissement de la première tranche lorsqu'on y
fait varier 7 seul, ou celui de la seconde quand, dans celle
dernière, on fait varier x seul.

Si l'on représente par u la fonction de cet de y qui exprime
le volume du segment APGMM'QHI), il est évident que, dans
l'expression du changement total de cette fonction (M), les
termes où x a varié seul donneront l'expression de la première
tranche, ceux où y a varié seul, celle de la deuxième tranche,
et que les autres appartiendront au prisme tronqué M'Nj on

AxAy a dx'dy a dxiiy 1

divisant les deux membres de celte équation par hh, et passant
aux limites relatives à l'anéantissement de h et de h, celle du

second membre sera Or le prisme tronqué M'N lend

sans cesse vers le parallélipipède formé sur ta hase M'm'N'n'
et l'ordonnée M'M, et peut en approcher aussi près qu'on
voudra. Mais si, en prenant l'un pour l'autre, puisqu'il s'agit
de limites, on substitue W m'x M'h'x M'M, au prisme M'N,
qu'on fasse M' m' ou Pp = /i, MV ou Qq — k, le rapport -jjp

sc réduit à M'M = s; il résulte donc de là que ~^-=z, et
quepour obtenir le segment APGMM'QHD, il faut, par l'intégra-
tion, remonter du coefficient différentiel j^pp a 1° fonction u.

271. Quoique le coefficient différentiel - soit relatir à

deux variables, on peut néanmoins parvenir à la fonction dont
il dérive par It-'s 11 ni tl iodes Un '-es pour l'intégration des fonc-
tions d'une seule, parce que chacune de ces variables est re-
guidée comme constante à sou tour. En effet, à cause du

DigiiizKi by Google

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET 11B CALCUL I\TKGHAL. 3l3

.du .du
d'à ïTr dx

de chaque membre, en ne considérant comme variable que/
seul, il viendra S zA T' u ' ou ' otl tirera

Entégram de nouveau, mais par rapport à x seulement, on
trouvera rt= fdx fidy.

En ne considérant celle recherche que du eûtê purement
analytique, il est évident que la constante qu'il faudra ajouter
pour compléter la première intégrale peut renfermer x d'une
d'une manière quelconque; que celle qu'on mettra à la suite
de la seconde intégrale doit être considérée comme une fonc-
tion quelconque de y; et cela parce que toute fonction de x seul
doit disparaître comme une constante lorsqu'on ne différenlic
que par rapport à y, et qu'il en est de même de toute fonction
de y lorsqu'on ne différeutie que par rapport à x.

L'ordre des intégrations est indifférent (40) (*). En s'occu-
,àu

d'à (F

parit d'abord de la variable x, nu iuinm eu '— = -— > -,
' dxdy dx

et de là on aurait tiré successivement

Ce résultat et le précédent s'écrivent comme il suit ;

u=ffzAydx, u=ffzdxày,

en faisant passer les deux différentielles sous le dernier signe/,
ce qui est permis lorsqu'on observe que chaque signe n'est
relatif qu'à l'une des variables en particulier.

(*) M. Couchy a montré que ceci n'était pluj firnSnlenunl .rai, lanqn'Q
s'sjJÎMait d' in Ivraies définit»; nn ni IroitTSrn it« cu-mpln dan* la nota Kà 11

3 1 4 TBA1TÉ ÉLÉUHSiTAIRE

Pour éclaircir ci confirmer ce qui précède, soit z = — — s
il viendra

La première succession d'intégrales donne

résultat dans lequel X' représente une fonction arbitraire de x,
ajoutée pour compléter l'intégrale; en Intégrant de nouveau
par rapport à x et Taisant /X'd.c = X, on trouve

L'intégrale J"~-arc ^tang = s'obtient en série, en met-

ct comme il faut, après celte intégration, ajouter une fonction
arbitraire de y, en In désignant par Y, on aura enfin

J J tf' + j 1 x a5o" 4g*'

En opérant dans un ordre inverse, d'après la seconde suc-
cession d'intégrales on trouvera

-/£-(—

OigiiizKi by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3 1 5

Mais si l'on observe que

od aura, après la dernière intégration el l'addition d'une fonc-
tiOD arbitraire de x,

et comme on peut comprendre le terme ^1/dans la fonction
arbitraire Y, ce résultat, qui se changera par là en

sera le même que le précédent, ainsi qu'on peut s'en con-
vaincre en mettant pour arc ^tang = ^ son développement.

272. Lorsque l'on regarde f f nlxdy comme exprimant le
volume d'un corps, il faut avoir égard aux limites entre les-
quelles doit être prise chaque intégrale, et qui tiennent à la
nature des surfaces par lesquelles te corps proposé est terminé
latéralement.

Le cas le plus simple est celui où le corps est fermé par
quatre plans, parallèles deux à deux aux plans coordonnés
CAD, BAI). En supposant que les premiers répondent aux
abscisses x~a, x = a', et les seconds aux abscisses y = b,
y=b', on prendra l'intégrale fzàx depuis x = a jusqu'à x=a\
en y regardant d'ailleurs y comme constant ; et nommant V le
résultat obtenu, il restera à prendre l'intégrale /Pdjdepuis
r = ijusqu'àj- = 6'.

Lorsque le corps proposé est terminé latéralement par des
surfaces courbes, les valeurs extrêmes de l'une des variables
sont liées avec celles de l'autre, ainsi qu'on va le voir dans
l'exemple suivant, où il s'agit de trouver le volume d'une
sphère dont le centre est en A et dont le rayon est égal à r.
( On a x' ■+■ y>+ z> = r 1 , et par conséquent

ffzAxA r =ffAxày^r'-x'^y;

3l6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

puis, en supposant / constant el r' — y= = i'\ on trouva

Cela posé, l'intégrale JzAx, exprimant l'aire de la seciion
faite dans la sphère, parallèlement au plan des xz, et à la dis-
tance AQ =y, doit être prise enlre les limites de celte section,
qui sont d'une part le plan CAD, et de l'autre le cercle BFEC,
suivant lequel la sphère rencontre le plan BAC. A la première
limite, x= a; à la seconde, x = QF. Mais celle dernière est
liée avec AQ; car en (aisani a = o, on trouve x , +y*= r 1 pour
l'équation du cercle BFEC, d'où il suit que

et par conséquent, pour une valeur quelconque dej-, les va-
leurs extrêmes de x sont o et r".
Au moyen de ces valeurs, le résultat obtenu plus haut se

Celle dernière doil être prise depuis la plus petite valeur de y,
que je supposerai nulle, en fermant de ce côté le corps par le
plan BAD, jusqu'à la plus grande, qui , dans le cas actuel , est
AC = r: le volume du segment ABCD, qui est la huitième

partie de la sphère, sera donc et par conséquent le vo-
lume de la sphère entière sera ■

Il est à propos de remarquer qu'on peut obtenir immédiate-
ment le volume de tout l'hémisphère supérieur au plan BAC
en prenant la première iulcgrale depuis x= — ^r*— 3 'jusqu'à
x=~i- yV— j j ; car dans ce cas les valeurs extrêmes de .r se
terminent de pari el d'autre ;ï la circonférence du cercle BFEC,

Digiiized Dy Google

DE GU.CtL DlfltHEXTllil. ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3l7

(loin AC est le rayon, et l'on a la valeur complète de
Prônant ensuite l'intégrale

\fir{r-rt=\ (» r Ç).

dans toute l'étendue de la partie de l'axe des y comprise dans
le cercle BFEC, c'est-à-dire depuis l'extrémité de sou dia-
mètre, située derrière le plan BAD, ohy= — r, jusqu'à l'autre

extrémité C, où 7— -+- r, on trouve et en doublant on a,
comme ci-dessus, pour la sphère entière (').

273. En considérant les différentielles comme les accroisse-
ments infiniment petits des variables, on peut négliger In
différence du prisme tronqué M'N, au prisme complet ayant
pour hauteur M'M, et le regarder alors comme formé de petits
parallélipipèdes ayant pour base le rectangle M' m'NV, pour
hauteur ds, et étant par conséquent exprimes pard-rd/dz.
Pour obtenir la somme des parallélipipèdes contenus dans le
prisme entier, il faut intégrer cène expression par rapport à s

;i» det iiriabl» i, r, clJiiil o, b, ccllci ilo r\
;l'lBtég™le//dj , tIj-Vi-*"-y «primera la 10I1
dont le râjon = 1 : le «olumc de l'rllipsoîde sera donc abc-

3i8

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

seulement, ce qui donnera

/Axâydz = zAxAy, .

comme on l'a trouve ci-dessus.

On observera ensuite que la valeur complète Art AyfzAx
est l'expression de la somme des parallélipipèdes contenus
dans la tranche FHQyft/, comprise entre deux plans parallèles
au plan BAD des xz; mais fzdx étant l'aire de la section FHQ,
il s'ensuit que la tranche infiniment mince FHQçfl/ peut être
regardée comme égale à FHQ X Qq, c'est-à-dire à l'aire de la
courbe qui lui sert de base, multipliée par l'épaisseur Qq. On
voit enfin que f&y fzù x exprime la somme de toutes les
tranches semblables comprises dans le volume cherché.

Il est évident qu'on représente toutes ces opérations, en
considérant l'intégrale triple JjjAxAyAz dont chaque signe
se rapporte à l'une des variables x, y et z.

274. En général, s'il faut obtenir la portion du corps pro-
posé, terminée latéralement parle cylindre élevé perpendfcu-
loiromciHau plan BAC [fig. 55) sur la courbe donnée E'N'C,
on prendra l'intégrale fzAx, depuis^ = AP jusqu'à x=Ap,
afin que l'expression Ayfzdx devienne celle de la tranche
MM'N'Nim'm'm. Les lignes APetA/i, respectivement égales
à QM' et QN', seront données en fonction de AQ=/, par
l'équation delà courbe E'N'C dont elles sont les abscisses; en
les représentant par F [y] et/(/), on devra prendre fzdx,
depuis x = T[y) jusqu'à x=f{y), ce qui, comme l'on voit,
introduira de nouvelles fonctions de /que z ne renfermait pas,
et pourra augmenter ou diminuer la difficulté de la seconde
intégration. Pour obtenir ensuite, dans celle-ci, la valeur
totale de l'espace cherché, ou la somme des tranches dont on
a déjà l'expression générale, il faudra prendre fdy f z Ax, de-
puis y— AF jusqu'à/ = AH, valeurs qui répondent aux limites
K' cl G' de la courbe E'N'C, dans le sens Aesy.

Il pourrait arriver que le contour E'N'G', au lieu d'être une
courbe continue, fût l'assemblage de plusieurs portions de
courbes différentes; l'application des principes précédents à ce
cas est trop facile pour qu'il soit besoin de s'y arrêter.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3lO

275. On parvient à l'expression générale rie la diffère miellé
de l'aire d'une surface courbe, en imaginant cette surface par-
tagée en zones, telles que EGgv- (Jig. 54 }, par des plans paral-
lèles à l'un des plans coordonnés, ei en concevant que cha-
cune de ces zones soit découpée en portions quadrangulaires
MraNn, par des plans parallèles à un autre pian coordonné. A
l'inspection de la figure, on voit que l'aire DGMH, que je re-
présenterai pars, s'accrotidu quadrilatère curviligne GMmg,
quand .r augmente dePp, ei que ce quadrilatère s'accroît de
MmNn, quand y vient ensuite à augmenter de Qq. Un raison-
nement semblable à celui du n° 270 fera voir que la limite du

rapport de J?? m ^J L est égale au coefficient différentiel ^ \ ■
PnXQ? àxàr
Pour parvenir à celle limite, on observe d'abord que les
quatre plans

m'M et N'n, n'M et N'm,

parallèles deux à deux aux plans des xz et des yz, et qui dé-
terminent le quadrilatère courbe MmN/i, déterminent aussi,
sur le plan tangent au point M [Jig. 56), un parallélogramme
MXZY, sur lequel toutes les lignes tirées du point M seraient
tangentes aux diverses sections que feraient, dans le quadrila-
tère courbe, des plans menés par l'ordonnée M'M, et auraient
avec les arcs de ces seciions un rapport tendant sans cesse
vers l'unité (63) : on peut donc, dans la limite cberchéc, subs-
limer an quadrilatère courbe MwN«, le parallélogramme
MXZV, dont l'aire esta celle de sa projection M' m' N'n', comme
le rayon est au cosinus de l'angle compris entre le plan langent
et celui des aj-(").Or, la normale MG et l'ordonnée M'M étant
respectivement perpendiculaires à ces plans, l'angle qu'ils
comprennent sera égal à G MM', et aura par conséquent pour
cosinus,

MU j, +p - + q ^

( • ) rVn poor celle proposition lo p° Go du OmpUmcnt dei ttinents de
Géométrie, el pour» qui précède, le Trailù ic i*, lome II, pagu 198, noie.

3au

ce qui donne;

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

MXZV

U'm' N'<, ~=àxd r ifT^p+q' :

on a donc

où il faut observer que dy/dx ^î+p' + q' représente l'aire
de la zone FH/i/" (Jîg. 54).

276. Si l'on prend encore la sphère pour exemple, son
équation X* -Ht* -hz' — r 1 , donnera

posant ensuite r' ^ y—r", celle intégrale deviendra

qui, prise depuis x = o jusqu'à x = r 1 = vV — y, est égale à
-i ei ne laisse pour la seconde intégration que

•jr' — x'—y qu'avec le signe -1-, on n'a dû obtenir que la por-
tion d'aire supérieure au plan des xy, que, de plus, les limites
assignées à x n'embrassent qu'une moitié de la partie supé-
rieure de la zone perpendiculaire à l'axe des y, ei qu'ainsi la
zone entière serait exprimée par nnry, c'est-à-dire par la cir-
conférence d'un grand cercle, multipliée par la portion du
diamètre comprise entre les plans qui terminent celle zone,
résultat conforme à ce qu'on a vu dans la Géométrie élémen-
taire. Quant aux limites de r, il est évident qu'il faut prendre
— r ei -i- r, lorsqu'on veut obtenir l'aire totale de la sphère.

P= — ^> q = — ^i-hp' + q-- = j,

et

(sin=^(186),

DE CALCUL D1FFKRRNTIK1. ET DK CALCUL IVTÉC.ItAL. 331

-277. L'Application de l'Analyse " la Mécanique conduit sou-
vent à des intégrales triples de la forme / f fVAxûyAz, dans
lesquelles la fouclion V peut renfermer les trois variables
x,y, z, considérées comme indépendantes les unes des autres,
en sorte que chaque signe d'intégration ne tombe que sur une
d'elles en particulier (273). Il est aisé de voir que ces inté-
grales proviennent de la détermination d'une fonction u dé-
pendante de trois variables x, y, z, et dont on ne connaît

que le coefficient différentiel j^^^i donné par l'équation

AxAyAz = V ' Car ° n tire de Cn °P éram comme dans ie
n°271, i° en regardant X et y comme constants,

Jj = < =T <., <ï« /V d»+r,

AxAyAz AxAy AxAy J '

T* étant une fonction arbitraire de x et de y; a" en regardant
et a comme constants, ■

^d^d^dr/vd.-t-T-dr,
5|=/d r /vd«- f -r+s',

T' désignant la fonction arbitraire de x et dey, résultante de
ffAy, et S' une fonction arbitraire de x et de z; 3° enfin, en
regardant y et z comme constants,

ji! Ax = AxfAyf V dz -+- T' ci x + S' d x,
H ==/d*/dr/Vd3+T+S+R,
T et S représentant des fonctions arbitraires résultantes de
JTAx et de JSAx, et H étant une fonction arbitraire dej-et
de z : l'intégrale complète renferme donc trois fonctions arbi-
traires, savoir, une de x et de y, une de x et de z, et une
de y et de z. En réunissant les différentielles sous le dernier
.signe d'intégration, f AxfAyf VAz Ae\iemfff\ AxAyAz, et
a, sous cette dernière forme, la même signification que sous
la précédente.

DigilizM 0/ Google

Cei exemple suffit pour montrer comment on reviendra du
coefficient différentiel d'un ordre quelconque d'une fonction
de plusieurs variables à celte fonction elle-même. Les fonc-
tions arbitraires introduites ici n'ont rapport, comme dans le
n° 272, qu'au cas où les intégrales sont prises entre des limites
pour lesquelles les variables x, y cl z sont indépendantes les
unes des autres; mais le plus souvent l'intégrale relative à z
doil êire prise depuis z = F (x,y) jusqu'à3=/(r,7), F e\j
étant des fonctions données, l'intégrale relative à y, depuis
y= F, [x) jusqu'à y=f, (x), et enfin l'intégrale relative à x,
depuis x= a jusqu'à x= a.'.

Do l'intégration des différentielles totales contenant plusieurs

278. Les fonctions contenant plusieurs variables indépen-
dantes ont riens sortes de différentielles, savoir, des différen-
tielles partielles et des différentielles totales (40); on a déjà
vu dans les n M 27J, 277, comment on pouvait remonter d'une
différcntii'lle partielle exprimée par les variables indépen-
dantes, à la fonction primitive, et que ce problème est tou-
jours possible, puisqu'il se rapporte immédiatement à l'inté-
gra lion d'une différentielle à une seule variable. Il n'en est
plus de même quand on prend au hasard une expression de la
forme M djF + Ndf, pour la différentielle totale d'une fonction

de deux variables, parce que l'équation - ^y - ^ = d ^ ( frO ) '
établit, entre les quantités M et N, une relation sans laquelle
elles ne peuvent dériver d'une même fonction primitive.
En effet, si l'on pose

d« = Md*-HNd ? - l

il en résulte

— = M — =N — =— d '" _dK
d x ' iiy ' dydx i\y dxdy

cl par conséquent

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3l3

Il faudra donc que loutc expression Mdar + Ndj-, quand
elle sera la difr^reiiiLelLe totale d'une fonction des variables
x et y, rende identique l'équation ci-dessus; et alors, pour

remonter à son intégrale u, on aura M = N = ~, d'où

l'on déduira la valeur des différentielles partielles.

En prenant celle de la différentielle relative à x, par exem-
ple, il viendra ~dï=Md.r, et par conséquent a— /M d.r-1- Y.

On ajoute dans ce cas, comme dans celui du n° 271, une fonc-
tion arbitraire de y, puisque l'intégration n'a eu lieu que par
rapport à la variable se; mais ici cette fonction se détermine
parce que la valeur de u doit satisfaire encore à l'équation

dy

L'équation u — fVLàx ■+- V donne

dy~ dy
Représentant fMûx par v

d'où l'on tirera

dy dy

.ni,
lonc

telle est l'intégrale de la fonction proposée.

Ce résultat fait voir nue la fonction N — 4- ne doit renfermer
dy

que la seule variable^, sans quoi il ne serait pas vrai, comme
on l'a supposé, que Md* ctNdj fussent les différentiel les
partielles d'une même fonction ». Il suit de là que la fonc-

Oigilized by Google

J34 traité Elément ai » u

tion N — ~ ) ne contenant pas x, ne doil pas varier par rap-
port à celle quantité, et qu'ainsi

- ùxAy AyAx Ay Ax
il vient donc

d'f _dM e[ dN_dM = o

éxûy Ay Ax Ay

Celle condition, trouvée plus haut, est par conséquent la seule
nécessaire pour assurer l' intégra bili lé de la différentielle
Mdx+Ndj"; et quand elle n'esi pas remplie, l'expression
proposée, ne pouvant résulter de la différeniiation d'une fonc-
tion primitive à deux variables, ne saurait être une différen-
tielle exacte.

clanl écrite ainsi ,

/Mda
d'où

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAI. 3'/

Différentiani et faisant tout varier, on trouvera

-\- y

compara ni avec lu fonction proposée, on aura
dV = o, d'où V = coin t.,
et par conséquent

/ r ~^ = .'c(u,„g = ^)+^.. CL
Soit encore la fonction

en la comparant avec la formule Md#-l-Ndj-, on a

dN ._. ay + a^a?' + ^-' j

Ces valeurs étant réduites, deviennent

dM_ay g'+a.y' _ dN
dj — ** + x , v / *'-*-r'~ d *'
et par conséquent la fonction proposée peut s'intégrer immé-
diatement. On obtient d'abord

(•) Jo n

3a6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

mais l'intégration par parties donne

i r _ ,

et faisant = a, on trouve, en opérant comme dans le

n"198,

r_î£_ _ l , bz±>£EE2 ,

donc

r . ^g+g ..(-r+vWr),,.

280. Los différentielles contenant un nombre quelconque
de variables s'intègrent par une extension de la méthode pré-
cédente, qu'il suffira d'appliquer aux fonctions (le trois va-
riables. Soit

Md.r-t-Ndf--MMs

une différentielle de ce genre, M, iN, P désignant des fonctions
de y et z; en y sopposiinl al(!'rn;Mi. emenl d dj - , (l.r nuls,
c'est-à-dire en regardant tour à tour z, ycix comme constants,
on doit successivement obtenir trois différentielles exactes

DigilizKi Dy Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAL 3a7

entre deu\ variables, savoir,

Mdar-r-Ndr, Mdx + Pdi, Nd/-t-Pd;,
desquelles il résultera nécessairement

dM_dN uH_dP d_N __dP
d r ~d-r' dz — d*' da~dr l
Lorsque ces équations de condition sont vérifiées, la diffé-
rentielle proposée est exacte et peut s'intégrer en commençant
par opérer sur l'une quelconque des différentielles à deux va-
rinbles qu'on en a déduites. Si, par L*xeiiipic, on a fait à la pre-
mière, Hdii + Nd;-, l'application du procédé du n" 278, et
que le résultat soit représenté par v, on aura

f(mx+H&y-k-V&z)=v+Z,
Z étant une fonction de 2 seul, et provenant des termes de la
fonction primitive cherchée, qui ne contiennent pas x cl x-
Cela posé, si l'on différentic l'équation ci-dessus, en y faisant
tout varier, il viendra

La dernière de ces équalions donne

d« -r d«'

d'où

Z= y^p — ^ds+conj/.,

pourvu que P — ~ ne contienne ni x, ni jr ; on doil donc
avoir

dP d'f _ o dP d-f =o
di dxde ' d^- d_j-di '

ce qui revient à

d 1» ri M dP dN _

dx dz ~ 0 ' Ax dz ~°'
en intervertissant l'ordre des deux différemiations indiquées

THA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

sur v, el mettant pour ~ cl 4— leurs valeurs M
K d x ày

deux conditions que je viens de trouver, jointes à

valeurs M el N. Les

dM_dN
d^~d^

que suppose l'intégration de la différentielle Md# + Nd_j-,
étant les mêmes que celles qui se soni présentées au commen-
cement de l'article, font voir qife ces dernières sont suffisantes
pour constater l'intégrabiliié d'une fonction différentielle quel-
conque à trois variables; et lorsque ces conditions ne sont
pas satisfaites, la proposée ne peut dériver d'aucune fonction
primitive renfermant le même nombre de variables indépen-
dantes.

En général, il est visible qu'une différentielle exacte com-
prenant n variables, doit présenter — — différentielles

exactes à deux variables, ce qui fournil un pareil nombre d'é-
quations de condition; elde là on peut s'élever aux conditions
que doivent remplir les différentielles des otdres supérieurs :
mais elles s'offriront presque d'elles-mêmes, dans le Calculées
variations, qui entre dans le plan de cet ouvrage, c'esl pour-
quoi je ne m'y arrêterai pas ici (*).

281. Le procédé suivi pour obtenir, dans le n" 278, l'expres-
sion de ~> équivalente à d ^^ d ^ i conduit a une formule

très-utile, qui apprend à différeniier sous le signe /, par rap-
port à une autre variable que celle à laquelle il se rapporte.
En effet, l'équation

dard/

dM

revenant a

donne

{•) IV: d'ailleurs le Trailt iii-i", lomc 11, pJce 33?.

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTEOBAL. 3ay

et chacun des membres de celte dernière étant intégré par
rapport à x, il vient

d r J djr A r J d/ '

en remettant pour « sa valeur JtAAx (*).

De l'intégration des équations différentielles à denz variables.

De la séparation des variables dam les équations différen-
tielles du premier ordre.

282. Dans ce qui précède, j'ai supposé que les coefficients
différentiels de la fonction cherchée étaient exprimés immé-
diatement par le moyen de la variable indépendante; mais le
plus souvent on n'a qu'une équation différentielle qui renferme
aussi celle fonction. Pour le premier ordre, l'équation diffé-
rentielle, lorsqu'elle est du premier degré par rapport à dx et
à Ay, a nécessairement la forme M rl ar-H N d j- = o, cl elle
exprime, ainsi qu'on l'a fait voir n° 18, une relation entre la
variable *, la fonction y et son coefficient différenlicl ~-

par rapportât: car il Ml Bridant qna pour obtenir celte dMenntldli!, il faut
substituer J'+dr à dans Ll fonction J'MJj-, qui d crient «Ion

puisque le ligne f n'ott relajif qu'a la inrïiblo i : on aura donc

Ici Ici inlécralM sont supposée» indéfinies, les ùulra Hronl considérées dons
|l noie F., I 11 fin de l'outrage.

DigilizM 0/ Google

33o

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Le moyen qui s'est offerl le premier aux analystes, pour dé-
couvrir l'équation primitive dont relle-ri Lire son origine, -a été
de chercher à séparer les variables, c'est-à-dire à ramener
l'équation Md* + Hây = a il la forme Xdi + Ydj = o.
X étant une fonction de x seul, et Y une fonction de y seul.
Ko effet, lorsqu'on est parvenu à ce point, les termes X d x et
\Ay s'intègrent par les méthodes enseignées précédemment,
et l'on a /Xdx +/ Yày=C, C désignant une constante
arbitraire.

Pour donner un exemple des cas où l'équation différentielle
se présente Immédiatement sous la forme ci-dessus, soit
x"dx+ydy = a; on trouvera sur-le-champ

Si l'équation proposée était ydx— .rdj-=o, la séparation
serait facile à effectuer, car l'on voit qu'en divisant par xy, on

trouverait'-^ — ~ —o; prenant' séparément l'intégrale de

chaque terme de celle dernière, on aurait \x — l/=C, ou

1 j_ = C; ci puisque l'on peut regarder la constante arbitraire

comme un logarithme, on en conclurait I ï = le. En passant

aux nombres, il viendrait j_ — c, ou x=ey.

Après cei exemple, on reconnaît sans peine que la sépara-
lion des variables s'effectuera de la même manière dans les
équations Yd.r— Xd,r = o, XY'.da- — YX,dj-= o; car la pre-
mière donne

X Y

ci la seconde

xâ* y'dj- _

X7 Y, ~°'
En général, si, lorsqu'on prend h valeur de ^ dans l'équation

Oigiiizcd ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DU CALCUL INTÉGRAL 33 1

proposée, on trouve -p- = XV, il est facile d'en tirer

et par conséquent

/Xd*- ftf=l

283. Il y a encore un cas trcs-étcndu où l'on sépare facile-
ment les variables; c'est lorsque M cl N sont des fondions
homogène» de x et de/. On s'appuie pour cela sur ce que, si
dans une fond ion algébrique des quantités x, y, z, etc., où la
somme des exposants de chacune de ces lettres est la même
pour tous les termes, et égale à m, on substitue Px à y,
Qx li z, etc., te résultat sera divisible par x". En effet,
un terme quelconque du celte fonction étant de la forme

Xx-ytzi deviendra, par la substitution indiquée,

AP'Qf x**-t + T+*"; mais par l'hypothèse on a, dans lous les

termes, n -\-p + q -+- etc = m : donc *• si'ra fadeur com-
mun, il suit de là que si la fonction proposée riait égalée à
zéro, ou bien qu'elle fût uni' fraclinii avant pour numérateur et
pour dénominateur deux poKiiônius homogènes du même de-
gré, la quantité x disparaîtrait entièrement du résultat.

D'après ce qui précède, il suftil de faire y = xz, pour sépa-
rer les variables dans l'équation MiIkt + Nd/ = o. En effet, les
fonctions M et N prennent la forme Zx-,7. t x", Z et Z, ne ren-
fermant que la nouvelle variable z; divisant alors par x", et
mettant pour drsa valeur, 3Ûx+ xdz, il vient

J'appliquerai d'abord celle transformation à l'équation

Zdar + Z, [iàx +'jrdî|=o,

résultat qu'on peut changer en

Z.ds

Z + ïZ, ~'

et d'où l'<

xtix +ydy= nyix

Oigiiizsd by Google

33a ■ TRAITÉ ÉLÉMBNTAMB

qui devient

. (x — n.y)dx + r <iy = o,
en passant tous les termes dans un membre; j'aurai

Z=— w, Z, = , et te+f— £l£- , = C,
J x J ,—nz+z'

ou

L'intégrale^* - peut se simplifier en observant

que

zda _ i asdz — ndz i nd»
i — 2 i_ nï + a ' nî + ï''

car il vient alors

'*+;!(—' "+'■) + ;/, _" J /.|. ,.= c -

L'intégrale qui reste à obtenir dépendra des logarithmes si
i, des arcs de cercle si-<|i, et sera algébrique si - =
Je ne rapporterai que le résultat relatif a ce dernier cas :
/■-" d / +J ^ evienl alore

et l'on a par conséquent 1*4-1 (î — z) -+- = C, ou

I j* — ■,•) _(____ = fj ( en remettant pour z sa valeur^-

Le terme — — peut être changé en un logarithme, en ob-
servant que, par la définition des logarithmes népériens, une
quantité quelconque u est le logarithme du nombre e"; et
d'après celle remarque, on écrira l'équation précédente sous
la forme

Oigilizad ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 333

dont on déduit successivement

\.[x—y)ê^> = \c, el [x—y)^ = c.
Il est à propos de' faire attention à celte manière de passer des
logarithmes aux nombres, parce qu'on l'emploie souvent.
Soit encore à intégrer l'équation

xày — ydx^ûx s/x'+y.
En faisant y=xz, et divisant par x tous ses termes, réunis
dans un seul membre, on trouver»

Ax v /, + a *~ xAz — o,

On obtiendra ensuite, par l'intégration de chaque terme e
particulier,

et remettant pour a sa valeur ^ , il viendra

x =c, ou — r+ifx T +y , =c,

en multipliant les deux termes du premier membre par
y y'ar'+j 1 ; faisant disparaître le radical, on aura enfin

284. L'équation

peut facilement être rendue homogène. En substituanW-i-a à
la place de x, et n + p à celle de y, on a d.r = di, d/ = du,

(a + mi+np + m, + nu)Al

+ [b + p a + q$-hpl-l-q")Au = o;

on fait disparaître les termes constants, en posant les équations

33/( TRAITÉ ÊLBMEKTAIRE

a + mx + np = n, b + pa + q^—o, aa moyen desquelles on
détermine les quantités « et p, et il reste alors l'équation dif-
férentielle

(mi + nu} d/ + {pt + qu) d« = o,
homogène par rapport aux nouvelles variables « et /.

La transformation précédente est la même que celle dont on
se sert pour changer l'origine des coordonnées sur un plan
[Trig., raa) : elle ne donne aucun résultai quand mq — np = o,
eas dans lequel les valeurs de a et de p deviennent infinies;

mais alors on a q = -^, d'où

px + qy — £ (mx + nv),

et l'équation proposée se changeant en

aix-hbày+{mx+ny) (&x + £ ûy^j =o,

il suffit de faire mx-\~ny = i, pour y séparer les variables.

En substituant celte valeur, ainsi que r.elle de Ay, qui en
résulte, et dégageant dx, on trouve

\bm+pz)Az

<wm — bm* -t- {mit — pm)z
équation dont l'intégrale renfermera des logarithmes, excepté
lorsque mn—pm = o, d'où il résulte

■x{amn — om'j

La substitution de z, au lieu de mx + ny, a changé l'équa-
tion proposée on une autre où l'une des variables n'entre que
par sa différentielle; et il est facile de voir que, quelle que
soit l'équation sur laquelle on ait produit cet effet, on pourra
lui donner la forme Ax + Zdz = o, 2 étant une fonction de z
seul, et qu'on en tirera x -+- fZAz = G.

285. La séparation des variables s'opère d'une manière très-
simple sur l'équation d_r+ PyAx — Q d .r, dans laquelle I' et Q

désignent des fendions quelconques de x. En y substituant

OigilBBd ûy Google

DE CALCUL IKITLIÏKYl 1LI. EX DE CALCUL INTÉGIÏAL. 33Î

Xa et idX-t- Xda, au lieu de / et de d/, elle devient

»dX + Xda-t-PXad*=Qd*;
la quantité X étant considérée comme une fonction indéter-
minée de*, il est permis d'en disposer pour partager l'équa-
tion précédente en deux autres où les variables puissent se
séparer : or il est facile de voir que celle condition sera rem-
plie si l'on faitXda-l- PXîd:e=o, ce qui donne zdX = Qdx.
En divisant la première de ces équations par X, elle se réduit

à ds+P*dxfe=o; on en lire ~ + Vdx=o, I24- /Pd*=Ic,

et en passant aus nombres (283), •s = ce-' PJ *. Prenant ensuite
la valeur do dX dans la seconde équation, après y avoir sub-
stitué celle de z que l'on vient de trouver, on aura

éX=^e'™-Qdx, X = i._/V'''yd.r + C,

'!

cl par conséquent

puisqu'on peut changer en C le produit arbitraire Ce, ee qui
montre qu'on aurait pu faire ]c — o.

L'équation dj-+ P/d:r = Qd#, remarquable parce que la
variable y et sa différentielle ne s'y trouvent qu'au premier
(k'iaé, s'appelle, à cause de celle circonstance, équation linéaire
du premier ordre,, dénomination que j'ai cru devoir changer
dans celle inéquation du premier degr>':et du premier ordre ("),

280. Les premiers analystes qui se sont occupés du Calcul
intégral classaient les équations différentielles par le nombre
de leurs termes, Tlans celles qui n'en ont que deux, et dont la
forme est par conséquent piiSt^ds ^hu'î-'iIb, les variables se
séparent sur-le-champ, puisqu'on en lire pi'-Ala = a««-*d« ;

( ■] Lo mul liniaiyr (M i tu p m | . iv ; il M rrinlil :\ lu (ii-urai'lrif, el on l'appli-
quant aux équations, ou a eu en vue In ligna droits, dans l'oqnalion de laquelle
l'ordonnée cl i 'nhîrisif ne Ir.nni'iil qn'au [>romir;r Ji'f'ri' : «i lie saurait donc
regarder comme linéaira ia ôqniLione lalfca que dj--t- Prdi = Qdi, qui
ii|rarlioiiiu'nl le fins Miment à itisi <i'«rlii ! Iransttlldanlts.

Oigiiized û/ Google

336 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

mais il n'en est pas de même des équations à trois termes
comprises dans la formule

■ju's'dz -h pu»s*d«= au'zfdu.
On peut lui donner une forme plus simple en divisant tous
ses termes par fu'zl; elle deviendra

a'-/4 , + 1 af-i a*-/d « = - u~d u ;
7 7

supposant ensuite

d 7 , u dx
a*-/da= ; , «t-'d« = = ,

d'où

y (g— 'i-Ov' (if— ' + ■}?

et en faisant, pour abréger,

(*-/+!) P = fl t*— /-«-■) » = J

(i— ' t/î— » + 0ï

A—/ «— «

il en résultera l'équation dj+ ftyd* = ax"Ax.

287. Le cas le plus simple, après celui qui rentre dans l'équa-
tion du premier degré, est celui où n = a ; on tombe alors
sur l'équation dj--)-6/ , d.r = n.r-d:E, traitée pour la première
fois par Riccati, géomètre italien, dont elle a conservé le nom.

Les variables se séparent immédiatement dans celte équa-
tion quand m = o ; elle devient djr-+- bj*dx = aàx, et donne

Oigiiized by Google

I>E CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE LALCUL INTÉGRAL. 3Zj

Pour chercher à rendre la même équation homogène, on
fait j-= ; die se change en ■

A-s'-'d 2 -+- b:"dx — ax-A x,

ei prendra la Tonne demandée ai /- — 1 = ?.k = m, ce qui
donne // = — i , et suppose qu'on ait m = — t. ; il vient alors

Je ne m'arrêterai point à l'intégration de celle dernière équa-
tion , mais je passerai à une transformation plus générale, celle
qui résulte de y= Atf + x*z. On trouve dans celte hypothèse
dy=(p\x'~' + qxi-'z) Ax-t-xiàz,
y J dx = ( \>x'r-{-i,\xr+iz + x'iz') Ax,
et par conséquent

xidz -H [qxi- -i- ah Xxf+t-t- bx^z) zdx
+ {pkxf~ i ■+•&*?**] d# = ftr*'d:r.

Celte équation se réduira elle-même à Irois termes, si l'on a
les suivantes :

p — i = yp, pK -h bA' = o, q — t = p -\- q, q+*bk=a.
1-a première et la troisième s'accordent à donner p = — i : on
tire do la seconde et delà quatrième A = £> î = — 3 i valeurs
qui conduisent à y = ^ + — i

x-*&z-+-bx—ï>ûx=:ax m Ax on ds •+- 1>3'~ = nx-^'Ax.

Ce moyen réduira l'équation proposée à l'homogénéité si
m= — a. et il nionirc do plus qu'on pourra séparer les va-
riables si m = — 4- puisqu'on aura dans ce cas

Si dans l'équation d z -+- bz'^- = ax"*'Ax, on fait - = A>

338 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

il viendra

— d/-t- b ~=ay"x*+*ûx ou df-i- a/'x^'àx = b~:
posant ensuite x- + 'dx = -^-r i , on trouvera

x~"=x\ dx = — " +J dJ-',

d -* J+ ^TT3 )J ' A *' = m^h~3 x '
puis faisant, pour abréger.

m + 3

on tombera sur l'équation

ay-l- iy i d = <£ x" 1 d ^ ,
semblable à la proposée, et par conséquent susceptible des
mêmes transformations : la séparation des variables / et x'
sera donc possible, après la substitution de y , = -jpp-*~ x Ti*
S im'=-4.

Si cette condition n'avait pas lieu, on ferait encore, dans la
transformée en z' ,

ces expressions, pareilles aux précédentes, conduiraient né-
cessairement à l'équation

encore semblable à la proposée, et susceptible de la séparation
des variables, quand m"= — 4-

En poursuivant de celle manière, on parviendrait à une
équation séparable. si dans la suite des exposants

m' = -

•11+4 m „_ _ "''+ 4 m ~__ _ 4 1

Oigiiized by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTËGH&U 33g

il s'en trouvait un égal à — 4- En supposant successivement
que ce soit m, m', m*, m", etc., on obtient pour m les nom-
bres — y, — |) — — y, etc., compris dans la formule

(désignant un nombre entier positif quelconque. Cette for-
mule donne aussi la valeur m = o, remarquée dans le numéro
précédent ; la valeur m = — 2 répond a i infini (*).

Ces cas ne renferment pas encore tous ceux que l'on sait
déduire des transformations précédentes. Pour en trouver une
nouvelle série, il suffit de commencer par faire y= —, dans

{■> On arma directement ■ la forma gdnérale de m, en rapportant à oelle
quantité les valeurs de m', m", etc. ; car en mettant la râleur do m' dont relie
de m', puis le résultat dans la valeur de m", et ainsi de suite, on tromo

M de lit on conclut que

"''' + 4 _ [ 1 (i-'-.)-.T"4-4(--T--)
" m <'»+3" (^0- + .!. + -)+.
qui fait voirquela loi, ayant lieu pour an nombre quelconque i, aura Heu pour
le suivant l+i.

L'équation propoico étant IntégMble quand l'eiposanl do x dans le second
membre est nul, si l'on fait nt' 1 ' = o, an trouvera

m = - h '

Quand n.'''-' = - 4, on obtient

ji-t-4 _ 4I-+0
' ~* *(' + ■)-'

ce qui indique une transformés de plus que dans lo cm précédent, et revient à
poser m'' +| l = o.

3^ (1 TBAITÉ ÉLÉMENT Al III

la proposée, ce r]iii donnera

d/ + n>-"-r"d;r=6i

ei posant

(.clic noinrllr rqiulioii, chiul m'Iji bkil île » la proposée, es!
aussi susceptible des mêmes opérations : c'esi-à-dire i|u'en y
faisant

ei continuant comme on l'a indiqué pour les premiers cas, on
parviendrait à une transformée séparablc, si le nombre m' était
quelqu'un de ceux que comprend la formule — et
par conséquent, si l'on avait

m 41

ei donnani à i les valeurs r. 2, 3, etc., il vient la suite des
nombres

-i -!, --■ -*.<*■

3579

Il suit donc de tout ci: qui précède que l'équation de Riceali

eslséparable quand l'exposa ni m es) de la forme - . , rotn-

prenanl o et — a.

On pourrait multiplier davantage les exemples ; mais toutes
res équations particulières, d'une forme bizarre le plus sou-
vent, ne se reucunlr.uit jamais dans les applications, n'offrent
aucun intérêt, .le passerai donc à une autre méthode, duc à
Euler.

DiqiiizKi 0/ Google

ME CALCUL DIFFÉRENT! KL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3^1

Recherche du facteur propre à rendre intégrable uuc équation
différentielle du premier ordre.

288. Il faut se rappeler qu'une cquaiion différentielle n'est
I>as toujours le produit immédiat de la différentiation d'une
équation à deux variables, mais qu'elle résulte en général de
l'élimination d'une cousin i m; :irliiir;iin' imiii'i 1 l'équation primi-
tive, dont Mt: lire miii origine, et la ilifféi-pnlielln immédiate
de cette cquaiion (53).

L'élimination s'effectue sur-le-champ, lorsque l'équation
primitive est sous la forme u=e, u désignant une fonction
quelconque de^cet do v; car, en différent iant, on a du = o.
Si la fonction du n'a aucun facteur par lequel elle puisse être
divisée, elle conservera la forme <lc différriuiclle exacte à deux
variables, et pourra par conséquent s'intégrer par le procédé
du n" 278.

289. Lorsque l'équation primitive n'est pas sous la forme
u=c, ou que la différentielle du = o renferme des facteurs
qui disparaissent, l'équation du premier ordre qui en résulte
n'est plus immédiatement intégrable. Si l'on avait, par exem-
ple, u=y—cx=a, on trouverait du = Ay — edx=o, et
éliminant c, Il viendrait xAy — y&x = o, équation qui ne sa-
tisfait pas a la condition d'intégrabilité, puisqu'elle donne

„=-,, «-_., «...

Mais si l'on dégage la constante c, on aura^ = v, et en diffé-?
renliam. — n : sdiis celle forme

jj' a:' x' <lx'

on voit donc que l'intégrabilité do l'éq uatiun xAy — yAx = o
tient à la restitution du facteur qui a disparu dans l'élimi-
nation de la constante arbitraire.
En général, toute équation différentielle à deux variables,

3^a traité Ér.emuNTMRE

dons laquelle les différentielles ne passent pas le premier de-
gré, est susceptible de devenir une différentielle exacte, parle
moyen d'un facteur, si elle répond à Une équation primitive.
En effet, soient

l'équation différentielle proposée et son équation primitive ; to
dr

première doit donner pour la même valeur que

dd, du J

' d ;e à y J

différentielle immédiate de la seconde ; il faut donc qu'on ail

^» du Au

M 4x , dr dx
~Ji~~Jû' dou ~N~ M '
dr

et nommant s ces derniers quotients, on en conclura

On déterminerait ainsi le facteur s, si l'intégrale de l'équa-
tion proposée était connue, puisqu'il suffirait de résoudre cette'
Intégrale par rapporta la constante arbitraire, afin de lui don-
ner la forme u = c; et comme on verra bientôt que toutes les
équations différentielles à deux variables admettent nécessai-
rement une intégrale complète, au moins sous la forme d'une
série, il s'ensuit qu'il existe, au moins sous cette forme, un
facteur propre à rendre différentielle exacte l'une quelconque
de ces équations.

290. Quand l'intégrale n'est pas connue, on n'a pour déter-
miner le facteur s que la condition

d.Ma = d.Hs
<\y dx *

à laquelle doit satisfaire Msûx + N zdy=diit comme diffé-

DijjKzad ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL KT DU CALCUL INTÉGRAL. 343

remielle exacle ; ei en développant celle condition, on trouve
„ds dM „ ds dN

Ou

m » d2 », ds / dM dN\

l*ï M dj-~ N d^ + ld7— dïj 2 -°-

Si l'on pouvait, en général, lircr de l'équation (A) une va-
leur de z, l'intégration des équations différentielles quelcon-
ques du premier ordre s'effectuerait par le procédé du n° 278;
mais celle équation est presque toujours plus difficile à traiter
que la proposée, puisque la fonction z qu'elle renferme, dépen-
dant de deux variables, a deux eoeflicients différentiels, et
qu'elle est par conséquent de l'espèce de celles dont la forma-
lion a été indiquée n" 140. Je ne saurais, pour le moment, en-
treprendre sa résolution, qui, comme on le verra dans la suite,
ramène au point d'où l'on est parti; mais je vais montrer
encore quelques-dnes des propriétés du facteur z.

Il est à remarquer que lorsqu'on connaît une valeur de 2, on
en déduit une infinité d'autres, en observant que si l'on mul-
tiplie les deux membres de l'équalionzMda:H-JsNdj- = d«,
par une fonction quelconque de m. que je désignerai par ç {«),
les deux membres du résultai

ÏT (M}Md^-f-a ¥ («)Ndj'= T (B)d«,
seront aussi des différentielles exactes ; ainsi a étant un facteur
propre à rendre intégrable l'équation Mdx-H Nd r = o, le pro-
duit 2 T («) jouira.de la même propriété.

Il suit de là que si l'on parvenait à découvrir deux facteurs
distincts, propres à rendre inlégrable l'équation différentielle
proposée, on aurait sur-le-champ son intégrale ; car l'un de
ces facteurs étant pris poura, l'autre serait de la forme 3,(u),
et en posant 'J^=c. on en conclurait T («) = c, ce qui
revient à u = const.

291. Il y a des cas où le facteur s ne doit renfermer que
l'une des variables x ou 7, et alors H est aisé d'en obtenir
l'expression au moyen de l'équation [Al. Supposant en effet

344 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

dans celle équation, jj-p = o, elle deviendra

Ax \dy àx/ '

el l'on en tirera

dz i /dM dN\ _,

T = N V"â> "~ dV;
équation qui aura lieu si la quantité

se réduit à une fonction de x. En représentant celte fonction
par X, et en intégrant, on trouvera

U = J\Ax, ou z = eP->- (283).
Celte formule s'applique à l'équation

puisqu'il vient

m=p,_o, «...

el par conséquent * = et**: Multipliant ensuite l'équation
dy + Pjdj: — Qda: = o par ef™», on trouve

e S^d r + [ P r — Q ) e' M -d x = o ;
intégrant le lerme e pdl dj-, par rapport à y, on obtient
u=yef r -''-i-X, X étant une fonction de x, déterminée par
l 'équation

A.re !ti ' dX
de laquelle on tire

g=-,/"-0, X = -/e/«.Qd*,
et par conséquent

ou, comme dans len°285,

r = e -;W, ( y V rd,Q u _ 1: + c)i

Oigiiizod by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 345

Je ne m'arrêterai point au cas où le facteur z ne devrait ren-
fermer que la variable/; on voit aisément que son expression
serait alors z=e*' ,i i, en faisant

et que ce cas n'aurait lieu qu'autant que Y serait indépendant
de x.

292. Il existe, entre une fonction homogène et ses coeffi-
cients différentiels, des relations particulières qui facilitent
beaucoup l'intégration.

Si Vdésigne une fonction homogène de x,y, etc., et qu'on
y substitue tx, ty, etc., au lieu dei.j-, etc., elle prendra
nécessairement la forme ("V, m étant la somme des exposants
des variables dans chaque terme (283). Supposant ensuite que
t= Î-Hg, on aura (i+gr)"V au lieu de V; dans la même hy-
pothèse x, y, etc. se changeront respectivement en

*+gx> y+gy, etc.,

et mettant gx pour h, grpour k, dans la formule du n° 41, on
parviendra à cette équation

t /d'V d'V d'V v

En développant le second membre, et comparant ensemble les
termes affectés de la même puissance de l'indéterminée g, on
aura

293. Au moyen de ces relations, le facteur s se détermine

346 TltAtTÉ ÉLÉMENT! I HE

assez facilement dans les équations différentielles homogènes.
Voici comment M. Poisson y est parvenu, par un procédé
plus exact que celui dont Etilcr avait fait d'abord usage.

Si Mda: + Ndj- = o est une équation humu^i-ite, et nue lu
somme des exposants de x et de y dans M et dans N soit égale
à m, en supposant que z soit aussi une fonction homogène du
degré n, et faisant Mzdx + Nzày = du, il résulte des théo-
rèmes du numéro précédent que

d_(M£

dJHj

•■r=i»

mais il faut, pour que la différentielle proposée soit exacte,
que

d (Ma) _d(Nz)
d r — d*''

équation qui fournil le mojen de chasser d ^ ! de la précé-
dente, qu'elle change en

Cela posé, il est visible que

d(M«) = d(M 3 ) d(Ny) = d(N»)

di d# ' d:r da: ■ '

l'équation trouvée plus haut peut donc s'écrire ainsi :

d(M«?) d(Hy) _

= (m+« + i)Mi
or, l'exposant n étant indéterminé, si l'on fait

d(Mw) , d(Nij

il est d'ailleurs évident qu'on peut faire c= i , ainsi ^

DigitizEMi ûy Google

DE CALCUL UIFfr-KIlBNTIEl. KT DE CALCUL INTÉGRAL. 34j

sera un des facteurs propres à rendre intégrable l'équation
Md* + Ndr = o(*j.

Des équations du premier ordre , dans lesquelles les différentielles
passent le premier degré.

29i. Par la génération des équations différentielles, dont j'ai
donné plusieurs exemples, n" 53, on voit qu'il peut s'en pré-
senter dans lesquelles les différentielles passent le premier
degré. La formule générale de ces équations est
fl>"-l-Pd i )""- , d.r-f-Qd.r— 'di' . . . -f-Td/d**-' -|-Uda7"=o;
si on la divise par la plus haute puissance de Ax, clic deviendra

en la résolvant par rapport au coefficient différentiel et
désignant par p,p',p", etc., ses racines, on aura

résultats qui pourront tous se traiter par les méthodes précé-
dentes, puisque les différentielles ne s'y trouvent qu'au pre-
mier degré. L'intégrale de chacun d'eux sera aussi l'intégrale
de l'équation proposée, qui sera encore satisfaite par les va-
leurs tirées de l'équation formée du produit de toutes ces inté-
grales.

En effet, la proposée étant équivalente à

(K-f) (jï-f) Ou-'')- ■•'■=•■

sera vérifiée par toutes les équations qui annuleront un de ces

(") On a suppoté ici que le facMur i suit «ne fonction honiDK,ène, maia an
ju.lîlie «lté brpothèie, en montrant que )■ diffère nliello M ^^ - ^ r wl
eiaclo loules les fois que V et N sont des fonctions honio|[feiBt. ( Voj-ei le Traili'
in-4 D , tome II. pnfjo iM-) On trouve, à 11 piee mirante du même volume, In
iklcrmimtiati n } >eiieuort du Codeur 3, d'après la 11,1 an lion dot variables .

348 TRAITÉ ÉLÉUKNTA1HB

facteurs. De plus, si l'on considère qu'une équation primitive
de la forme

MNP . . . = o,

n'a lieu que par l'anéantissement successif <le chacun de ses
facteurs, on en conclura que la différentielle immédiate de son
premier membre, savoir,

dM.NP...+dN.MP... + etc. = o,

se réduit toujours à un seul terme ; car si l'on prend, par exem-
ple, M = o, il ne restera que dM . NP ■ - = o, ou seulement
dM = o; l'équation MNP...=o vérifiera donc l'équation
différentielle à laquelle satisferait l'équation M = o.

Les deux exemples suivants, quoique très-simples, éclaire-
ront toutes les difficultés que pourrait renfermer l'énoncé ci-
dessus.

295. i". Soit dy—a'ûx , = o; cette équationse décompose
en dy-i-aàx — a, d/ — adx = o, dont les intégrales sont
y ■+■ ax = c, 7— ax — c J ; ei il est facile de voir que chacun
de ces résultats satisfait à la proposée. L'équation

(r +ax-a) ( r -ax-c') = .
y satisfait aussi ; car elle donne

{y+ax—c) [éy—adx) + [y—ax—c') (d>-Hxd*)— »•
d'où

■■„_ [(r+ a *— c) — (r— "j— '■')]" "X
v- v _(*+yj

et mettant successivement, au lieu de 7, ses valeurs c — ax,
c' -hax, on trouve

lly = — ad x, Ay = -\-ndx.

L'intégrale [y-\-ax— c) (7 — ax — c')=o, renfermant deux
constantes arbitraires et irréductibles, paraîtrait plus générale
que celle des autres équations du premier ordre qui ne com-
portent qu'une constante ; niais il faut bien Taire attention que
chacun de ses facteurs doit être considéré isolément, cl qu'on
n'en tire pas d'autres lignes que celles qui résulteraient d'une

Diqilizefl 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 349

intégrale renfermant um; seule constante, dont relie équation
est éiussl susceptible. Celte dernii'-ie imégride s'obtient en fai-
sant dy= nid x dans l'équation différentielle dy* — a 1 d = t>,
qui se change en m' — a' — a, ce qui détermine la quantité m,
dont il faudrait ensuite substituer la valeur dans l'Intégrale
de Ay= mdx, qui est y=mx-{-c. Il suit de là que l'inté-
grale de la proposée est le résultat de l'élimination de m, entre
les équations

desquelles un lire

m = - et /- | — a? = 0.

X \ X )

La dernière étant du second degré, donne, pour chaque valeur
particulière de la constante c, deux lignes droites, inclinées
dans des sens différents, par rapport à l'axe des x-, c'est aussi
louiceque fournit l'autre Intégrale,

( r + o»- C ]( r -«-o-) = o,
e*ceplé que chaque facteur ne représente que les lignes incli-
nées dans le nii'me sens; mais comme en donnant séparément
à r: et à (/ toutes les valeurs possibles, rps quantités passeront
nécessairement par les mêmes degrés de grandeur, si l'on
assemble les droites correspondantes aux mêmes valeurs des
constantes c etc', on retombera sur les solutions comprises

dans l'intégrale ^— — -j —a* = o, qui ne contient que la

seule constante r.

Il est bon d'observer que toute équation ne renfermant que
dy, dx et des quantités constantes, peut être intégrée en y
faisant, comme ci-dessus, dy z=mdx.

2°. Soit encore l'équation dy 1 — axdx' = o; on en tire
dy+dx ijax =o, <ly—dx \fâx = o, et en intégrant, on

r + j" x\—c = o, y— ja' x' — <f=o.

Ces équations, ainsi que leur produit, pourront être considé-
rées séparément comme des intégrales de la proposée; mais

35o Tfl.UTÉ ÉLÉMENTAIRE

ce cas diffère du précédent, en ce que les radicaux que con-
tiennent les deux intégrales obtenues forment entre elles un
lien qui permet de les comprendre toutes deux dans une
même équation, avec une seule constante; car, si l'on fait dis-
paraître le radical dans l'équation

on obtient c)' =^ax'. Ce résultat est encore l'intégrale

de l'équation proposée, à laquelle il conduira immédiatement
par l'élimination de c. Il appartient à une espèce de paraboles
dont chacune des équations irrationnelles ne présente qu'une
branche; et le produit de ces équations ne répondrait qu'à des
groupes de branches appartenantes à des courbes différentes,
mais qui, étant rassemblées deux à deux pour les mêmes va-
leurs des constantes, ne donneraient rien de plus que l'inté-
grale rationnelle.

296. Ce qui précède faisant dépendre l'intégration des équa-
tions où les différentielles passent le premier degré, de la ré-
solution des équations algébriques , pour laquelle on est bien-
tôt arrêté, voici quelques procédés qui, dans certains cas,
peuvent éluder, au moins en partie, les difficultés que pré-
sente la résolution de l'équation différentielle proposée, par

, d r
rapport a ^-

Quand cette équation ne contient avec j^- que l'une des deux
variables, x par exemple, et qu'il est plus facile de la résoudre
par rapport à x que par rapport au coefficient g=^> que je re-
présenterai , pour abréger, par p, on en lire d'abord x = p,
P désignant une fonction quelconque dep; et comme l'équa-
tion donne dy — p ix, d'où y=px— fxdp+C, si
l'on met pour x sa valeur P, il viendra

j = P/>— ,/Pdu + C.

Oigitized b/ Google

DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DB CALCUL INTÉGRAL 35l

Alors l'élimination de p, entre les deux équations
x = P, y=Pp — f\>Ap-><-C,

conduisant à une équation primitive entre x, y et la constante
arbitraire C, donnera l'intégrale demandée.
Soit, par exemple,

xAx -+- aûy = b ^dx'-\- dj J , ou x + ap = b v 1 f -t- p',

en écrivant p au lieu de cette dernière équation donne
immédiatement

x= — ap -h 0 t/T+p, P = — ap + b V 1 ' + p',
et par conséquent

y — bp <J7+p — i ap'—bfd p v'i +p' ■+- C.

297. Quand les deux variables entrent en môme temps dans
l'équation proposée, mais que l'une d'elles, y par exemple,
n'y monte qu'au premier degré, si l'on prend alors la valeur de
y en x et p, on en tirera

Ay = RAx-\-SAp,

d'où il suit

pàx = Rdx-i-Sdp ou (R — /)) dar-f-Sd/i — o;
et si l'on parvenait à intégrer celle dernière équation, on
aurait, entre p, x et une constante arbitraire, une relation
au moyen de laquelle, chassant;» de l'équation proposée, on
obtiendrait une équation primitive qui serait l'intégrale cher-
chée.

Quand la variable x ne s'élève pas non plus au delà du pre-
mier degré, l'équation proposée, étant alors de la forme

r = N* + P,

où H et P désignent des [onctions de p, conduit à une différen-
tielle analogue à l'équation traitée dans le n° 285; mais, pour
plus de simplicité, bornons-nous au cas particulier

y = px + P.

35a tiiiuté élémentaire

OaaAy=pAx + g^) > et puisque Ay=pAx, il

reste l'équation ^-t - ^^ Ap = o, qui se décompose en deux
facteurs x + ~| = o, dp = o. Le premier n'est, au fond,

qu'une équation primitive entrer et p; il n'y a lieu à intégrer
que le second, qui donne p = c, ou

ây = cAx et y = cx-\-c'.
Les constantes c et e' ne sont pas arbitraires toutes deux ; car
en faisant dans l'équation proposée p — c, on a y= ex -t- C,
C étant ce que devient P dans la même circonstance, et l'on tire
delàc'— C: l'intégrale demandée est donc v = c*-r-C, et
s'obtient en changeant p en c.

Le facteur a: + ^ = o n'est point étranger à la question. Si
on le combine avec l'équation proposée, pour éliminer p, on
obtient entre x et y une équation primitive qui satisfait aussi
à cette proposée; car la relation qu'il établit entrer cl p ré-
duit encore à pAx la valeur de Ay, déduite de l'équation pro-
posée elle-même ; mais cette dernière solution, ne renfermant
pas de nouvelle constante, n'est que particulière.

Soit, pour exemple, l'équation

ydx — xAy= n sjdx'-t-d r 1 ,
qui se met d'abord sous la forme

en la diffère ntiant, on trouve

Ay = pAx -4- xAp ■+- -^£J—>

v» + /*

et à cause que Ay = pdx, il reste

Cette équation se décompose en deux facteurs

DE CALCUL DIFFERENTIEL F.T DE CALCUL INTÉGRAL. 353

le second conduit a p = e, et l'Intégrale demandée est

Le premier facteur donne

substituant dans l'équation proposée, on a j-'-i- n', équa-
tion qui ne renrerme point de constante arbitraire, qui n'est
point comprise dans l'intégrale

et lelle néanmoins, que les valeurs àeyei Aedy qui s'en dé-
duisent, satisfont a l'équation différentielle proposée, dont elle
offre par conséquent une solution particulière. Je reviendrai
dans la suite sur ce genre de solutions.

De l'intégration des équations différentielles des ordres supérieure
eu général, et de celles dn second eu particulier.

298. La difficulté d'intégrer les équations devient d'autant
plus gronde, qu'elles sont d'un ordre plus élevé : on n'y réussit
que par rapport à un petit nombre d'équations très-particu-
lières; el cependant tome équation différentielle à deux va-
riables, dans quelque ordre que ce soit, n'exprime point une
relation absurde, lorsqu'elle ne donne pas une valeur imagi-
naire pour le coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé.
Cette proposition, déjà annoncée dans le n"289, se prouve
aisément par le théorème de Taylor.

En effet, une équation différentielle quelconque de l'ordre n,
étant résolue par rapport au coefficient différentiel de cet
ordre, en donnera l'expression par ceux des ordres inférieurs,
et l'on aura en général

d'où, par des différen Hâtions successives, on tirera les expres-
sions de

S* Al. I. a3

DigitizM 0/ Google

354 nwn\. f; lamentai nu

en ayant soin, après chaque différentiaiion, de meure pour jJJ

la valeur qu'a fourme l'équation proposée. Par re moyen on
"btiendra tous les cueflir ienls difféienlïels, depuis l'urdre n
inrlusi\emenl,Cn fonction di'S variables primitives et des n — i
preniiiTS coefficients uïffi'n'Utiels.
Si dans ces (oneiions un pem supposer x — o sans qu'elles
. cessent d'être nielles cl Unies, il faudra encore, pour achever
de déterminer les coefficients différentiels qu'elles expriment,
prendre arbitrairement les valeurs correspondantes des quan-
tités

dj- d'j A*-' y

" ' dV^'

* dx'

que l'équation proposée ne l'ait pas connaître; et en les repré-
sentant par

A, A„ A,,..., A_„
on aura, pour une valeur quelconque de x,

r =A+A,- + A,— h A,

-h f (A , A„ A, , . . . , A_, ] j - etc. (-22),

série où les coefficients de n premiers termes sont des con-
stantes arbitraires.

S'il arrivait que la supposition de x — o rendit imaginaire ou
infinie l'expression du coefficient différentiel de l'ordre n ou
des suivants, on ferait alors x=a, a désignant une quelconque
des valeurs qui ne produisent pas cet effet, et l'on aurait

„A + A,î=î-«-iî=îï...-A. . )"

série où les quantités arbitraires A, A,, A,,. . ,A._, sont les
valeurs de y et de ses coefficients différentiels, correspon-
dantes à x =a.

île cette manière comme rie l'autre, on voit que si la fonc-
tion désignée par f n'est pas constamment imaginaire pour

Oigiiized by Google

m; CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL, 355

tomes les videurs (Je x, l'équatiuu dil'lï'reulii'lliï proposée don- I
nera toujours un nombre infini de valeurs consécutives de y
par une série qui sera d'aulanl plus convergente, que les va-
leurs de x différeront moins de la quantité « ; l'équation pro-
posée ne tombera donc point dans le cas d'une impossibilité
absolue, quoiqu'on manque de moyens pour l'Intégrer- Cette
propriété, qui est particulière aux équations différentielles à
deux variables, se reconnaît aussi par des considérations géo-
métriques, comme on le verra plus bas.

299. On conclut aussi de ce qui précède que l'expression
générale de y en x doit renfermer n constantes arbitraires.

La quantité a, qu'Introduit ici la variable indépendante x, ne
doit pas compter dans le nombre des constantes arbitraires
amenées par l 'intégration, comme on peut s'en assurer sur les
intégrales complètes des équations du premier ordre consi-
dérées dans leur forme générale F [x,y, C) = o. On ne peut
■dans ce cas déterminer la constante arbitraire C qu'en assignant
en même temps une valeur à x aussi bien qu'à y: et si on les
représente par a et b, on aura l'équation F («, b, C) = o, de la-
quelle on tirera la valeur C en » et b; mais ce qu'il faut bien
observer, c'est que la fonction de ces quantités par laquelle
on remplace ainsi la constante arbitraire peut également être
éliminée par la différenliation ; car si l'on met l' intégrale pro-
•posée sous la forme

dont le second membre disparaît par la différenliation.

On détermine semblablement deux constantes C et C, dans
une équation primitive de la forme F {x, y; C, C) = o lorsque.

car en joignant à l'équation ci-dessus sa différentielle première,
que je représenterai par

F,(*,.r)=C, Il vient C = F, («,*),

cl ensuite l'équatit

F, (x. r )=F,[a,b).

DigiiizM b/ Google

356 TRAITÉ Éilolï ESTAI RU

et supposant qu'à x — n réponde

r-- g-*

un a les deu\ équations

F (n, li, C, C, ) = V, {a, b, c, C, C,)= o,
au moyen desquelles on détermine C et C, en a, b, c, par des
expressions qui se comportent dans les différentiations et les
éliminations nomme les simples lettres C et C.

300. Ces considérations nous ramènent à la formation des
équations différentielles par l'éliminai ion des constantes, dont
on a déjà vu, dans le n" à\, un exemple conduisant jusqu'au
second ordre.

En panant de l'équation
[U] y> = m (a'-x'),

une première différent iat ion conduit à
(V) yûy = — mxAx,

résultat qui ne contient plus a ; puis une seconde différentia-
tïon, suivie de l'élimination de ni, donne l'équation du second
ordre

qui ne renferme plus les constantes m et n.

Cette mémo équation peut encore s'obtenir en commençant
par éliminer m entre l'équation primitive et sa différentielle
première, ce qui donnera
[V) .rr<!.r+ [a'— x*)dx = °,

puis différentiaul celle-ci pour éliminer en dernier lieu la con-
stante a. Enfin si la constante a ne disparaissait pas d'elle-

pardilférentier deux fois de suite l'équation (IJj, puis éliminer
entre celle équation et ses différentielles première et seconde
les constantes m et a.

Quel que soit celui de ces irois procédés qu'on ail suivi, on
arrive toujours à l'équation (Z) ; mais ce qu'il faut remarquer.

Oigiiized by Google

DB CALCUL DIFFKRKSTIKI. HT DK CALCUL INTÉGRAL. 35 j

c'est que chacune des équations (V) ei ( V), y menant en par-

liculier par la dilTérenlialiou .cl l'élimination d'une r-< n j-h UM i tu.
en est une intégrale. On les appelle, en conséquence, intégrales
premières, pour les distinguer de l'équation (U), qui est V inté-
grale seconde ou Y intégrale primitive, à cause que (Z) n'est
que du second ordre.

On voit, par là qu'une équation différentielle du second
ordre peut avoir deux intégrales premières, el qu'eu éliiniiwnl

de celles-ci le coefficient différentiel jj^i on obtiendrait, entre

a.-, jet deux constantes arbitraires, une équation primitive qui
devrait rentrer dans l'équation (U); d'où il suit qu'il suffit de
connaître les deux intégrales premières pour trouver l'inté-
grale seconde.

Ces remarques s'étendent aux équations de tous les ordres.
Pour le troisième, par exemple, l'équation primitive doit con-
tenir trois constantes arbitraires [2!)!)); Par on a les quatre
équations

U = «, dU=o, dHJ = o,' d»U = o;
mais si' l'on élimine d'abord deux des constantes arbitraires
mire les équations U = o, dU = o, d'U=o, on aura trois
équations différentielles du second ordre, puisqu'on pourra
conserver chacune des trois constantes à son tour. Les équa-
lions qu'on obtient ainsi sunl des intégra/es premières de l'équa-
tion différentielle du troisième ordre, qui résultera nécessai-
rement de l'élimination de la constante qu'elles renferment.
Les intégrales mondes soûl ici les équations du premier ordre
que donne l'élimination de chacune des constantes entre les
équations U = o et dll = o, cl l'équation primitive U = o est
V intégrale troisième. Sans pousser plus loin ers considérations
on doit en conclure qu'une éijrintioii différentielle de l'ordre n
u un nombre il d'intégrales premières; et comme ces intégrales
sont de l'ordre n — i , elles ne renferment que les « — i coef-
ficients

dr d'/ d-y.
d.r' d-r'' ' d:t"-''

si donc on 'peut les éliminer, on aura l'intégrale «""", ou

3j8 TRAITÉ ÉU3IKSTAIRE

l'équation primitive qui répond à l'équation différentielle pro-
posée.

301. Pour généraliser la théorie précédente, Lagrangc, par
l'application de la série de Taylor, a déduit de l'équation diffé-
rentielle même cette multiplicité de leurs intégrales premières
qui vient d'être établie en partant do l'équation primitive.

Si l'on paie d'abord, comme dans le n° 2V0, h = — x, et que
l'on désigne par A la valeur de_f- lorsque x = o, on trouve
d' y .r>

i + f;lc ''

équation où l'on peut faire disparaître tous les coefficients dif-
férentiels des ordres supérieurs,» celui de l'équation proposée.
Supposons, par exemple, celle-ci du second ordre et mise sous
la forme

w S-'(-*g)<

on en déduira les valeurs des coefficients différentiels des
ordres plus élevés, et parce moyen l'équation (n) devenant

<■> ^-^^r.^-^.r.^+e,,.

est ramenée au premier ordre, et est une intégrale première
de l'équation (Z), A désignant alors la constante arbitraire.

Cela posé, on peut écrire dans le second membre de l'équa-
tion («) ™ au lieu de y, il donnera la valeur de ~ ( corres-
pondante à x = o. En désignant celle valeur par A,, on aura

et remplaçant etc., par leurs valeurs tirées de

l'équation (Z], on obtiendra

« *-g-'(*"î9*+<(*»£)£-"'-

qui sera encore une intégrale première de l'équation proposée.

Oigiiized bjr Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉKllAL. 35çj

On ne pourra pas aller plus loin, puisqu'il n'y a d'arbitraire que
les premières valeurs de y ei de j^.

Sans qu'il soit besoin d'enlrer dans de nouveaux détail», on
voil que si l'équation proposée était de l'ordre n, on déduirait
de l'équation (a) des expressions de

dy d 1 y A"~'jr
r ' dx' 3Ï-' - "' d"?^*
correspondantes a x = o, qui seraient toutes arbitraires, et en
y remplaçant les coefficients différentiels de l'ordre n et des
ordres supérieurs par leurs valeurs tirées de l'équation propo-
sée, on formerait n équations de l'ordre n — i , qui en seraient
les intégrales premières.

302. Nous commencerons l'intégration des équations diffé-
rentielles des ordres supérieurs par celles qui ne renferment
point les variables primitives.

Dans le second ordre, ces équations ne contiennent que

^ et j^; et lorsque, pour abréger, onyfail^=j>, ce qui

donne = elles conduisent à ^ = P, P étant une
dr' dx dx

fonction de p. On tire de là dx = -£-> et par conséquent
x=j'^--i-C; mettant pour Ax sa valeur dans l'équation
d r =pàx, on trouve aussi y =J'^~ M- C : il ne s'agit plus
que d'éliminer p entre les deux équations x=J"^--^C et
y=J"^^-+C', pour avoir l'intégrale en x et y, qui .sera

complète, car elle renfermera deux constantes arbitraires (2!)!)).
L'élimination de p ne pourra se faire que lorsqu'on aura effec-
tue les intégrations indiquées; mais par les quadratures on
construira la courbe cherchée.

Soit pour exemple l'équation ^^^^ - = «; en met-

DigilizKi Dy Google

O TRAITÉ J . I . KM EKT AIRE

il pAx pour Ay, elipàx pour A 2 y, on changera cotte équa-
n en h- ■ ■ = a, et 1 on en tirera

Ap

Ax = — a ^'° , i dj = pAx = _ S£Ë£_ .
L'intégration donnera

*=c+-JE=. r=c—

éliminant p, il viendra

résultai facile à prévoir, car l'équation différentielle proposée
n'étant autre chose que l'expression générale du rayon de
courbure, égalée à une constante a (81), exprime la pro-
priété fonda mentale du cercle,

303. On ramène de même à l'intégration des fonctions d'une
seule variable les équations d'un ordre quelconque, dans les-
quelles un coefficient différentiel est exprimé par celui de
l'ordre immédiatement inférieur.

'— = !/, d'uù il résulterait — iil par conséquent

l'équation proposée serait transformée en ~- = (), Q repré-
sentant une fonction donnée de q. On conclurait de celte der-
nière équation,

puis de = >/, on tirerait successivement

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET l>Ë CALCUL INTÉGRAL. 36l

l'imégrale demandée serait donc le résultai de l'élimination do
q entre les deux équations

et il y aurait trois constantes arbitraires dans le résultai. Un
(■tendrait facilement er procédé ii un ordre quelconque.

301. On réduit en cure très-aisément ;i l'intégration des fonc-
tions d'une seule variable les équations d'un ordre quel-
conque, dans lesquelles un coefficient différentiel est donné
par celui de l'ordre inférieur de deux unités. Si l'on avait, par
exemple, en fonction dc^ion représenterait par q,
d'où il suivrait

d'y djj d\£ _ d^v

<lx>~ dit' dx' — d*''
et la proposée serait transformée en

•~Ft+* '-mm**)**-

donnée de q.

deux membres par d 7, il viendrait.

d'Y

mais de -s—; = q, on déduit successivement

Oigilized 0/ Google

36a traité élémentaire:

l'intégrale serait par conséquent le résultat de l'élimination
Aeq, entre les équations

'°/w«Ii + c (/s/qX+c" 1 " 0 ")" 1 " 0 "'

contenant quatre constantes arbitraires. On traiterait de même
les équations analogues, dans les ordres plus élevés.

305. L'équation^^ = Y, où Y désigne une fonction quel-
conque de y, est le cas le plus simple de la classe d'équations
qui nous occupe; il vient alors

Sî-S-**.

Si l'on applique ce procédé à l'équation particulière
on aura

d'r = i n r i d 'r_. <| r

en intégrant. Changeant C en ~, on tirerait de là

42=1.1,5+,),

Taisant ensuite c-H v'r— s, il viendrait

■la y/ï

et enfin

~=-\î'— a «i* + C = | {«?— t ) »V + * +

Oigilized Dy Google

363

306. Les équations différentielles qui ne contiennent qu'une
seule îles variables primitives, s'abaissent au moins d'un
ordre.

Cela est d'abord visible pour celles qui sont de la forme

V ' d*' d*" ' d*"/ _ °'
a- désignant la variable indépendante ; car si l'on fait ^£ =p,
il vient

V ' P ' d* ' dar*-, 1 *
équation qui n'est plus que de l'ordre « — i, par rapport aux
variables x et p. Quand on pourra l'intégrer et en tirer p enar.
ou bien xenp, on auraj" par les formules

r = f pAx + C, ou r = P x-JxAp+C.
Soit, par exempte, l'équation différentielle

X désignant une fonction donnée, de x seul ; celle équation se
transforme en

En intégrant il vient

je représente j'-^ + G P ar V, et il en résulte

307. Si la fonction y entrait dans l'équation proposée, au

364 TBA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

lieu de la variable indépendante x, on ramonerait ce cas ou
précédent, en prenant iy constant, au lieu de <ix (130).
On pourrait encore, si l'équation proposée n'était que du

dr

second ordre, chasser d.r au moyen de sa valeur ~i tirée de
l'équation Ay=pàx, et l'on auraitainsi
d'y _ d ;> _ pdp

ta transformée ne renfermerait alors que p, dp, y et dy. Si
elle pouvait s'intégrer, et qu'elle donnât p en y, on trouverait

x par lu formule x — f~ i et par la formule x = — ■+■ Ç^-^-i

J P P J P

lorsqu'on aurait/ en p.

L'équation = déjà traitée dans le n" 305, devient, par

le procédé ci-dessus,

£j^ = Y, d'où p'=a/Vdr+C,

308. Parmi les équations différentielles qui contiennent en
même temps les deu* variables primitives, il faut remarquer
celles qui sonL homogènes entre la Jonction y et ses différen-
tielles, considérées comme des facteurs algébriques : une
transformation très-simple, faisant disparaître la fonction pri-
mitive y, les ramène au cas précédent.

Il suffit de poser y — e", d'où il résulte

dj-=f du, d t y=e*(d , u + du%
d'y = C (d'à ■+■ 3d u d' m -+- du"), etc. ;

le facteur <■-" devenant alors commun à tous les termes de l'é-
quation, disparaît, et il ne reste plus que les différentiel les
de a, avec x et lix.

Le cas le plus simple de ces équations est relui où y et ses
différentielles ne passent pas le premier degré ; il est repré-

OigiiizM D/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 365

sente par la formule générale

d-/ -+- Pd— ' y<\x + Q d— ' j-d .r' + hUj'di' = o.

Prenons pour exemple celle du troisième ordre

d\r-l- P d'j- d# -I- Q d/ d*' + U j- dx* = o ;
les valeurs de / et de ses différentielles la réduiront a
A'u + 3d« d'« + d«> -H P (d'à -r-d«')d;r I _

-r-QdMdtf'-r-Udar 1 | '

qui s'abaisse au second ordre en posant dK = fd:r, d'où il
résulte

<l'/+(3( 4-P)did* + ((>-!- Pe-t-Qi -H U)rf*' = o.
La forme de cette équation donne lieu à une remarque im-
portante, savoir, que si les quantités P, Q et U étaient con-
stantes, on pourrait supposer i constant; car en faisant d'f = o,
d/=o, il ne resterait pour déterminer / que l'équation

l'+P*'+Q<-HC = o
dont les coefficients seraient des constantes.

Désignant donc par m,, m„ m, les trois racines de celle
équation, on pourrait prendre successivement
t = m„ t = m., t = m,;

et comme

d«= tdx donne « — J lAx -h c, y=et'**** r
on aurait pour / les trois valeurs

y t = i ( y 7 — e - » ,+< " J — fl"^*** 1 ,

qui reviennent à

y, = C,tr*, 7,= C,e"", v, = C J e--,
en prenant pour constantes arbitraires les quantités
p, ■<% * , .' :
309. Ce ne sont encore là que des valeurs particulières de
la fonction y, puisqu'elles ne renferment qu'une constante;
mais en les ajoutant,' on forme l'imé^rah* primitive complète.

366 ~ TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Non-seulement il est facile de s'assurer que iretie expression
de j- satisfait à l'équation différentielle proposée; mais on peut
établir à ce sujet une proposition générale, quels que soient
les coefficients P, Q et U, savoir : que si y., y„ y, sont trois
valeurs de y qui satisfassent chacune en particulier à cette
équation, leur somme y t -i-yi~hy» étant prise pour l'expres-
sion dey, satisfera également, et que si les fonctions/,, y,, y,
ne contenaient pas des constantes arbitraires comme ci-dessus,
un pourrait prendre

r=c ir ,+Cr,+cy,;

car en differentiant trois fois celle expression, substituant dans
l'équation proposée les valeurs de y, iy, d'y, d'j-, cl rassem-
blant tous les termes où entre la munie constante, il vient

C, (d'y, + Pd'r, <1* + Qdv, dx> + Un d*') 1
-+- C, {d'y, -+- Pd>r, dx ■+- QAy, dx> + Vy,dx>) ! = o,
+ C, [d'y, -H Pd'j-, d*+ Qd.r, dx' ■+- Vy, d:r>) )

résultat dans lequel la fonction qui multiplie chaque constante
est nulle par elle-même, puisqu'on a supposé que les fonc-
tions ^-„.r„ y, satisfaisaient séparément à l'équation
d'j-i-Pd'/d^-t-Qd/dtf'-t-U^d^^o.
On voit aisément que celte démonstration peut s'appliquer
à l'équation d'un ordre quelconque

Af+VÛr- tydx-i-Qd— >yd* , -h...+ïlydx m =o,
ci que par conséquent si l'on trouve n valeurs particulières,

.n> r** r>-> r-

qui y satisfassent, on pourra poser

r = c.r, +&r> + c,r. + - . .+ c.»-..

Ci, C» Ci. . ., C, désignant des constantes arbitraires.

11 est également visible que si les coefficients P, Q. . ., U
sont constants, les valeurs de y s'obtiendront par la supposi-
tion de y= tr 1 , m étant une constante, ce qui donne

dy=e™mdx, d J /= e^m'dx 1 , d"y=e"m?dx*,
et, rendant diiisible par e-'dx" l'équation proposée, la réduit

OigilizM By Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 36;

alors à

m- + Pm— ' -t- Qm"-" -K . . + U = o.

Si l'on représente par m„ m , m, les racines de celle-ei, on

aura

= r. = e".' y, = <"->,

et par conséquent

y = C, C, e-" -+- . . . + G,e-.*.

310. Lorsque parmi les valeurs de m il s'en trouve d'imagi-
naires, l'e\prcssioii ci-dessus, qui ne cesse pas pour cela de
vérilier l'équation différentielle proposée, a besoin d'être trans-
formée en une autre, où il n'y ait que des quantités réelles, ce
qui s'effectue au moyen des formules du n° J87,

Si m, et m,, par exemple, désignent un groupe de racines
ini;i^ T i[]:iiivs, elles -ei'inii de lu forme

et fourniront dans l'expression générale de y une partie

mais, par l'article cité, on a

^ = cos S* + <J=i sin p\r,
e — ^rv C -' = cos ï s ln par;

ces valeurs, substituées dans l'expression précédente, la chan-
gent en

e" | (C, + C) et» p* -h (C, - C) ^=7 sin p^i ;
et comme les constantes C, et C, disparaissent de l'équation
différentielle, sans qu'il soit besoin do leur assigner aucune
valeur, on peut leur en supposer une telle, que les quantités
C,-t-C> et IC-Clf^i soient réelles, el faire en consé-
quence

G+C=E,, (Ci— C.Jv'— * =E»
d'oii il résultera, pour l'expression cherchée,
e"|E, cospx-t-E.sinp*),
valeur enlièremeni réelle.

368 ~ TRAITÉ Kl.ÉMEATAIBE

On peut changer celle dernière de forme, en y posant
B,=ps\nq, E,=/>C09ç,
pet q étant de nouvelles quantités arbitraires; elle deviendra
e"\p sin q cos fix-t-p eosg sin $x\ = pe" sin i'q +
On traiterait de la même manière les autres groupes de
termes imaginaires que pourrait renfermer l'expression géné-
rale de j.

311. Si quelques-unes des racines m,, m,, etc., deviennent
égales, cette expression perd de sa généralité; quand, par
exemple, m, = m„ les deux premiers termes, prenant la
forme

C 1 e"*- r -C ! e-"= (C-f-C] e-'*,
se réunissent en un seul dont le coefficient- &+•& ne compte
plus que pour une seule constante.

Des divers procédés qu'on a donnes pour parer à cet incon-
vénient, celui qu'a proposé il' Uomlim me parait encore le
plus ingénieux cl le plus simple : voici en quoi il consiste [*).

Au lieu de supposer que les racines m, et m, soient égales,
on fait d'abord

ce qui donne

C, e"" -+- &<?"«' = e— (C,+ Ce* 1 )
-*M[ft + G(i+iï + ££ + ei«.)].
en développant l'exponentielle e** [27); alors si l'on pose
C,-r-C, = E,, C,/< = E„

il vient

*-[E,+E,» + E,^+e.c.].

Or, C, et C, étant arbitraires, E, et E, le soni pareillement, et l'ex-
pression C, e"« + C,e"" satisfaisants l'équation différentielle pro-
posée, indépendamment d'aucune valeur de C, et de C, (30!!].

(•) Furet d'tlilour» lo Tniic io lomn III, pognS»}.

UE CALCUL DIFfEREHTIBL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 36g

il en sera de même du développement ci-dessus, et des con-
stantes E, et E„ et cela, quelque petite que soit la quantité A.
Si donc on suppose A =o, l'expression ci-dessus, réduite à
«-.. (E,+Ë,„)

et contenant deux constantes arbitraires irréductibles, satis-
lera encore à la proposée; mais ce cas répond précisément

De là, on passe aisément au cas où m, = m, = m, ; car en ne
supposant d'abord que l'équation m, = m,, on aura

7=e""(E,-t-E,*) -+-Ce-^-(-. . .+C«-*,
et faisant en conséquence m, = m, -+- A , il viendra

{ E, -r-E,*) + Ce"*= e— (E, -I- E, x + Ce*-),
que le développement de e* 1 changera en

e"" (E, + C, + (E.+ C,A} « +C ^ + C, etc.) ,

et Taisant

E,-t-C = F», E,+ C ! A = F„ iCA'=F„
on aura l'expression

<r<i (v, + F,x + F,a" + F, ^ + etc.) ,

satisfaisant encore à l'équation différentielle proposée, quelles
que soient les constantes F,, F,, F,, et quelque petite que
soit li : en posant donc A = o, il en résultera, pour le cas où
m, = m, = m, , l'expiession

e— (F, + F 1 ar-4-F J «'),
qui remplacera complètement la partie C,e*"*-f-Cie** t -f- C.,ef",
et ainsi de suite, en quelque nombre que soient les valeurs
égales de m.

312. L'équation différentielle proposée peut rarement s'inté-
grer lorsque les coefficients sont variables; le cas suivant
[a+bx)'A'r + V{a + bx)-'4r-'yix I
-j-Q(«4-A*)"- d-' J -diE'+...+ l!rd ; r- ) '
6» éd. t. a4

Oigiiized by Google

TRAITÉ I I F1HMM1.11

où P, Q . . . , U, désignent îles constantes, est un des plus re-
marquables. Si l'on fait a-\-hx=t, d'où il suit Ar = ^, l'é-
quation ci-dessus se change en

Pd-j-r- \ /-'d-'.rdï 2 (—d-'rd P-k . .+ £ jrd,f«=o,

à laquelle on satisfait en posant y = f", m étant un exposant
indéterminé; car d/ étant constant ainsi que ix, la substitu-
tion dej-et de ses différentielles rend l'équation ci-dessus di-
visible par t'df, et l'on a seulement

+ qL,„ij.,jj + , ï )+ 1 ..4 1 '|-

qui détermine m, au moyen des constantes n, b, P, Q. . (J.

313. Il est facile d'appliquer ce qui précède à l'équation du
second ordre

d >y + p d yd x + Ujd x' = o ,

et d'en tirer les résultats suivants, qu'il est utile de connaître.

i". Si y, eKy, sont deux valeurs qui satisfassent à cette équa-
tion, son intégrale complète est

r = C,f,+C r , (309).
a». Quand P et U sont constants, on a
y = C,<r-+C'<r*,
m, et m, étant les racines de l'équation
m'-t-Pm + U = o.
3°, Si ces racines sont imaginaires, il vient

y=pe*'s\n{q+px) (310).
4°. Si elles sont égales

r =e-.*(E,-i-E,*) (311).
5°. Enfin l'équation

[a + te)' d'y + [a + bx)V<iyAT + Vydx' = o

Oigiiized b/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3^1

se change en

p ,| >y + | „| r d , + ^ r d ï» = o,
lorsqu'on fait a -h = t, et dépend de

»<—>+»-+»— i™)-

ro qui revient h

ainsi son intégrale est

v - G, t" H- C,/-' = C, (a + bx )•■ + C [ a + for)- ,
rn, et m, étant les deux valeurs de ni.

314. L'équation
(,) dV+Pd 1 - <ydK+Qa\*-'yàa!>+.. . + Urdx" = o,
n'est qu'un cas particulier de l'équation différentielle de l'or-
dre n et du premier degré; car celle-ci, pour être générale,
doit contenir un terme indépendant de y, et «voir par consé-
quent la forme

(a) d-.r+Pd— j-âxA-Qd-yAx'-h.. .+Uy&x*=V<iiC;

mais l'intégration de cette dernière se ramène facilement à celle
de la première : on l'a déjà vu pour le premier ordre, dans le
n°285; et dans un ordre quelconque, iltufjitde connaître un
nombre n de valeurs particulière* de y, satisfaisant A t 'équa-
tion (i], pour parvenir à l'intégrale complète de l'équation (a),
Lagrange, qui a découvert cei important théorème, l'a
prouvé en étendant à l'équation (a), par la variation des quan-
tités C, Ci, . . ., C a l'expression générale de r relative à l'équa-
tion (i).

Pour fixer les idées , je prends l'équation proposée du troi-
sième ordre seulement; il vient y= C, y, + C, y,-*- C, y»
expression dans laquelle il faut déterminer C C-, Ci, de ma-
nière qu'elle satisfasse à

d'v-t- Vd'ydn-t-QAyA*' + Urd.»'=--vdj.-.

a4.

Zjî. TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Si l'on forme successivement les valeurs de d r. d'y et d'y, en
traitant Ci , Ci, C, comme varubk's, on trouvera d'abord

dy = C, dy, -h Cdy, + C, dr, + y, dC, -t- y, A C-hy, dC,;
mais comme on a trois quantités à déterminer, et que la ques-
tion proposée n'offre qu'une condition, on en peut clioisir deux
autres a volonté, et faire en conséquence

r.dC+ ri dC-r- v r,(lC 1 = o 1

ce qui donnera

dy= C, dy, ■+■ Cdy, -h Cày, ,
comme si les quantités C, , C, et C, n'avaient pas varié. En «Si T—
érentiant cette valeur, il viendra

d'y= C, d'y; + CA*y,+ C.d'y, + dy,dC, -+- d/,dC, 4- dj-.dC,;
posant encore

d/, d C, + dy.d C, + dy, d Cj — o ,

il restera

A>y=C,d 1 y, + C#y,+C<t'y„

&y = C, d'y, -4- &d'y, ■+- Cdy, ■+■ d'y, d C, -+- d' y, d C, 4- d'^d C, .
par la substitution des valeurs de y, ily, d'y et d'y, l'équation
proposée deviendra

C, ( d'y, 4- P d' y, dx-\-Qdy,dx>-\~ Uy, d x' ) j
+ C,(d'j-= + PdY,dj + Qd7,d^' + Uj-.d^)
-(-C^d^-i-Pdy.dx-HQdj-.d^+L'.nd^) _ d ^
+ d'/.dC, + d- r ,d C,+d'/,dC
ce qui se réduit à

d'y, d C, 4- d'y, d C, + d'y, dC, = \dx>,
quand les fonctions y„ y„ y, satisfont à l'équation

d'y 4- Pdyd x-\-Q dydx' 4- Vyd x' = a:
il existera donc entre les différentielles dC, dC, et dC,, les
trois équations

y, AC, ■+■ y,A C. ■+- y d Ci = o ,
dr 1 dC,4-dr,dC,+dj",dC, = o,
d'y, dC, H- d'j-.d C, 4- d'y.d C, = V ÛX*,

Digilizefl 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉREKTIEL ET 0B CALCUL INTÉGIIAL.

d'où l'on tirera les valeurs de chacune do ces différentielles,
exprimées en x et en dx, lorsque les fonctions y,, y,, y, se-
ront connues. Les résultats avant la forme

dC, = X,d.r, dC, = X,d*, ilC, = \,dx,
on en déduira

C,=f\,Ax-hc„ C=fX,dx+c„ C,=/X,d* + *„
ci par conséquent

sera l'intégrale complète de l'équation proposée.

Si l'on ne connaissait que deux valeurs particulières de x, la
proposée ne pourrait s'intégrer qu'avec le secours d'une équa-
tion du second ordre, réductible au premier. En effet, on au-
rait alors

y= C,y, + G,/,, ily = C dy, ■+■ Cdy„

en faisant

r.dC,-H7 i dC 1 =oi
mais puisqu'on ne pourrait disposer que d'une seule des quan-
tités C, ctC„ il faudrait employer le développement complet
de d'y, qui serait

d'j= Cd'j-. 4- C,â'y, + d/.dC, + dy.dC,
et qui donnerait

d'y =C,àVi ■+■ C,A'y,+ ad'/.dC, -+- ad'^.dC-i- djvd'C,+ d.v,d'C

Substituant dans la proposée, et réduisant de la môme manière
que ci-dessus, on obtiendrait

iy, &> C, + d/,d'C + ad'j-.dC, ■+- ad'^dC. I _ v . .

H-Pd^dCd^ + Pd^.dCdj: j —

équation de laquelle on chassera dC, et d'C„ en tirant leurs
valeurs de l'équation y,dC, -\-y,AC, = o et de sa différentielle;
la résultante ne contenant que d'G, dC, et des fonctions de x,
se ramènera au premier ordre (300).

Enfin, lorsqu'on n'aura qu'une seule valeur de y, on tombera
sur une équation auxiliaire du troisième ordre, réductible au

3^4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

second; c'est ce dont il esi facile de se convaincre, en mettant
dans la proposer

Cy„ Cet/, -+-y,dC„ C,d 1 : r, + 3dr,dC,+/.d ! C,,
Cd'/, + 3 d'r.d C, -+- 3d>, d' C, +/, d J C, .

y, dy, d'y, ut d'y :
l'équation formée par ces substitutions sera réduite à

j,d'G+3dj 1 d'C,-r-3d*/,dC 1 -t-P;r.d , C,d* l__ v * i
+ aPd/,dC,d*+Q r ,dC 1 djc' j - vax -

Si dans les calculs précédents l'on suppose V = a, ils mon-
treront comment, avec deux, ou seulement une valeur particu-
lière de la fonction 7, on peut parvenir à son expression géné-
rale, dans l'équation

>\\y+ Pd'j-d* + (Jd/d^-t- U/dx'ssoj

et de là résulte, pour toutes les équations différentielles du
premier degré, le théorème suivant :

Si l'on a a valeurs particulières de y, pour l'équation ( 1 ),
on en déduira immédiatement l'expression générale de cette
fonction pour les équations (1) et (a); et dans le cas où Fon
ne connaîtrait que n — 1 valeurs particulières, on parvien-
drait encore à la même expression, en intégrant une équation
du premier degré et du premier ordre.

315. Je prendrai pour exemple l'équation du second ordre

d'y -+- 1» dy d* 4- V yd x' = V d x<.
En désignant d'abord par v, , y,, les valeurs particulières dey
qui satisfont à l'équation

d 1 j»-f-Pd/da; + U/d* , :=o,
l'Intégrale complète de la proposée sera
r=C,};+Cy„
C, et C, étant déterminés par les équations
v,dC,-t-r,dC, = o,
d/,dC, + d/,di:, -:- \ rf.r> (n- précédent).

OigiiizM Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL BT DK CALCUL INTÉGRAL 3j5

Mainieiiani si l'on suppose que les coeflicients Pel Usaient
constants, V demeurant une fonction quelconque de on

cl par conséquent

e*'*dC,-t-<"'*d(;, = o,
e-"midC, + e—m,iH;, — Vdx,
d'où l'on ilëduln

Vtr - Md* ... Ve— »d

en donnant aux constantes arbitraires E,, li„ le diviseur com-
mun m, — m,, ou seulement

en concevant que chaque intégrale comprenne implicitement
sa constante arbitraire.

310. Celte formule est soumise aux circonstances qui nais-
sent de la nature des valeurs de m, et m : (310, 311).

On pourrait en restreindre l'emploi aO cas où les quanti-
tés m, , m, sont réelles et inégales, et former immédiatement
des expressions de 7, pour chacun des doux autres, en em-
ployant les valeurs de y, et 7, particulières à ce cas. Par exem-
ple, lorsque m, et m, sont imaginaires, on tirera de la valeur
complète

7 = e"" (E, cos px -+■ E,sin px) ,
trouvée dans le n° 310, les valeurs particulières
7, = e^coapx, 71= e"*siiipjr,
avec lesquelles il serait facile d'obtenir l'inténrale complète de

Oigiiizod by Google

376 TRAITÉ ÉLÉMENT MRS

l'équation proposée; mois il est peut-être plus simple d'opérer
immédiatement sur la formule du numéro précédent, la trans-
formation propre à en faire disparaître les imaginaires, c'est-
à-dire d'y changer

m, en a -l-p — 1, m, en a — p y* — i,
et de remplacer ensuite les exponentielles imaginaires par leur
expression en sinus et cosinus. Par ces substitutions, on a
d'abord

...

r

= -^ = l( C o 9 px + /rr S i n p J )/V e -«{c0spx- l ^T 3 i n ? J :) ( J J :
ap^-i

-( C o 3 px-i/r7 s mM/V<'-"(cosP+v /r T8inM<''|.
puis en effectua ni les multiplications indiquées, séparant les
intégrales en monômes, et réduisant, le fadeur 3 y' — 1 devient
commun aux deux termes de la fraction, et l'on arrive à l'ex-
pression réelle

y= — j sinp x fVe-"*dxcospjc— cosp* /Ve _a:r d*sinp^ ).

Si V était nul, il faudrait mettre une constante arbitraire à in
place de chaque intégrale, et l'on aurait seulement

y=~ |E,sinp*— E,cosp.r| ,

ce qui rentre dans le résultat du n° 310.

On rencontre fréquemment, dans les applications de l'Ana-
lyse à la Physique céleste, l'équation

v

ù* + * r *

pour laquelle

m=±af=i |313).

d'où

. = 0, f = „.

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 377

el

jr = psin<Lz-i-qcosax

sinaxfVdxcostur—cosaxfVàxsinax

en restituant les constantes arbitraires. La fonction V a ordi-
nairement la forme

A +Bcospj7-i-C cosy «■+ etc.,
A, B, C, etc., p, 7, etc., désignant des coefficients constants, et
les intégrations indiquées s'effectuent par le procédé du
n°218.

317. L'égalité des racines m, et m, réduisant à - l'expression

c-. * f Vc— * d x —«*■■'/ V d *

r= — mi ~ m , '

il surfit, pour en obtenir la vraie valeur, de différentier par rap-
port à m, son numérateur cl son dénominateur, en observant
pour les intégrales la règle du n° 281, et il vient

r = <r-(xf\e--Ûj:-SX^-x<\x).
Cette dernière expression comprend celle du n* 311; car
lorsque V = o, les intégrales se réduisant à leur constante ar-
bitraire, il vient seulement

r=<r-(E,i:~E,) (■).

318. Si l'on a un nombre m d'équations dirférenticlles ren-
fermant un nombre nt+i de variables, une seule de ces
variables sera indépendante, et les m autres en seront des
fonctions. Supposons d'abord que ces fonctions cl leurs coeffi-
cients différentiels ne s'élèvenl pas avi delà de la première
puissance, dans les équations proposées , qui som alors du
premier degré ; la méthode indiquée au n" 133 conduirait, dans
CC cas, à une équation différentielle du premier degré entre
l'une des fondions ù déterminer et la variable que l'on regarde

(*) M. l.lliri. -liins le rMDCll d.i ses Mtmoirc. (imprimes il iierli» 011 >S3D),

a rcpfts il'iini! miinicn) b4&4lq(*iih! . i tr.-. -(.■<■,, n,|.' lu ■ Ej i- .11- nj.iati.'iis

■ liJTm-ntiullisi lin.-.Mr-s (l.llilu premier .k^r.'';, ■ IWï ..i.-i I. [.i-.niiitT iTihirr
.U Journal ,)■ X«rtrn..itifiia^i« *1 1 imi.ill.'.l

Digitucd ai Google

3j8

THAITÉ

comme indépendante; mais on peut quelquefois éviter les cal-
culs de l'élimination, en intégrant conjointement les équations
proposées.

Lorsqu'elles ne sont que du premier ordre et qu'elles ne
renferment que trois variables, ces équations peuvent être re-
présentées par

M d a -f N d x ( P «+ Q± ) d t = R d / .
M'd«+N'd*-h(P'«-i-Q'*)dt = R'd/ i
mais si l'on en chasse alternativement du et d*. et qu'on dé-
gage de son coefficient celle de ces différentielles que l'on
conserve, les équations résultantes prendront la forme

P, Q, T, P', etc., représentant de nouvelles fonctions de t, dé-
rivées des premières par la suite des opérations indiquées.
C'est sous celle dernière forme que d'AIemberi a traité les
équations différentielles simultanées, par une méthode très-
ingénieuse, que je vais exposer comme l'a présentée M. Am-
père.

En multipliant la seconde équation par un facteur o, et ajou-
tant le produit à la première, il vient

da-H*d*-K(P+P's)«+(Q-t-Q'«)*]d*=(T-t-T'e)di;
faisant ensuite u+tx=i, on aura

et par ces valeurs, la transformée ci-dessus deviendra

enfin égalant à zéro le multiplicateur de *, on partagera l'é-
quation ci-dessus en deux autres.

dont la dernière ne renferme plus que les deux variables 0 et (.

d«H-(PH-t-Q*)df = Tdt,

P'«)»-(Q + Q'«)]d<|l -IT+T»)d(,

iis + (l , -t-P'fl)zd/ = (T + X'o)d(.
<!8 + [(p-t-P's)e — (Q + Q'0)]d(:

DE CALCUL DIFFÉMINTISL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ^79

Lorsqu'on pourra trouver une valeur de 9 satisfaisant a celle-ci,
on réduira, par son moyen , la première à ne contenir que les
deux variables a etf ; et n'étant d'ailleurs que du premier
degré, elle s'intégrera complètement par la formule du n° 285.

Quand les coefficients P, P\ Q et Q' sont constants, on peut
faire

dfl = o, (p + P'e)8— (Q + Q'0) = o;
s est alors déterminé par une équation du second degré, dont
je désignerai les racines par 8, et Si.

Dans la même hypothèse, l'équation (a), en y faisant, pour
abréger,

P-t-P'fl = m, T + T'8 = V,
a pour intégrale l'équation

z = e— , {fe"Vdt-i-C),
d'où l'on lire les deux suivantes,

u + %,x = <r- ' (/«-'* V, Al +C.) ,
u + %x = e— ' (/<S-'V,d*-r- C),
lorsqu'on y met successivement les deux valeurs de 8 ; le pro-
blème est donc complètement résolu, puisqu'on a entre les
variables u, x et ( deux équations primitives renfermant cha-
cune une constante arbitraire.

319. Passons au système d'équations a quatre variables, au-
quel on peut toujours donner la forme

ua + (P„^_<J a : + R r )dï = Td/,
dx + ( P' u -t- Q'x -+- P.'/ ) d t — T d t ,
d r + [Vu -*■ Q"x + R'r) àl = T"d(.
Si l'on multiplie la seconde par 0, la troisième par S', qu'on
ajoute les produits à la première, que l'on fasse
m-)a+9Y = z,

d'où il suit

dH + er]#-!-B' dj = ds — xAQ— vd0\

pi qu'après la substitution de ces valeurs on rassemble, pour

38o - TBA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

les égaler à zéro, les termes affectés de x et de y, l'équation
ci-dessus se partagera dans les trois suivantes,

(a) Az + (P + F6-I- P"6') zA t = (T+T'a +T"8') d (,

[b] de + [(P+ P'a + P"8')e — (Q + Q's + Q*8')]d( = o,
(£') d8 , + [(P + P'e + P"9')9' — (R + R'9 + H"e'!]<l;=o.

el lorsqu'on pourra trouver les valeurs de 9 et de 0' qui satis-
font aux équations (6) et (b'), l'équation (a), réduite aux varia-
bles z et (, s'intégrera encore comme dons le n° précédent.

En se bornant au cas où les coefficients des fonctions a, x
et y sont des constantes, on peut supposer dS = o, d9' = o; it
en résultera

(P + l"0 + l l "!i , )0-(O + Q'(H-O"8') = -i,
(P + P'0 + P"9')G' — (Ii+R'0 + R"9') = o,

et si l'on fait P + P'0-t- P"fl' = m, les équations ci-dessus, de-
venant

(m— R")«' — R'9=R,

donneront pour û et 0' des valeurs qui, substituées dans l'ex-
pression de ni, conduiront à une équation finale, où celle in-
connue montera au troisième degré. Cliacunc de ces valeurs en
fournissant une pour les facteurs 0, 0', si i'on distingue celles-ci
par des indices inférieurs, et qu'on fasse T-f-T'9 + T"e' = V,
on aura les irois systèmes de quantités

0,, 8',, m,, V,; 8,, 9',, m,, V,; S,, S' : , m,, V,;

dont la substitution dans z = j /<*'Vdi + C j, intégrale
de l'équation [a), donnera les trois équations primitives :

rt +■ 6,r + 6\ r = e—>< (_/V".'V,d ( -I- C,),
u + B,x + 0',/-= rr- •■ (/<f~.'V,d( + C,l,
« +9,37+6',/= e— i'(fe---V,dl-hC 1 ).
On peut maintenant étendre ce procédé à tel nombre d'équa-
tions que l'on voudra. Pour en compléter l'exposition, il fau-
drait examiner les cas où les valeurs de 9, 9' deviennent
imaginaires ou bien égales entre elles; mais ces détails, qui

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL. 38l

tiendraient trop de place, sont faciles à suppléer, par ce qu'on
a vu dans tes n°' 310, 311.

320. D'Alembert applique aussi son procédé aux équations
du premier degré d'un ordre «uelconquc, et pour cela, il les
ramène au premier ordre, de la manière suivante.

Ayant, par exemple, deux équations de la forme
d J u + (Ad« -t-Bdx)d(+ (Cu-f- Da:) d/ 1 = Tdf,
d'x -+- (A'dw + B'dx) dl + (Cm + D'à:) de = Tdf,
il fait du =/id(, Ax = qil; et il a par conséquent, entre les
cinq variables p, q, t, u et x, les quatre équations du premier
ordre

dp + {kp + Bq -t-Cw-t- Dx] di = Td/,

dq + [.Vp + Q'q + C «+ Tt'x) d / — T'd/,

du— pAl = o,

Ax-pAt = 0 ,
qui peuvent se traiter par la méthode du numéro précédent.

Il s'est servi du même artifice pour les équations qui ne
contiennent que deux variables; mais le procédé du n° 31'» est
plus simple et plus élégant.

321. Considérons maintenant les équations du premierordre,

ûy — aûx = o, d- ~$dx = a,

dans lesquelles a et p sont des fonctions quelconques des trois
variablesir,/ 1 , z : voici comment on peut y appliquer le procédé
du n° 133.
On différentic la première , et il vient

J dx dy J dt

incitant pour Az sa valeur pdx, on obtient

éliminant ensuite z, au moyen de l'équation
dy — ad X — o,

38a

TRAITÉ ÉLÉMENT AMR

oq parvient à une résultante enielj-, du second ordre, el qui
a nécessairement une intégrale primitive avec deux constantes
arbitraires a et 6 (298).
Soient

ty{x, y, a, fi) — o et d i r=nid*r
celle intégrale et la valeur de Ay qu'on en tirera; en substi-
tuant celle-ci dans ày — nAx= a, on aura une seconde équa-
tion primitive m — a=o, entre x, y et z, en sorte que les
équations différentielles proposées seront vérifiées par le sys-
tème des équations primitives

ty{x,y,a,b) = a, m — h = o,
et par toutes celles qui seront équivalentes à ces dernières.

Cela posé, on va voir qu'il existe toujours au moins deux
systèmes de facieurs, au moyen desquels on déduit des équa-
tions proposées deux différentielles exactes. En effet, si des
équations primitives indiquées ci-dessus, on élimine alternati-
vement les constantes a et fi, el que les résultats soient mis
sous la (orme

M=n, N = A,

leurs différentielles

d* Ay dî r
sont des quantités identiquement nulles -. on a donc

devant être vérifiées par les valeurs

Ay = «Ax, Az = pAx,
liives des proposées, il s'ensuit que

dM dM dM
d* + Ay a+ dz
dN + dN a + dN

dM

dx
dN
d*

dM _dM

dy* dz

OigiiiziM ay Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL IT DE CALCUL INTÉGRAL 383

131 niellant ces valeurs dans les différentielles de H el de N,
ce qui ne les change point , on obtient les différentielles
exactes

comprenant les produits des équations proposées multipliées
respectivement par les facteurs

On conroil aisément qu'il y a des théorèmes analogues, pour
les équations dans lesquelles le nombre des variables surpasse
trois.

322. Dans le n" 297 il s'est présenté, pour une équation dif-
férentielle, une solution particulière qui ne dérivait pas de
l'intégrale complète, et L'on peut quelquefois tomber sur des
équations primitives, sans constantes arbitraires, et vérifiant

une équation différentielle dont on ne connaît pas l'intégrale
complète. Ces deux circonstances font naître les questions
suivantes: d'où viennent les solutions particulières ? el com-
ment distinguer si une équation primitive qui satisfait à une
équation différentielle /imposée, dérive ou non de son inté-
grale? C'est ce dont je vais m'occuper.

La relation qui existe entre une équation diffère miellé et
son Intégrale esi telle, que celle dernière équivaut à un nom-
bre inlini d'équaiions primitives, qu'on obtiendrait en donnant
successivement à la consumie ai biliaire toutes les valeurs pos-
sibles, el dont chacune satisferait il rôqiiniion (lilIV-i uniielle ( 53).
On désigne ces diverses équations primitives sous le nom d'in-
tégrales particulières, puisque ce sont des ras particuliers de
l'intégrale complète. Les solutions ptirtir.ulii'irs, dont le nom-
bre est toujours limité, sont des équations primitives essen-

"(d r -.d*) + ^(d;-|id«| = 0 ,
^(d r -.d l)+ g(d S _ P dx)=..

dM dM

dv d»

Des solutions particulières des équations différentielles du
premier ordre.

Olgifcad Oy Google

384 TRAITÉ ÉLEHBKTA1HB

tièdement différentes des intégrales particulières : ces solutions
sont de deux sortes. Les unes ne sont autre cliose que des
facteurs de l'équation différentielle proposée, dans lesquels àx
cl dj- n'entrent point, qui par conséquent étant égales à zéro,
donnent des équations primitives établissant, entre* ct_j\des
relations qui rendent la proposée identique. En cherchant les
diviseurs communs des f< mêlions M et N, on trouvera les solu-
tions de celle espèce, dont est susceptible l'équation
Md*-f-Ndj-=q.

La seconde espèce <)<■ solutions particulières, doni l'équa-
lion j-Ax — xAy = n vM.r' -+- d/ : (2!)7) a fourni un exemple,
est liée intimement à l'équation différentielle dont elle dérive,
quoiqu'elle ne puisse rentrer dans aucun des cas de l'Intégrale
complète, quelque valeur que l'on donne à la constante arbi-
traire, ainsi qu'il est facile de le voir, en comparant les équa-
tions y= cx + n tjt •+- et .** + ^ J = n'. ,*

Voici la théorie qui; Lagrauge, en 1774. donna de ces der-
nières solutions, regardées avant lui comme formait! un para-
doxe dans le Calcul intégral (*).

323. Les solutions particulières, sans être comprises impli-
citement dans l'intégrale complète, peuvent néanmoins s'en
déduire, en cessant de regarder la constante arbitraire comme

invariable. En effet, soit U — o une équation primitive renfer-
mant les variables x, y, et une consiantec; l'équation diffé-
rentielle eorrespondanie, que je désignerai par V = o, sera le
résultai de l'élimination de celle constante, entre les équa-
tions U = o, ^ d.-c-i-jj^ Ay=o (53); mais si l'on suppose
que c soit une tonciiim quelconque de x, on donnera à l'é-

mcccjdu mime sujet "ont Li£nin{;e, emploie ch denom initia ni dans un uni
inverse, et je l'aï lutvi. Il m'a semblé que 1m equirions primitive, qui rciolvenl
I, i equolioris différentielles su ni elro comprises dons leur Integra 1« complète,

nom qnl rappelle ces prarédés.

Digiiizad b/ 1

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET RE CALCUL INTÉGRAL. 3S5

quation U^o une extension tulle, qu'elle pourra représenter
une équation quelconque à deux variables, et par conséquent
aussi toutes les solutions particulières de l'équation V= o.
Cela posé, la valeur que l'équation V — o donne pour y cl sa
différentielle que je représenterai par dy = piix, vérifiant in-
dépendamment de c l'équation V= o, on pourrait supposer c
variable, pourvu que la loi de sa variation fût telle, qu'on eût
toujours dy= pdx. Or, quoiqu'en regardant c comme variable
aussi bien que x, il vienne en général d y= pdx -+■ qdc, p cl
q étant des fonctions de x cl de c, on aura néanmoins dy=pdx
seulement, si q = a : déterminant donc c par cette dernière
équation, et substituant dans U — o la valeur qu'on trouvera,
le résultat satisfera encore à l'équation différentielle V=o.

Dans ce qui précède, j a été regardé comme une fonction
de x et de c; en considérant à son lour x comme une fonc-
tion de y et.de c, on aura dx=mdy, ei raisonnant comme
ci-dessus, on trouvera que, si la valeur de d^, prise en faisant
varier c, esl d* = md_j--l-ndc, l'équation résultante de l'éli-
mination de c , entre n = 0 el U = o, satisfera aussi à l'équa-
tion différentielle V = o.

On peut comprendre ces deux procédés dans un seul, en
faisant évanouir les dénominateurs dans l'équation
dll J dU J dU.

différentielle de U = o, prise en supposant c variable avec x
et y. Elle aura alors la forme

Md*-r-Nd/-HPdc = o:

d r =- s -d^- N d c , d*=- ïî d r - H d C i

et si les fonctions entières M, N sont algébriques, ou, quoique
transcendantes, ne peuvent pas devenir infinies par quelque
valeur de c, le coefficient de de ne disparaîtra que par la sup-
position de l' = o, qui donnera ainsi tout ce qu'on peut tirer
des opérations indiquées ci-dessus.

Les équations auxquelles ces procédés conduisent ne sont
PM, 1. a5

386 . TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

pas nécessairement des solutions particulières d? l'équation
V = o; mais pour ne pas se tromper sur cela, il faut examiner
■ les diverses circonstances que peut offrir l'équation P = o.
Il est d'abord évident que si cette équation donne à c une
valeur constante, elle ne conduira qu'à une intégrale particu-
lière; mais si cette valeur est variable, on ne devra pas en con-
clure tout de suite que le résultat de l'élimination de c entre
P = o et U = o sera nécessairement une solution particulière;
car il pourra encore arriver que l'équation résultante ne soit
qu'un cas particulier de II = o. Pour le reconnaître, il faut éli-
miner une des variables entre celle nouvelle équation et U=o.
Si l'on peut faire disparaître l'autre variable, en déterminant c
par des constantes seulement, on n'a obtenu qu'une intégrale
particulière.

Quand c n'est qu'au premier degré dans U, il n'entre point
dans P, qui ne contient alors que les variables x et y, l'équa-
tion P=o satisfait elle-même à V = o, parce que U = o étant
de la forme Q4-cP = o, V=o revient à PdQ — QdP = o;
mais il est aisé de voir que P = o n'est qu'une intégrale particu-
lière correspondante à c= infini.

Si P était facteur de Q, l'équation Q + eP = o, prenant la
lorme PR + cP — o, donnerait c = — ~jr = ~' 1»a n,J P— o-
Dans ce cas, P n'est point une solution particulière, et n'est
pas non plus une intégrale : en voici un exemple. Soit

U — xy>+cx'—y*—cx r =o, d'où c= £^£ ,
1111 i t

si l'on emploie larelation donnée parle facteur a:— /=o,

l'expression de c devient -; mais l'équation proposée équi-
vaulà /) (^ + cx) = o.

112V. J'applhquerai d'abord cette tbéorie à l'équation
ydx — xAy = n y'd.c 1 -+■ ayant pour intégrale complète
r — ex = n yT+T' (297). En faisant varier c en même temps

OigilizM ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 387

que x fil y, et réduisant ions les termes au môme dénomina-
teur, on a

cdar \fï~+& — d_r ^ 1 -+- C + ( j: V ' <-" H- "c ) d c = o ;
égalant à zéro le coefficient de de, il vient
H ne — o,

y — cx = n v'i + c 3 en x*+y* = n*, et donne la solution par-
ticulière obtenue dans le numéro cité.

Toutes les équations de la forme y= px + V (297), dans
laquelle se irouve comprise la précédente, ont aussi une solu-
tion particulière analogue. Leur intégrale complète, représen-
tée par y = ex + C, C étant «imposé en c, comme P l'est en
p, donne

cdx — dy-h dc = o;

cl posant î+^=o,onen tire la valeur de cd'où dépend la

solution particulière. Cette solution particulière s'est montrée
lorsqu'on a intéyré l'équation y= px-\- P ; car en la différen-
liant on est parvenu à une équation composée des deux fac-
teurs

dp °' P
et le résultat de l'élimination de p, entre

est le même que celui de l'élimination de c, entre

,= ra + C et *+']§ = <>.

Les équations y = jw-l-P'Ont été remarquées d'abord par
Clairaul, tant à cause de la propriété qu'elles ont de s'intégrer
facilement, après une nouvelle différentiaiion, que par rapport
à la solution particulière que cette différentiaiion manifeste sur-
le-champ.

25.

388 TRAITÉ ÉLÉUESTÀIRE *

Soit encore l'équaiion ;
xdx+ydy= ûyjx'+j'—a' ,
dont l'intégrale est

<Jx' -t- j-= — a' = y+c, ou x>— icy — e* — H' = o ,
en faisant disparaître le radical. On trouve

xà.r — cày— [y-hc) dc = o,

d'où il suit

y+c=o,

et par conséquent

v'ar'+y — a' = o, ou x'-\-y — a> = o,
équation qui ne peut résulter de la proposée, par aucune va-
leur constante de c, et qui est donc une solution particulière.
Soit enfin l'équation primitive

(x'+y'-a'}[y-zcy)-i-(x'- a ')€' = o.
En la traitant comme les précédentes, on trouve
[tf+f— a')y
x'~a'

valeur qui, bien que variable, ne conduit pas à une solution
particulière; car si on la substitue dans l'équaiion proposée,
celle-ci, devenant

y{x>+y-a>) _ ri
x'—a' ~~ '

donne

y = o, ou x' + f — a= = o,

équations qu'on lire immédiatement de la proposée, en y fai-
sant c= o : ce ne sont donc point des solutions mais des inté-
grales particulières de l'équation différentielle produite par

325. Une propriété des solutions particulières qui se pré-
sente facilement sur le second exemple, et qui est générale,
c'est que Vêquation différentielle peut être préparée de sorte
que la solution particulière en devienne un facteur. En effet.

DigiNzM bjr Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IM Ùl.HAL. 38p

si l'on pose

xàx +yày=tiAu,
et l'équation proposée deviendra

udu — ud/=o.

Si l'on prenait u = x'+y — a', le radical resterait en évi-
dence dans ki transformée, qui deviendrait

d« — adj- iju = o;
en la dilïércn liant, on arriverait à

d'« — ad'r \fû — = o,

et faisant disparaître le diviseur, il en résulterait

d'« ifu — îu&'y — djd« = o,
équation qui serait encore vérifiée par la supposition de a— o.
Ces transformations pouvant être continuées autant qu'on veut,
il s'ensuit qu'il y a des manières de préparer toutes les diffé-
rentielles de la proposée, pour que la solution particulière y
satisfasse aussi, ce qui n'aurait pas lieu sans cela ; car si, quand

on fait varier la constante c et qu'on pose ^ = o, on a, pour
la solution particulière , comme pour l'intégrale complète,
<iy=pAx, la valeur de û'y devient pour la première

(£'«-££'•)*■

tandis qu'elle est seulement ^ ix' pour la seconde; ce n'est

pas non plus au même facteur que ces deux valeurs satisfont
en général : on voit même que l'équation

d'iiy'û — nuA'y — dj-d« = o,
serait vérifiée par la solution particulière, indépendamment
dt;s différentielles du second ordre.
Le développement elles démonstrations des circonstances que

3go TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

je viens d'Indiquer me mèneraient trop loin; on les trouvera
dans un Mémoire où M. Poisson a éclairai avec succès plusieurs
difficultés qui restaient encore sur la théorie des. solutions par-
ticulières des divers genres d'équations différentielles [*).

326. Pour reconnaître, par ce qui précède, si une équation
primitive qui ne contient pas de constante arbitraire, et qui
satisfait à une équation différentielle donnée, en est une in-
tégrale particulière, ou seulement une solution particulière, il
faut en avoir l'intégrale complète ; celle circonstance, qui n'a
pas toujours lieu, conduit naturellement à la question suivante :

Étant donnée une valeur y = X, qui satisfait à une équa-
tion différentielle, déterminer si elle est ou non comprise dans
l'intégrale complète, et en déduire, s'il est possible, celle-ci.

En supposant qu'on tire de celle dernière y = V, el qu'elle
comprenne r- = X, la fonction V sera nécessairement com-
posée avec la variable x el la constanie arbitraire C, de manière
à se changer en X, par une détermination convenable de C. Si
l'on désigne par C cette valeur de C, el qu'on observe que la
supposition de C = C donne V=X, ou que la différence V — X
s'évanouit quand C — C'=o, on en conclura que, du moins par
son développement, l'expression de V — X doit pouvoir être
mise sous la forme

V— X = V'(C — CT+V'IC— C'I' + etc,
les exposants c, v, etc. élant tous positifs, et les quantités V,
\",eic. indépendantes de C — C.On peuiprendre(C— C'}i l =h;
la quantité h demeurera arbitraire aussi bien que la quantité €;

cl changeant aussi ~ en fi, ^ étant alors > i , il viendra
V— X^Vft+VAf-i-eiC.,

d'où

V — X 4- VA -+- V" -+- etc.,
expression qu'on pourra regarder comme le développement de
la valeur complète de r.

(*) Journal A- I t'iale Pol}i^chr.i^, il* cnhfcr; mTet aussi lu Trailf in-i",
lùme 11, pis» 388.

OigilizM ûy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL- 3<)I

Cela pose, si l'on représente par d^= pdx, l'équation diffé-
rcniïellc proposée, résolue par rapport à dy, celle nouvelle
équation, à laquelle satisfait, par hypothèse, l'équation j = X,
devra èlre vérifiée indépendamment de h , par la valeur com-
plète de y. En désignant d'abord celle-ci par X -H h, il faudra,
pour la substituer dans d y= pdx, chercher ce que devient p,
lorsqu'on y change y en X + k. Soil

le développement de cette valeur de p, les exposants m, n, etc.,
queje suppose rangés dans l'ordre de leur grandeur, seront
nécessairement positifs; car p ne devient pas infini quand
k = o, puisque l'équation y = X, qui ne donne pas tiy infini,
rend Identique l'équation dy=pdx, en sorte que dX = Vdx.
Lorsqu'on fait y = X + k, on a pour résultat

dX +d k = ( P -+- P' A- + P"*- + etc.) d*,
que l'équation dX = Pd* réduit à

d* = (P'A* + P'A* + Mc.]dx;
et remettant pour k le développement

VAh-V'A> + «c,

il vient

{P'A-d^(V'+V*/i''-' -f- etc.)- J
+ P' A-d x (V'+ VA"— + etc.)- ( A) ,
4-etc. )

équation d'après laquelle il faut déterminer V, V, etc., indé-
pendamment de k. En ne prenant d'abord que les termes où
cette quantité a le plus petit exposant, on forme l'équation
AdV' = P'V'"A"d*,

qui ne peut avoir lieu, quelle que soit A, que quand m = i ;
dans ce cas A disparaît et il vient

dV' = P'V'd*, V = el"^.
Quand m>i,on ne peui plus comparer le premier terme
p*y'"A"djr du second membre au terme AdV'du premier;
mais on fait disparaître celui-ci en posant dV =a <j, ce qui

Iga TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

donne V— vomi., ou plus simplement, V'= i ; puis on sup-
pose f* = m, et l'on a dV" = P'd x, d'où il résulte V*= f\ v i\x%
et en poursuivant de cette manière on trouve tous lus autres
termes de la série.

Quand m <; i, il n'est plus possible de satisfaire à l'équa-
tion (A) en aucune manière, puisqu'on ne saurait comparer le
terme P'V'*/rdj; ni au terme AdV, ni à aucun de ceux qui le
suivent, et dont les exposants surpassent tous t'unité; l'équa-
tion j*=X ne pouvant alors admettre une constante arbitraire,
n'est pas une intégrale particulière, mais une solution parti-
culière.

327. Ceci fournil un procédé pour découvrir immédiatement
les solutions particulières des équations différentielles du pre-
mier ordre, sans connaître leur intégrale complète. En effet,
le développement de p. quand on y change / eny + k, serait
en général, par le théorème de Taylor,

cl lorsqu'il prend la forme

P+.p'A~+eic,

m étant <i, le coefficient différentiel |jj devient infini (89) :

il faut donc que la différcnliation par laquelle on passe de p à
ce coefficient, amène un diviseur qui s'évanouisse. 11 résulte

de là que si l'on représente ^£ par ^> toute solution particu-
lière donnerai, — o, et sera par conséquent un facteur de L,
et réciproquement, tout facteur de L qui ne le sera pas en
même temps de K, et qui, étant égalé à zéro, vérifiera l'équa-
tion différentielle proposée, en sera une solution particulière.

On évite la résolution, par rapport à Ay, de l'équation diffé-
rentielle proposée, en remarquant que si Z = o désigne celle
équation. Z étant fonction de x,y et p, lorsqu'on écrit pdx au
lieu de d v, on u

dZ . dZ , dZ ,
(T7 <1.< +- S J*f ■+ (T/ -;M> = *.

Digiiizcd By Google

DE CALVl'L DIFFÊUENT1EL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 3u.3

dy dZ*
dp

et que si l'on a préparé l'équation Z = o de manière qu'elle ne
contienne ni fractions ni radicaux, il suffira, pour rendre |j£
dZ

On n'obtiendrait ainsi que les solutions particulières dans
lesquelles entre y; mais on parviendrait à celles qui ne ren-
ferment que x, et qui sont de la forme x — com(., en considé-
rant, dans la proposée , x comme fonction de /.

328. Je vais chercher par cette méthode , d'abord les solu-
tions particulières de l'équation

xdx + ydy = dy \jx' + y — a'
du n° 324. Cette équation devient, après l'évanouissement du
radical,

x'dx* ■+■ ixydxdy-\- (a' — x') d_> J = o ,

ou

x' + ixyp + [a'—x*)p*=o,
et la différenlialion donne
dZ_
dp-

la solution particulière cherchée doit donc être telle, qu'à l'aide
de la valeur que sa différentielle fournil pour p, elle vérifie en
mémo temps les deux équations

x? + *xyp+{a'— X*)p>:=f>,
xy + (a> — x')p = o.
Il suit de là que, sans, le secours de sa différentielle, elle véri-
fiera l'équation résultante de l'élimination de p entre les deux
précédentes. Cela posé, l'équation

3ç)4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

multipliée par p et retranchée de la proposée, conduit à

x' + xyp = o, d'où p — —

cl substituant celte valeur de p dans la première, on trouve
l'équation

qu'on sait élre une solution particulière de la proposée.
L'équation plus générale y= px + P , étant traitée de la

— i c'est donc à l'équa-

dp

que doivent satisfaire les solutions particulières ; et elles ré-
sulteront de l'élimination de p entre celle-ci cl l'équation diffé-
rentielle proposée.

Enfin, pour donner un exemple des solutions particulières
de la forme/ = cortii., je prendrai l'équation

de laquelle on tire immédiatement

g-.-"»— ^

Celte expression ne peut devenir infinie que quand l'exposant
m — i est négatif, et qu'on a en même temps / = «, valeur
qui ne satisfait à la proposée que lorsque m est positive : il
faut donc que l'exposant m soit une fraction positive. Dans ce
cas jr= a est une solution particulière, tandis que l'intégrale
complète est

(r— a}>—

' | ~ — — bx = const.

329. En général, parmi les fonctions algébriques, il n'y a que
les radicaux qui acquièrent un dénominateur par la différen-

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGHAL. 3q5

que p a une valeur Unie : c'esl donc dans les radicaux qu'il
faul chercher les solutions particulières, en égalant □ zéro les
fonctions qu'ils affectent, et en s'assuranl que les équations
résultantes satisfont à ta proposée. Par ce procédé, l'équation

arda: + ydy= Ay^x'-hy 1 — «'

donne immédiatement x' +y* — a'=o; et l'équation

ydx~ xdy = n\jdx' -r-dy 3 ,
de laquelle on lire

—xy , n^'-i-r'— «'
dx n'—x' n'—x* '

conduit à x 2 +y—n , =o, comme on l'a déjà trouvé de plu-

Das méthodes pour résoudre par approximation les équations
différentielles.

330. Quand une équation différentielle ne peut s'intégrer
par aucun des procédés connus, il faul chercher à la résoudre
par approximation, c'est-à-dire à en tirer la valeur du y en x,
au moyen d'une série. On a déjà vu dans le n" 298 comment
celle de Tajlor pouvait s'appliquer à cet usage; on peut aussi
prendre pour y une série à coefficients indéterminés, ordon-
née suivant les puissances de x; mais il faut le plus souvent
des artifices particuliers pour déterminer les exposants, lors-
qu'ils ne suivent pas la progression des nombres entiers.
Quand la forme de celle série est connue, on parvient à trou-
ver ses coefficients, en la substituant, ainsi que ses différen-
tielles, au lieu de y, Ay, d'y, etc., dans l'équation proposée.

Si l'on avait, par exemple, l'équation

dy-+-ydx = mx'dx,

on supposerait

y = Ax* + Kx**-' +Cx*+* + etc. l

mettant celte valeur et sa différentielle dans l'équation propo-
sée, en observant d'assembler les termes de manière qu'on
puisse former un nombre suffisant d'équations pour détermi-
ner les exposants et les coefficients, sans tomber dans des con-

3g6 TRAITÉ ÉLÉMEKTA1RK

traditions, on aurait

*hx* ~ ' + („+ 1 ) Rr a + («+ 2) Or"- 1 -' + (*+-3) D^^V etc. j .
-mi' -+- A*"+ B.r a+ '-f- ' Caf^'+eic.'
équation qu'on rendrait identique en faisant n = a — i, ot

et A =

" «(« + .)(« + !.)'

ce qui donnerait

(» + ,)(«+>)

Cette valeur de y est incomplète, puisqu'elle ne renferme
point de constante arbitraire ; il en sera de même pour tous les
cas où la constante ne peut être isolée de la variable x, dans le
développement de l'intégrale; mais, d'après ce qu'on a vu dans
le n° 299, on arriverait à un résultat aussi général que l'inté-
grale complète, si l'on pouvait luidonner une forme telle, qu'en
y faisant x = a, il y\a\.y = b; or c'est ce qui s'effectue en po-
sant x = a + t, y = b + u, et prenant pour représenter u une
st'rie dont tous lus tenues s'évanouissent quand t = o.

L'équation d/+^d37 = m^da: devient par cette transfor-
mation, du + (b-i-u)dt = m(a + t) m dt;ei faisant

il faudra supposer dans celle équation a — i = o, ou a =
il viendra

, „ mna— — ma' ■+- b
K = ma" — b, B = ,

2

„ mu (n — i ) a—» — mnn— ' + ma" — b

Oigiiized b/ Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL 3p7
331. L'emploi îles sêi i-'s a coefficients iniiélcriiiincs, dans [m
éq ua lions du premier degré eidu second ordre, présente quel-
quefois des circonstances qu'il est à propos de connaître, et
dont l'équation très-simple

d'y -+- ax° ydx'^o
offre un exemple remarquable.
Si l'on suppose

y = Kx' + Bx*** + Cx"^ 3 + etc. ,

on aura

d'7-=t«(— i)A«— '

+ (»+,aj( a + a— i)B« a+, - a

+ + (« + **— i)C^« +1 *- a +ctc.!d^,
ax°yAx'= j aA** + "

+ «C^+****-MlB.|djrt
On voit d'abord qu'il ne sera possible de faire correspondre les
termes

«(a—iJA*" - », «A**"*"",
par lesquels commencent respectivement les expressions pré-
cédentes, que dans le cas particulier où n = — 2; mais il suf-
fira de poser

pour faire disparaître le premier terme de la valeur de d'y; et
le second, dont l'exposant est a + S — 2, pourra être comparé
avec flA" 4 " : il résultera de là

S — 2 = », d'où 3 = n-t-2.
A partir de ces termes, les deux séries se correspondront exac-
tement, et pour déterminer les coefficients , on aura les équa-
tions

(«+ «)(«+ J-i)B + fl A=o.
[ B -i-2j] (a+ai— i)C + aB = o,
etc.

dans lesquelles A demeure arbitraire.

3û8 TRAITÉ ÉLÉHEKTAIRK

Si l'on y met successivement les deux valeurs de * avec
celle de 3, on obtiendra pour jr les deux développements

A—

( n + .)i n + 2 )( 2 «-|-3)( 2 / i + 4)(3n+5](3 n + 6)

t+etc,

A*-

(n4-2)(n + 3)[3n+4)(?.n + 5) l 3m-6](3n+7]

Ils ne sont encore que particuliers, puisqu'ils ne contien-
nent que la constante arbitraire A; mais en écrivant dans le
dernier A, à la place de A, et prenant ensuite leur somme,
on aura, à cause de la forme particulière de l'exemple -pro-
posé [309), l'expression générale de y.

332. En terminant ici ce qui regarde l'intégration approchée
des équations différentielles, je dois dire que les méthodes
exposées ci-dessus, ne donnant que bien rarement des séries
convergentes, et seulement pour des valeurs très-limitées de
la variable indépendante, ne sont guère en usage. Dans les
problèmes physico-mathématiques auxquels s'appliquent les
approximations du Calcul intégral, il ne s'agit le plus souvent
que de déterminer les petites corrections qu'il faut faire à une
première valeur approchée , connue d'ailleurs et considérée
comme un étal moyen. La vraie valeur cherchée ne s'en écar-
tant que par des fonctions dont on peut négliger d'abord le
carre et les puissances supérieures, on réduit au premier
ilr^ré les (/quittions (liliVrniiiolles qui. déterminent ces fonc-
tions, et l'on y applique ensuite des procédés qui sont encore
trop variés pour pouvoir entrer dans les éléments; aussi les
liouve-t-on toujours développes dans les divers traités spé-
ciaux où l'on s'en est servi.

Oigiiized t>/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTEGRAL- iJgg

Résolution de quelques problème* géométriques , dépendants
des équations différentielles.

833. La mise cd équation des problèmes géométriques dé-
pendants des équation» différentielles, ne reposant que sur
les propriétés dus tangenti-s, iJi:s normales, des rayons de cour-
bure, ne présente pas plus de difficultés qui- les autres trndur-
tions anaJj-tiques, lorsqu'on connaît les expressions des lignes
qu'il faut considérer; aussi n'en donnerai-jc que quelques
exemples.

J'observerai d'abord que l'intégration des équations diffé-
rentielles du premier ordre s'appelle aussi Méthode inverse des
tangentes, parce que toute équation différentielle de cet ordre,
d r

donnant l'expression de ^ en x cl en 7-, fait connaître la rela-
tion qui existe entre les coordonnées et la sous-tangente, ou la
tangente, ou la normale, etc., dans lacourbe qu'elle représente.

En effet, si de l'équation proposée, on tire i^- — p, la sous-tan-

gente aura pour expression^, la langenie ^^'^ --» etc. (■66).

fin inventa le Calcul différentiel pour mener des tangentes aux
courbes, c'est-à-dire pour résoudre le Problème direct des tan-
gentes; on s'occupa ensuite du Calcul intégral, pour parvenir aux
équations primitives des courbes par les propriétés de leurs
tangentes; mais les progrès et les nombreuses applications de
ce calcul ont fait abandonner la dénomination de Méthode in-
verse des tangentes, qui ne convenait.qu'à un seul de ses usages.

Dans les premiers temps on chercha à déterminer par les
aires, ou même par les arcs de quelques courbes connues,
l'ordonnée de la courbe demandée; depuis, on a laissé ces
constructions de côté, parce que, quelque élégantes qu'elles
fussent dans la théorie, elles étaient toujours moins commodes
cl surtout moins exactes, dons la pratique, que les formules
approximatives qui ont pris leur place.

Une équation différentielle ne peut se construire en général
que lorsqu'on en a séparé les variables, parce que l'expression

i ii \i il i i.i ui \ i \ti.i:

do l'une d'elles ne iti'-pend plus que île la qu.idr.imre d'une
courbe dont l'équation primitive est connue.

33V. Je prends, pour exemple, la construction des courhi-s
dans lesquelles la sous-tangente est égale àuoe fonction donnée
de l'abscisse x; l'équation différentielle de cette courbe

d r "

se séparent sur-le-champ, dans cette équation, et il vipnt

sera — = X, X désignant la fonction donnée. Les variable»
se se

âr-

r ~ X ™-' r ~

lité constante m, on a — d - r — ; et désignant par L/lc
X x

logaritlimc de y, pris dans le système dont le module est m,
l'intégration donne

En construisant d'abord la courbe DN , Jlg. 5j , telle que l'or-
donncecorrespondanleàrabscisseAP,soilPN=^ t l'aire ADN1'
donnera la valeur de J—^—- On réduira celle aire à un rec-
tangle FQ, dont le coté AF soit m; l'autre côté. AQ , expri-
mera ~j ' décrivant ensuite, sur le module m, la loga-

riibmiquc ER, donl les ordonnées soient perpendiculaires à
l'axe AC, ci élovanipar le point Q la perpendiculaire Ity, on aura

L.ltQ^AQtmj.ouL.RQ:^ j"'-^ : RQ sera donc égale
à l'ordonnée l'M de la courbe cherchée.

Il tant bien remorquer que cette consiruriion n'exige pas
que l'on ait l'expression analytique de la fonction \ ; on pour-
rail prendre :'i sa place l'ordonnée d'une courbe quelconque
rapportée à l'axe AB, el effectuer sur celle ordonnée et sur la
ligne arbitraire m, les opérations graphiques indiquées par les
formules ci-dessus. On voil aussi que la ligne m n'a clé intro-
duite que pour rendre ces formules homogènes, et peut éire
supposée égale à l'unité.

ûlgiicsd B'i Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 4oi

335. Je vais encore rapporter la solution d'un problème cé-
lèbre dans les premiers temps où l'on s'est occupé du Calcul
intégral, du problème des trajectoires. Il a pour objet de déter-
miner la courbe oui coupe, sous un angle donné, toutes celles
d'une espèce donnée. On entend ici par courbes d'une espèce
donnée, les diverses courbes particulières qu'on obtient en
assignant successivement a l'une des constantes d'une équa-
tion primitive toutes les valeurs possibles. Si, par exemple,
on fait varier le paramètre d'une parabole, il en résultera une
suite de paraboles rapportées au même axe, ayant même som-
met, et dont les extrêmes seront d'une part l'axe, et de l'autre
la ligne qui lui est perpendiculaire et qui passe par le sommet:
la courbe qui coupera toutes celles-ci, sous un angle donné,
en sera la trajectoire (*).

Soient D,N„ DN, DIS', etc., (Jig. 58), les courbes coupées et
MZ la courbe coupante, ou la trajectoire cherchée ; si par l'un
quelconque M de ses points on lui mène une tangente Mf, cl
qu'on lire aussi celle de la courbe coupée qui passe par ce
point, l'angle TM(, d'après l'énoncé de la question, doit être
égal à l'angle donné. Je désigne par s? , f les coordonnées des
courbes coupées, para;, / celles de la courbe coupante, et
par a la tangente trigonométrique de l'angle constant TM t, qui
est épi à la différence des angles MTP, M/P, dont les tan-
gentes respectives ont pour expression et ~ (06) ; la re-
lation

tangTHi = lang(M/P-MTP)

dj d^

donne ensuite a= — g- d y [ Trig., 26}.
Je supposerai ici que l'on connaisse l'équation primitive des

(•) On donne aussi en Mécanique le nom do trajectoire 1 la courbe que dé-
crit on corps sollicite par des forces quelconques; mais il no saurait élre ques-
tion do cette espèce de trajectoire dam un ouvrage consacré uniquement ii
l'Analysa et ■ la Géométrie.

fi- fct. 1. 9.6

4oa

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

courbescoupées;on en tirera par ladiffércniiHtion,d/ = /)d*',
el l'équation ci-dessus deviendra

11 faudra écrire partout x et y, au lieu de x' et de y, parce
qu'au point M, la courbe coupée et la courbe coupante ont les
mêmes coordonnées. Cela fait, si l'on élimine, entre l'équa-
tion (A) et l'équation primitive dos courbes coupées, la con-
stante dont les différentes valeurs particularisent chacune de
ces courbes, on aura un résultat qui embrassera toutes leurs
intersections successives avec la trajectoire, cl en sera par con-
séquent l'équation.

Soient, pour exemple, les paraboles ayant même axe et
même sommet, et dont l'équation est y* — ax 1 "; il viendra

p = On pourra chasser immédiatement de cette ex-

pression, au moyen de l'équation proposée, le paramétre a qui
particularise chaque parabole d'un même degré; substituant lu
résultai dans l'équation (A), après avoir changé 3? et y en x
et en r. el divisant ensuite par «"-y- 1 , on trouvera
a[nxAx -+- myûy) -+- mydx — nxd/ = o.
Celte équation étant homogène, peut se traiter par le pro-
cédé du n° 283. Lorsqu'on 0 m = n = 1 , elle devient intégra-
ble en la divisant par x'-hj J , puisque

eique

on a donc

OU

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL ISTÉCHAL. ^uî

en changeant la constante arbitraire. Si l'on fait

on retombera sur l'équation des spirales logarithmiques, qui
ont la propriété de couper leur rayon vecteur sous un angle
constant (128). En effet, dans le cas actuel, les courbes cou-
pées ne sont autre chose que toutes les lignes droites menées
par l'origine des coordonnées, et dont l'équation est y 1 = ax' .

Si l'on voulait que l'angle TMf fût droit, il faudrait sup-
poser a infini, et par conséquent ne tenir compte que des
termes qu'il multiplie; l'équation ci-dessus se réduirait
\nxà,x-\^myAy = n, dont l'intégrale m'+ my'=c montre
que la courbe qui con]ie '•< angles (tiuits toutes les paraboles
proposées, est une ellipse décrite sur le même axe que ce*
courbes et ayant pour centre leur sommet commun. Les tra-
jectoires où l'angle TM/ est droit, s'appellent- Iriijwtoires or-
thogonales, et la supposition de a infini, dans l'équation (A),

donne i + p ^ = o pour leur équation différentielle.

336. Les considérations géométriques, comme on l'a annoncé
dans le n° 298, établissent aussi la possibilité des équations
différentielles à deux variables. En effet, quand il s'agit d'une

équation du premier ordre, on n'en lire que la valeur de ^

qui exprime la tangente trigonométrique de l'angle que fait
avec la ligne des abscisses la tangente do la courbe relative à
cette équation. Prenant donc arbitrairement les coordonnées
AP=a, PM=A, d'un premier point M [fi'g. 5g), on, mènera la
ligne MT faisant avec MQ, parallèle à AB, un angle M'MQ

tir

dont la tangente soit égale à la valeur correspondante de ~ :

celte droite touchera au point M la cOurbe cherchée. En re-
gardant la courbe ei sa tangente, comme confondues ensemble,
dans les environs du point de contact, la droite MT détermî-
nera, pourun point P', infiniment proche do P, l'ordonnée P'M'
avec laquelle on calculera, par l'équation différentielle propo-

4o4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

sée, la tangente de l'angle M"M'Q' relatif à la tangente M'T'
consécutive à MT. La continua lion de ce procédé donnera un
polygone qui, à mesure qu'on en multipliera les côtés, diffé-
rera d'autant moins de lu courbe à laquelle appartient l'équa-
tion proposée. 11 résulte aussi de celle construction , qu'une
équation iliiTérwiiielIc du premier ordre représente une infi-
nité de courbes, puisqu'on peut prendre le premier point M
où l'on voudra.
Dans les équations du second ordre, qui ne donnent que la

valeur de jMjj on substitue les paraboles osculalrices aux tan-
gentes. Avant pris arbitrairement un premier point dont l'ab-
scisse et l'ordonnée soient x = a et/ = b, on forme l'équa-
tion

y — b = A [x — a)-i-S[x — a)',
qui appartient à une parabole passant par ce point. En la dif-
fércntiani deux fois de suite et faisant x = a, on en tire

dx tl x'

le coefficient A demeure arbitraire, mais B est déterminé en
mettant dans l'équation proposée, a, b, A, au lieu de x, y,

on construit donc en premier lieu une parabole MN
[fig. 60), qui passe parle point M, el dont la tangente à ce point
fasse, avec l'abscisse, un angle ayant A pour tangente irigono-
métrique. On calcule la valeur de l'ordonnée P'M' de celte

courbe et celle de ~ correspondantes à un point P\ très-près

du point P, sur l'aXc des abscisses ; puis mettant ces valeurs
dans l'équation différentielle proposée, on en déduit une nou-
velle valeur de En représentant celle-ci par 28,, el par
a„ b, et Ai celles de AP', P'M' et ~i on forme l'équation

r— 6» =r A, (»—«,) + B,
de la seconde parabole osculalrice M'.Y avec laquelle on en
déterminerait une troisième, et ainsi de suite.

DigilizKi Dy Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IXTLGRAL, 4o5

Od modifleraii aisémem ce procédé pour y remplacer la pa-
rabole osculolrke par le cercle oscillateur, ou pour ['étendre à
lous les ordres.

337. Le problème suivant va montrer comment les considé-
rations géométriques conduisent à la théorie des solutions par-
ticulières, que j'ai exposée dans le n° 323. Trouver une oourbe
telle, que loutes lus perpendiculaires abaissées d'un point
donne sur les tangentes de cette courbe soient égales? Pour
parvenir à l'équation différentielle, il faut se rappeler qu'en
nommante et y les coordonnées d'une courbe, ciy* celles
de sa tangente, l'équation de cette droite est

7'-r=j£(« , -«)(»);

prenant pour origine des coordonnées le point connu, duquel
doivent être abaissées loutes les perpendiculaires, chacune

d'elles aura pour équation f = — ^ [Trig„ 90), et sa lon-
gueur sera exprimée par^"+y. En mettant pour x" et
pour y 1 les coordonnées du point où elle rencontre la tan-
gente qui lui correspond, et dont les valeurs s'obtiennent par
les deux équations ci-dessus (Trig., gzj, on aura, en vertu de

[xdy — ydx)dx

r-ày* J dx' + dy-

r, _ xdy— ydx

yM + dy 1

l'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc

xdy — ydx = n sjdx'-t dy*-
Cela posé, il est facile de voir que le cercle dont le rayon = n,
et dont le centre est à l'origine des coordonnées, satisfait à la
question. Ce cercle ayant pour équation y>-t-x* = n', est pré-
cisément la solution particulière trouvée n° 297; mais toute
ligne droite située, par rapport à l'origine des coordonnées, de
manière que sa plus courte distance à ce point soit égale à n,

/

Oigitized ûy Google

406 traité m.émebtaibb

résout également le problème proposé; ei comme il y a une
infinité de lignes droites qui peuvent remplir cette condition,
c'est dans l'équation qui les comprend toutes que réside l'in-
tégrale complète de l'équation différentielle trouvée ci-dessus,
et qui est en effet

y— cx = nifî+? (297).

Une circonstance digne de remarque et qui s'aperçoit sur-le-
champ, c'est que toutes les lignes droites dont on vient de
parler seront nécessairement touchées par le cercle représen-
tant la solution particulière, puisqu'il a pour rayon la perpen-
diculaire abaissée sur chacune d'elles.

La même relation a lieu entre les diverses courbes que re-
présente l'intégrale complète d'une équation différentielle du
premier ordre, el celle qui résulte d'une solution particulière
de cette équation : lu dernière touche toutes les autres. En
effet, l'équation différentielle, ne déterminant que la direction
de la tangente, doit être satisfaite par toute courbe qui, dans
on point quelconque, aura la même tangente que l'une des
courbes déduites do l'intégrale complète ; or, c'est ce qui ar-
rive à la courbe qui louche toutes celles-ci.

Il suit de là que la développée d'une courbe n'est autre
chose que la solution parlicolière de l'équation différentielle
qui représente toutes les normales de cette courbe (80), et
que celle-ci, c'est-à-dire la développante, est pareillement la
solution particulière de l'équation différentielle commune à
tousses cercles osculateurs, mais avec la différence que les
contacts sont du second ordre.

La liaison établie dans le n" 323, entre les intégrales com-
plètes et les solutions particulières, se déduit aussi des consi-
dérations géométriques; car chaque point du cercle de i'excm-
pie précédent peut être regardé comme l'intersection de deux
tangentes consécutives, eVsi-à-diro comme l'intersection de
deux droites fournies par deux valeurs consécutives données à
la constante c; l'abscisse et l'ordonnée de cette intersection
dépendent des valeurs de v, qui par conséquent est à son tour
fonction do ces quantités, ou de x et de y. 11 est évident que
pour former l'équation d'une liy ne consécutive àccllequercprc-

Digltlzsd by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 407

sente l 'équation

il faul diffé rentier celle-ci en faisant varier c ; el puisqu'on ne
cherche que l'intersection de ces lieux lignes, point où leurs
coordonnées sont communes, on doit regarder x et y comme
constants: celte intersection sera donc déterminée par les
deux équations

si l'on assigne à c une valeur particulière. Mais si l'on élimine

culier, embrassera tous les points résultants des rencontres
des droites fournies par toutes les valeurs de c, el combinées

solution particulière, et qui se déduit encore Ici de la varia-
tion attribuée à la constante arbitraire de l'intégrale complète.
Les mêmes remarques se vérifient sur les développées, lorsque
l'on considère ces courbes comme produites par les intersec-
tions des normales consécutives de ia développante (80).

De l'intégration des équations différentielles contenant trois
on nu pins grand nombre de variables.

Des équations différentielles totales,
338. Les fonctions qui dépendent de deux ou d'un plus grand
nombre do variables, diffèrent de relies d'une seule, en ce
qu'elles oui pour chaque ordre plusieurs coefficients différen-
tiels. Si z, par exemple, csl une fonction de deux variables, il
aura , pour le premier ordre, deux coefiicienls différentiels,

savoir, jj^j l'un pris en faisant varier x seul, el l'autre en

faisant varier y seul. Dans le second ordre, le nombre de
coefficients différentiels s'élève à trois, et s'accroît ainsi suc-
cessivement d'ordre en ordre Pour remonter des coeffi-
cients différentiels d'une fonction de deux ou d'un plus grand
nombre de variables, à cette fonction, il se présente plusieurs

Oigiiizea Dy Google

4o8 TRAITÉ ÉLÉMENTA1BE

eas : r° on puni avoir tous ses coefficients différentiels d'un
même ordre, exprimés par les variables indépendantes, ce qui
donne explicitement les différentielles totales de la fonction
cherchée, à laquelle on parvient par les procédés exposés dans
les n™ 278-280 ; a° la fonction elle-même peut entrer avec les
variables indépendantes, dans les expressions des coefficients
différentiels, ce qui fournil une équation différentielle totale ;
3" enfin, on peut n'avoir qu'une relation entre ces coefficients,
la fonction dont ils dérivent et les variables indépendantes.

339. Je m'occuperai d'abord du second cas, en considérant
l'équation

Pdar-i-Qd/-i-Bdï = o.

Elle s'intégrerait par le procédé du n°280, si le premier mem-
bre était une différentielle exacte à trois variables ; mais s'il ne
l'est pas, il est susceptible de le devenir, par le moyen d'un
facteur convenable, quand celle équation dérive d'une équa-
tion primitive « = c ; cela se voit comme pour le cas de deux
variables (289). En effet, l' équation différentielle proposée doit
alors s'accorder avec

du. d Uj d Kj

iix dj- - da

c'est-à-dire que les valeurs de Az, tirées de l'une et de l'au-
tre, doivent être identiques, indépendamment de Ax et de
dj (136) ; or ces valeurs étant respectivement

-£<-Σ<r.

a« = l»Pd*+ ( .Qd ) *+|,Bd».

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. foç)

Cela posé, pour que cette différentielle soit exacte, il faut
encore qu'elle vérifie les conditions

d>P ^ d d ult _ d.j*P d-i.Q _ d.ftR

dj dx ' dx ~ d^ ' àz — d/ '

dont le développement fournit les équations
m J / dR - dP\ „ d« _ du

- "a>J +Q di~"d>-

On aperçoit bienidl que la fonction fi disparaît quand on mul-
tiplie la première de ces équations par B, la seconde par Q, la
troisième par F, et qu'on ajoute les produits; car la somme,
étant divisible par j», se réduit à

«

équation de condition qui doit d'abord être satisfaite par la
proposée, pour que celle-ci puisse devenir différentielle exacte,
au moyen d'un facteur, et qu'elle puisse par conséquent déri-
ver d'une équation primitive à trois variables, ou, ce qui est la
môme chose, être vérifiée par une fonction de deux.

Celle dernière considération mène aussi à l'équation (B),
par l'application immédiate du théorème du n" 278; car si l'on
avait l'expression primitive de z en x et en y, et qu'on la sub-
stituât dans celle de d z tirée de l'équation
Pda:+Qd/-!-Rda = o,
il en résulterait iiér(!SS;»ircm<Mil une clillrivnlielle i.'viMy il
deux variables, cl de la forme

• dp do
dz = pdx + qdy, ou ^ = ^'

Hais dans le cas actuel, où

/ t tO TBA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

P,Q, R renfermants, il faut, dans les différentia lions indiquées,
le faire varier aussi, et meure en conséquence p et q à la place

de ^ et de ~ ; alors, au lieu de ^ = i^i il viendra,
ax ù.y a.y ax

<i r

dp Ax * os

|C]

Si l'on substitue — ^. — ^> à la place de p et de q, on aura,
après les réductions,

c'esl-à-diro l'équation (B) du numéro précédent.

Pendant longtemps on a appelé équations absurdes, et l'on
regardait comme insigni fiante s, celles qui ne satisfaisaient pas
à l'équation (li) ; mais Monge a fait voir que toutes les équa-
tions différentielles à trois variables avaient une signification
réelle, cl que tandis que celles dont l'intégrale était exprimée
par une seule équation entre les trois variables, appartenaient
à des surfaces courbes, chacune des autres représentait une
infinité de courbes à double courbure, jouissant d'une pro-
priété commune. Je m'occuperai d'abord des premières.

340. Quand l'équation (B] est satisfaite, deu*. quelconques
des équations (A} suffisent pour déterminer le facteur f<, et
l'on va voir que l'intégration delà proposée se ramène à celle
des équalions à deux variables.

Pour cela, soit fi le facteur qui rend intcyrable la différen-
tielle

Pd^ + Qd.(-,
lorsque l'on y regarde * comme constant; en posant

/( f tPd*+ f tQd/) = U,
on aura pour l'intégrale cherchée

IJ +Z = o,

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 4ll

où Z désigne une fonction de z seul. Si maintenant on diffé-
rence celle intégrale, en j faisant tout varier, et en observant
que

dU _ dU

on aura l'équation

dont la comparaison avec la proposée donnera
i) dU , dZ

. Us r dt'
mais, pour que la détermination de Z puisse avoir lieu suivant
l'hypothèse oublie , il faudra que le second membre de cette
dernière équation se réduise à une fonction de z et de Z, au
moins après qu'on en aura chassé y, par sa valeur prise dans
l'équation U-t-Z = o: considérant donc alors / comme une
fonction de x, de z et de Z, on aura l'équation de condition

d d(„R

dU\

d* "*" d.r
ou, en développant,

dR d, d'U , l_n , „d f d'U \ dy .
l 'K + "d^~IrfI + V f d7 + "o7 _ 57ïï7j<î7-°'

Or, l'équation différentielle proposée, éuuil mise sous la forme

P , Il ,

d/=- g d*_ Q dJ,

donne

Ay _ P

aï - y

4<»

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

deplus.lefacieurfi.rendanlexacieladifrérentielle fiPd-r+ftQdr,
satisfait à l'équation

et si l'on tire de cette dernière la valeur de ~ i pour la sub-
stituer, avec celles de 1

dans l'équation de condition trouvée plus haut, le résultai
étant réduit avec soin, sera précisément l'équation (B) : ainsi
quand elle est vérifiée, l'intégration de l'équation différentielle
proposée à trois variables ne dépend que de celle des équa-
tions à deux variables.

341. Lorsque les différentielles dx,ày et dz montent au delà
du premier degré dans l'équation proposée, elle ne peut s'in-
tégrer par ce qui précède que quand elle satisfait à une nou-
velle condition que je vais faire connaître sur l'équation
Pd*'+Qd^ J 4-Rdz 1 +2Sd:rd i r+2Td:cdz-r-:!Vdrdz=o.

Pour qu'elle puisse résulter d'une équation primitive u = c, il
faut, avant tout, qu'elle se ramène à la forme

ou, ce qui est la même chose, qu'en la résolvant par rapport à
l'une des différentielles dx, ày, dz, les deux autres sortent
des radicaux : or, c'est ce qui n'arrive pas toujours; car on a

± V (P— PB) «V + a(TV— RS) 'dxd r + (V*— (JB) oy },
et si la quantité qui est sous le radical n'est pas un carré par-
fait, ou du moins si l'on n'a pas

(TV — ItS)'= (T' — PB ) { V 1 — QR),
les différentielles et dy resteront engagées sous ce radical.

d'U d'U dy
d*dz' djdz' dV

P'd ; c-HQ'd r + R'dz = o (339),

ds = i{_Td^- Vd r

Oigiiizfid b/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. .{ i 3

En général, quel que soit le degré de l'équalion proposée, par
rapport à Az, Ax, ày, il faut qu'étant ordonnée suivant les
puissances de Àz, elle puisse se décomposer en facteurs de la
forme

Az — pAx — qAy = a.

Des équations différentielles totales qui ne satisfont paa aux
conditions d'intégrabilité.

342. J'ai fait voir, dans le n" 339, qu'une équation diffé-
rentielle du premier ordre à trois variables, de la forme
PAx + Qd/-f- Rdî = o, ne pouvait èlre satisfaile par une
fonction de deux variables, qu'autant que l'équation

Ay ày di dx ^ Az Az

était identique par elle-même ; mais en établissant une dépen-
dance quelconque entrer,/, s, on changera l'équalion pro-
posée, dans une autre qui ne contiendra plus que deux de ces
variables, et déterminera par conséquent l'une de celles-ci en
fonction de l'autre.
Si l'on avait, par exemple, l'équation

Az _ xix+yiy

qui ne peut remplir la condition énoncée ci-dessus, tant que
a et b ne sont pas nuls, et qu'on j fit y= <f (*), ? désignant
une fonction quelconque, elle se changerait en

' d» _ [£-j- I j£i^i»l]d;
*-«-*(*-„)+,(*)[,(*)-»]'
et donnerait autant de relations différentes entre z et x, que
l'on assignerait de formes particulières à la fonction f .
En prenant j{x) =x, on aurait

Az _ ixAx _ *Ax

z — c x{x — a] -i-x(x — b) ~ sx-ii — 6'

d'où l'on tirerait z — c = C (2 x — a— b) , C étant une con-
stante arbitraire : et la proposée serait satisfaite par le système

4 1 4 TRAITÉ ÉLÉHEKTAIHE

dés équations

i — c = C(î*— a— b) )'
Newton, dans son Traité des Fluxions ['), avait déjà indiqué
cette manière de résoudre les équations différentielles qui
contenaient plus de deux variables ; mais elle a l'inconvénient
d'exiger une intégration pour chaque résultai qu'on veut obte-
nir, et Monge a remarqué, en 1784. qu'on pouvait, par l'intro-
duction d'une fonction arbitraire, parvenir à un système géné-
ral d'équations qui en donnât une infinité de particuliers,
satisfaisant tous à la proposée.

343, Le procédé que l'on doit suivre pour intégrer l'équation
Pda:-t-Qd/+llds = o,
par une seule équation primitive, lorsque la chose est possi-
ble (340), conduit aussi à la solution la plus générale que l'on
puisse obtenir pour cette équation, dans le cas contraire. En
effet, si on l'intègre d'abord, en regardant une des variables
qu'elle renferme comme constante, 2 par exemple, que l'on
représente par U = C l'équation primitive qui répond à
Pd^ + Qdj-= o, que l'on différence cette équation primitive,
en faisant variera la fois*,j, z et C, et que l'on compare le
résultat à la proposée, on arrivera à l'équation

fi étant le facteur qui rend Pd:c+Qdj _ une différentielle
exacte. A la vérité le second membre ne se réduira plus à une
fonction de 2 seul, comme cela arrive dans le cas où la con-
dition d'intégrabililé est remplie, et ne pourra donner C,
comme l'exige cette condition; mais il est évident qu'en sup-
posant toujours que C soit une fonction de z, l'équation pro-
posée sera satisfaite par l'équation primitive U = C, si l'on a en
même temps

dC_dli

(" ) iVswfoni OpuicuU, lumu I, page 8Î, Cdiliun Jl- 1774.

OigiiizBd by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL, 4(5

faisant donc C = f(s), le système des équations
U= T («) ]

satisfera à la proposée, quelle que soil la ferme de la l'onc-
tion <f, ei pourra se parllculariser d'une infinité de manières,
en prenant f arbitrairement.
En appliquant ceci à l'équation

z — c xix — a)-\-y(y—b)'
que j'ai prise pour exemple, dans le numéro précédent, on aura

et faisant

r v = a[r(*— a)+ r [y— 6)],
on trouvera U = : on obtiendra par conséquent les

équations

*^*- a lZ r c {r ~ b) =?'(*) y

Intégration des équation* différentiellea partielles
du premier ordre.

314. Je vais passer au troisième cas de la recherche des fonc-
tions de deux ou d'un plus grand nombre de variables. Dans
ce cas on n'a pour déterminer la fonction inconnue que quel-
ques-uns de ses coefficients différentiels d'un certain ordre,
ou une seule équation entre eux. Il constitue ce que l'on ap-
pelle calcul intégral aux différences partielles, et qu'on de-
vrait nommer, d'après les remarques du n° 43, calcul intégral
aux différentielles partielles; car les coeflicients différentiels
considérés isolement ne font connaître que les différentielles
partielles, et non pas les différences qui sont l'objet d'un cal-
cul à part, qu'on trouvera dans 1" Appendice qui termine cet

ouvrage. Le coefficient différentiel - ^,^y\ ' étant multiplié par

oigiiizM by Google

4 1 G TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

dï*dy, devient ^ d ^3*i et exprime alors la différen-

lielle m"™, par rapport à x, de la différentielle »'*"• de i, pat
rapport à j - , et u/ce versA.

345. Les équations différentielles partielles les plus simples
sont celles qui ne renferment qu'un seul coefficient différen-
tiel exprimé par les variables indépendantes : telles sont celles
du a" et du 3° ordre qui ont été traitées dans les n°* 271, 277.

Au premier ordre, si l'on a g? = R, R ne contenant point z,

on multipliera par dx , pour obtenir ^ djr = Rdx, ou

ds = Rdx'; et en intégrant par rapport à x seulement, il
viendra

z=/Rd:r + C.

Dans ce résultat, C n'indique pas une simple constante arbi-
traire, mais une fonction absolument indéterminée de toutes
les variables autres que x, que pourrait contenir la fonction s.
Si, par exemple, z dépendait en même temps de x et de y, on
aurait z=JV.Ax + y(y), en désignant par ? une fonction ar-
bitraire composée d'une manière quelconque de la variable y
mêlée avec des constantes. En général, pour un nombre quel-
conque de variables indépendantes s, t, a, x, y, etc., l'inté-
grale de ~ = R sera a= /Rd.i + ï(î, /, m, /, etc.), parce
qu'il est évident que la fonction f[s, t, u,y, etc.) quelle qu'elle
soit, ne variant point quand x varie, on a toujours ^ — R.
Lorsque z entre dans R, l'équation

£i-n = Q , ou Jid*-Hdx = o.

tombe alors dans le cas général îles équations différentielles à
deux variables z elx; si on peut l'intégrer par quelqu'une des
méthodes précédentes, et que l'on désigne son intégrale par
V = const., on aura

V = ,(,, /,«,,■, etc.)

ùigiiizcd by Google

DE CUXUl-DUTÉnEM-IEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 4i j

pour l'équation primitive de laquelle dépend la fonction z. En
effet, si l'on dilTérenlie cette équation en ne faisant varier que
x et z, le résultat sera de la forme

Pds + Qda: = o,

et tel que — ^ =R, ce qui donne ^ = It.

346. Si, pour abréger, on pose

(1) Az = pAx-\-q dj-,
l'équation

(2) Pp + Qq = R,

dans laquelle P, Q, R contiennent à la fois x, y et z, est la plus
générale qu'il soit possible d'avoir entre les coefficients diffé-
rentiels du premier ordre p et q, lorsqu'ils ne passent pas le
premier degré. En prenant la valeur de p dans cette équation,
pour la substituer dans (i), la question sera ramenée à intégrer
l'équation

(3) ' Vdz — Rdx = q[Pd r — Qdx),

où le coefficient çest encore indéterminé. Il se présente ici
deux cas : i°la composition de P, Q et R peut être telle, que la
fonction Pdz — Rda: ne renferme que les variables z et x
dont elle contient les différentielles, tandis que la fonction
Pd^- — Qdx ne renferme que x elj"; 2° l'une ou l'autre de
ces fonctions, ou même toutes deux, peuvent renfermer les
trois variables x, y et z.

Dans le premier cas , il existe un facteur p qui rend
Pdr — Q QiC différentielle exacte (289), et un facteur / qui
opère la même chose sur Pdz — Rda:; en désignant ces diffé-
rentielles par d M et'd N, on a

Pdr — Q dar = - dM, Pdz — Rd# = -^dN,
» f* f-

et l'équation (3) devient dN= dM, qui ne peut être inté-

grable à moins que 2£ ne soit une fonction quelconque de M.

6- éd. 1. 27

4 1 8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On posera donc ~ = T '(M), d'oùdN =f'(M)dM, et en inté-
grant il viendra N = t(M), résultai dans lequel y désigne
loujours une fonction arbitraire , ce qui s'accorde avec ce
qu'on a vu sur la formation des équations différentielles par-
tielles (140).

Pour donner un exemple de ce cas, je prends l'équation

px + qy^nz;

on en tire

P = -r, Q = y, & = nz,
Pd/— Qdx = xdy— ydx ,
Pdz — Rdx = xdz - nzdx ;
on trouve par l'intégration des équations

xdy— yûx = o, xdz — nzdx = o,

que les facteurs p et ff sont respectivement — et 1 ue

par conséquenl M = ^i N=^: il s'ensuit donc

c'est-à-dire que z est une fonction homogène en xeiy, du
degré n. En effet, l'équation px -f- qy = nz n'est autre chose
que le théorème des fonctions homogènes donné n° 292, et
dont ce qui précède fournit encore une démonstration pour le
cas de dent variables.

317. Quand les variables .r, y et z sont mêlées indistincte-
ment dans les fonctions Vdy—Qdx, Pds — Rd*, il n'est
plus possible de rendre ces fonctions intégral] les, chacune en
particulier, par le moyen de facteurs, parce qu'on ne saurait
intégrer isolément les équations

Vày— QÛx=o, Pdz — Rdx = o;
car il faut bien remarquer que z ne doit pas être supposé con-
stant dans la première, ni y dans la seconde; mais on peut
encore transformer l'équation (3) en une autre qui soit une

OigitizBd b/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 419

différentielle exacte de la forme dN = ?'(M)dM, pourvu qu'on
regarde les fonctions M el N comme contenant à la fois les
trois variables x, y, t.
Dans cet état de choses, l'équation

dN = ?'(M)dM

se développe en

dN. , dN . dN, ,,.,,/dM, dM, dM J \

qui doit s'accorder avec l'équation (3). Tirant de l'une el de
l'autre la valeur de d z, et égalant les coefficients des différen-
tielles Ay et d* (339), on trouve

dN (fM .dM dN ,, M .dM

La première de ces équations laisse arbitraire la fonction
¥ '(M), puisque q est indéterminé; mais en le chassant de la se-
conde équation, on change celle-ci en

Q/dN ,, M ,dM\ R/dN , (B ,dM\
/dN „ M ,dM\

et comme il y a deux fonctions inconnues M et N, on pourra
partager celte dernière équation en deux autres, en égalant sé-
parément à zéro la partie qui est multipliée par T '(M). On aura
de cette manière

dM Q dM R d_M _
ûx + V Ay + V d!~°'

dN Q dN R dN _
Ax^ P dj- + P d! — Ci

or, d'après ce qu'on a vu dans le n° 321, les équations ci-dessus
établissent que M= a, N = f> sont les intégrales du système

DigiiizM 0/ Google

4aO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

d'équations différentielles

Ay — p-(l* = o, dï- p dx = o,

fjui revient à

(4) P.dj-— Qd*=o, Pdi — Rd*=o:

c'est donc à l'intégration de ce système que se réduit ici In
détermination des Tonnions M et N.
Prenons pour exemple l'équation

xp + zq = — y;

on en tire d'abord

(4 1 ) xAy — zAx = o, xAz+yAx = o,

équations dont aucune n'est intégra ble en particulier; mais,
comme l'a remarqué Monge, il n'est pas nécessaire de des-
cendre jusqu'au second ordre pour en déduire des différen-
tielles exactes : il suffit d'éliminer d*, ce qui donne
j-d^-r-sda = o et y + z> = a.

Prenant dans celle dernière la valeur de y, on change la

deuxième des équations (4') en

. , — ds Ax

xA z + Ax \ja — z' = o, ou ^ ■+- — = o,

dont l'intégrale est

arc ^sin = ^^ -+- \x= 16 ;

remettant pour a sa valeur, et passant aux nombres, on obtient
d'où l'on conclut

nre l »in = ' \

pour l'intégrale de l'équation différentielle partielle proposée.
!îi8. On facilite beauronp, dans un grand nombre de eus,

Dmri'::! D ,■

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL 1HTÉGHAL. ,\l T

l'intégration des équations différentielles partielles du premier
ordre, à trois variables, en les partageant en deux autres, par
l'introduction d'une quantité indéterminée, ainsi qu'on va le
voir dans l'exemple suivant.

Soit l'équation {(p, x) = F si l'on fait ((p, *) = ii,

on aura en môme temps ¥(q, y) = a, et l'on en tirera les équa-
tions

p = t,[* 1 x), î = F,(«, r ),
f, et F, étant des fonctions déduites de celles que désignent I
et F. L'équation à3 = pàx + qdy deviendra

dz = <lxî,(», x) + dyT,{»,y);
mais si l'on représente les Intégrales

prises en n'ayant égard qu'aux variables x et y, par P et Q, ces
dernières quantités étant aussi des fonctions de », il viendra

d*f,( -, x) = ~ = d P - ^ d«,

" ' dx du

"rF,(-.r) = ^ir = dO-J2d.,

et par conséquent

d ,=<P + dQ-(iî + !2ja..

Cette dernière équation ne peut devenir différentielle exacte
que par la supposition do

dQ

équations entre lesquelles il faudra éliminer », lorsque la fonc-
tion arbitraire sera déterminée.

OigiiizM by Google

423 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

41 suffll souvent de substituer dans l'équation

la valeur de p ou de q, tirée immédiatement de la proposée, et
d'intégrer ensuite par parties. Lorsqu'on a, par exemple,
p= i{q) [161}, il vient

dz — d:cft?) +qdy;

on trouve

*»*f{ï)+«r-/[*f'(î)-i-r]d«;

et comme l'intégration indiquée ne peut s'effectuer qu'en po-
sant xt'[q) -\-y=<t'{q ), il en résulte

*-*•*(«) = *f (?)-+-«". f'(î) = ^''(î)+rn'
De l'intégration des équations différentielles partielles des ordres
supérieurs au premier.
34-9. Au second ordre, les coefficients différentiels sont au
nombre de trois pour une fonction de deux variables, et une
équation différentielle partielle du même ordre exprime en

[■) Monge a lié, par des considérations lràa-ln D éniauses. llntéentien de*
équoUnns diffërcnliellft. partielles avec la génération des surfaces. (Ytott sa
Géométrie anntjtiqtit .) L'analogie des deui sujets se montre aussi par les forints
d'inlcEralcs sur lesquelles nous summes lombes dans co qui précède. L'cqualion
N= lS4ï)se rapporte au mode de génération indique dans le n° 141 i

M = b, N = p(a) = S, sont la éqmtUont dos lignes dont se composent les sur-
faces correspondantes à réijuaiiiui (î ilT^ri-i i i ri ïl] ] .■ jiruposêe, ei qui se
snceidonl suivant la loi eipriméc par la forme de la fonction p.

La seconde forme d'intégrale obtenue dans lo numéro précédent, répond au
mode aligné dans le n° IG2, pour lo génération des surfaces dcicloppablcs,
auiqueltesse rapporlolo second ciemple p = f(ç). L'intégrale étant alors eipri-
mue par deux équations de la forme

»...

Lin l'Z'id b, Go

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 4^3

général une relation entre les variables indépendantes, la fonc-
tion cherchée et ses coefficients différentiels, tant du second
ordre que du premier. Dans un ordre quelconque, celte rela-
tion peut embrasser, avec les variables, tous les coefficients
différentiels depuis le premier ordre jusqu'à celui de l'équc-
tion inclusivement. J'en rapporterai d'abord quelques-unes
qui s'abaissent à des ordres inférieurs.

i°. Toute équation à trois variables qui est de la forme

( ,:r ' d/-' d*d;-' d^dj-' "•" d*-dyj *
s'abaisse sur-le-champ, de l'ordre m-hn à l'ordre m, en lui-
sant ~p — v, parce qu'elle se change en

rU y V 11, *ï d ""i= 0

).'-'' Ax Ax'* ' ' ' ' d x")
On y doit supposer alors y constant, puisque tous les coeffi-
cients différentiels de v qui s'y trouvent sont relatifs à x, et
elle peut par conséquent se traiter comme n'étant qu'entre les
deux variables x et v ; mais il est évident que pour donner à
l'expression de v toute la généralité dont elle est susceptible,
il sera nécessaire de remplacer les m constantes arbitraires
qu'elle doit renfermer, par autant de fonctions arbitraires de
la variable y, prise d'abord pour constante. Ayant obtenu v, on

remonte à a, par le moyen de l'équation — v, dans laquelle
on doit alors regarder x comme constant, cl qui, devenant par
là une équation de l'ordre n entre doux variables seulement,
pourra se traiter ainsi que les équations de ce genre, en obser-
vant néanmoins de changer en fonctions arbitraires de x, les n
constantes arbitraires introduites par cette nouvelle intégra-
lion.

2°. Les équations de la forme

4^4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

peuvent toujours être traitées immédiatement, comme s'il n'y
entrait que deux variables, savoir, a; et a dans la première, y
et ï dans la seconde ; et après i'iniégralion, on substituera aux
constantes, dans l'une, des fonctions de y, et dans l'autre, des
fonctions de x.
Les équations du second ordre,

-*i~i-P*£ = n A ' z I P dz =Q
dxdy àx dxdy dy

dans lesquelles P et Q ne contiennent que x et/, se rappor-
tent à la première forme. En y faisant ~ = v, la première

devient -t-Pf = Q, équation du premier degré et du pre-
mier ordre, par rapport aux variables v cl y, et dont l'intégrale
est

t ,_ e -/rd / (j e /w, Qdr+C ) (285),

Si l'on met pour v sa valeur ~ f et qu'on change C en on'
aura

en intégrant cette fois, par rapport à ï cl à a: seuls, on trou-

s =fà xe-rn, [J e tnf Q ày + f ( x) ] + T ( y) :
en traitant de même la seconde équation, on arriverait à
z=fdy e -S^[f e S^Qdx + ? (y)]+^[x).
Lorsqu'on aura P = o, les résultais ci-dessus se réduiront à
z = fdxfQdy+fdx ? (x) + *ly),
dans un cas, ei dans l'auire à

:=fàyfQdx + fdy,(y)-i-ï{x);
mais comme la fonction ? est arbitraire, on écrira simplement
z=SàxfQày + j[x)+-Hy),

J'observerai que ces derniers cas ne dépcndcnX que de l'intc-

QigitizM ûy Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 4a5

gralion des fonctions d'une seule variable, ei oot été traitées
sous ce point de vue, dans le n' 27) .

On a des exemples de la seconde forme générale dans les
deux équations

d'z _ d s . A*z _ Az n

& +p K= Q ' ï? +t î? =Q:

la première doit être trailée comme une équation du second
ordre, entre les variables xel z; les constantes arbitraires
dues à son intégration seront des fonctions de y : on opérera
de la même manière sur la deuxième, par rapport aux variables
y et z, et on changera les constantes arbitraires en fonctions
de x. Pour ne donner que le cas le plus simple, je réduirai les
équations proposées à

£-* g-»

et je supposerai que Q ne contienne que x et y; les formules
du n" 241 donneront immédiatement

z=/àxfQdx-hCx + C, a=fA r fQày+Cy-t-C,
d'où l'on conclura

z=fAxSQAx+x,W+t{x), z=fAyfQAy+y,{x)+^(x}.

350. Dans le second ordre, je considérerai seulement les
équations où tous les coefficients différentiels de cet ordre ne
sont qu'au premier degré; et pour simplifier les calculs, je
ferai usage des dénominations suivantes :

Az=pAx-\-qAy,

Ap = rAx-\-sAy,

Aq =iAx-\-lAy,

A'z = dpAx+AqAy= rda:'-H 2sAxdy-i- 1 Ay*,'

déjà employées dans le n" 1H.

L'équation différentielle partielle du second ordre et à trois
variables, considérée dans le cas général, ne peut donner que
l'expression de l'un des coefficients r, i, (, en fonction des

i

;j j(î TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

deux autres et des quantilés p, q, x, y, s, ce qui ne suffll pas
pour déterminer les différentielles dp el dq. On peut aussi,
au moyen de ces différentielles, éliminer de l'équation propo-
sée deux des trois coefficients r, t, l, el le résultat sera la re-
lation que cette équation suppose entre dp et dq : c'est ce pro-
cédé que Monge a suivi.
Je l'appliquerai à l'équation

RM-S*+Tf = V,
où je supposerai que les quantités R, S, T et V renferment,
d'une manière quelconque x, y, z, p et g. En y substituant
les valeurs de r et de (, tirées des équations

dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy,

cl qui sont

r= A P — sa X t t _ dq — sdx
Ax * Ay '

on trouve

Ràpdy + 1àqdx—Xdxdy=s[Rày'— Sdxdy+Tdx>),

équation dont il semble qu'il faudrait intégrer séparément les
deux membres, à cause du coefficient différentiel indétermi-
né s, qui multiplie le second ; mais ici, comme dans le n° 347,
il suffit de parvenir à deux équations primitives M = a, Ti — b,
qui satisfassent en même temps aux équations

Rdpdj-t-Td^d* — Vd*dj-=o,
RAy>—Sdxdy-t-Tdx' = o;
l'intégrale de la proposée sera encore N — ? (H).

Pour le démontrer, je transforme d'abord les équations pré-
cédentes en d'autres où les différentielles ne montent qu'au
premier degré, cl pour cela je fais Ay = mAx. La seconde de
ces équations, devenant, après la substitution,

(A) R m '-Sm+T = o,

détermine la quantité m; mettant ensuite pourdj-sa valeur
dans l{dpdr-t-Tdqdx — Vd.rd/=o, on aura pour chacune
des valeurs dont m est susceptible, un système d'équations de

OigilizM ûy Google

OE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL [VET.fi H. M.. fo-J

la forme

| Rmdp + Tdg — Vmdi = o,

(0

auquel il faudra joindre l'équation

ùz =pàx-\- gd/,

qui exprime la relation qu'ont avec la fonction r les coeffi-
cients p et q.

Cela posé, si les équations M = a, N = b satisfont aux équa-
tions (i ), et que dans leurs diffère ni 1 elles

dH . dM . dM . dît . , dMj
-T—ax + -r— dr-H -r— ds + -. — do + -r— dg = o,
ûx Ay J da dj» r . dj *

dN. dN J dN J dN J dN.

3— dar + T— dr+-r- d* 4- 7— dp -t- -;— dg = o,

d* àjr * dt dp r d? *

on mette au lieu de da sa valeur pdx-h q d/, et au lieu de dj-

el de dg celles que donnent les équations (1). les résultantes

/dM dM , .dM Vm dM\ .

. (dT +m d7 + ^ + î n, !d7 + -r àrr*

/dM R/n dM\ ,

/dN dN , .dN VmdN\.

ldï + m d7 + ^ + ï' n 'di + T-d^) dj:

^\àp T dW
devront être identiques, chacune en particulier, et se partager
par conséquent dans les suivantes :

dM dM , .dM VflidM

dT +"-d 7 + (/' + ?'")d7+^dï = 0 '
dM R/n dM
dp" T d? = °'

dN dN , ,dH Vm dN

OigiiizM b/ Google

4^8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

L'équation N=«[M) étant différeniiée, donue
dN = T '(M)dM,

° U dN. dN. dN. dN. dN,
d:r d/ J aa dp e dq 1
.....IdM, dM., dM J dM J dM J I

si l'on substitue, dans celle dernière, les valeurs de
dM dM dN dN
dx dp d:r dp

prises dans les quatre précédentes, et qu'on change dï en
pdx-hq dy, on obtiendra

/dN dN\ ,. , ..

+ ^(R m d^-(-Td î -Vmd ; r)
= ï'(M)j(^ + ?^)(d r - m dx)

+ 1 i|( Rm d / » + Td 9 -Vmd a :)|,

ce qui revient à

Rmd^ + Tdç— Vmd* = »[dj— mdj],
en Taisant

d N dN ,,.,,/JM dM\

Si l'on remet rd x-hsdy et jdr + (d^-, pour iip et Aq, et
que l'on égale à zéro ce qui multiplie chacune des différen-
tielles indépendantes dx ctdj, on obtiendra

Rmr+Tj- Vm= — «m, Rmj + T( = »;
puis en tirant de ces équations les valeurs des coefficients dif-
férentiels r et I. pour les substituer dans la proposée, clic dc-

OigilizM ûy Google

DE CALCUL DIFFËKEVTIBL BT DE CALCUL INTÉGRAL.

viendra, après les réductions,

et, en vertu de l'équation (A), elle sera satisfaite indépendam-
ment des quantités u cl*.

Le théorème démontré ci-dessus, ainsi que ses analogues
dans les ordres supérieurs, n'a pas la même généralité que
celui du n° 347; car il Faut bien remarquer que les équa-
tions ( i) peuvent renfermer à la rois les cinq variables x, y, z,
p et q, et qu'en y joignant même l'équation dz=pdx + qt\r,
on ne saurait parvenir, par l'élimination, qu'à une résultante
contenant trois variables, laquelle par conséquent ne pourrait
dériver d'une seule équation primitive, que sous certaines
conditions (339). On se tromperait néanmoins si l'on concluait
de là que quand les conditions dont on vient de parler no sont
pas remplies, l'équation différentielle partielle propesée ne
peut elle-même dériver d'une seule équation primitive; mais
pour parvenir à son intégrale, il faut avoir recours à d'autres
procédés, et le plus souvent on n'arrive qu'à un développement
en série, comme on le verra plus loin ( 352, 353).

331. Soit, pour exemple, l'équation

dans laquelle A, B et G sont constants, et V est une fonc-
tion de x et de y. L'équation (A) devient pour ce cas
km' — Bm+C = o; ses racines, que je désignerai par m' et.
m", étant constantes, fournissent doux systèmes d'équalions(i)
qui donnent, par l'Intégration,

et où l'intégrale JVdx ne dépend que d'une seule variable,
parce qu'on peut chasser / de V, au moyen de sa valeur prise
dans la première équation de chaque système : on a donc en

1 y—m'x:
,\\m'p-hCq~m'JX<iT

b,

: «\

b;

Am'p + Cq—m'JVAx

OigiiizMBy Google

43o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

même lemps les deux intégrales premières de la proposée,
Am> + C}- m' f\àx = ,{y— m' x),
km"p + Ç.q — mrS\<lx=1 i { r — in."x),

et en intégrant l'une quelconque de ces équations, on arrive
à l'intégrale seconde.
Si l'on prend la première, par exemple, elle donne

P =

on peut, pouT simplifier, mettre m" au lieu de ^~7> puisqu'en

venu de l'équation (A) , m'm'= ~ ; et en substituant dans
d z = pAx-\-qAjr, on trouvera

il; — fVàx — àxf{y~~ m'x) = q{Ay — m"Ax):

les équations à intégrer (3V7 ) seront donc

Ay — m*Ax = t>, dz — ^-f\Ax — Ax?{y — m'x) = o.

On tire de l'une, y — m°x = a', ce qui change l'autre en

A^-^-SVdx^Ax ? [a' + [ m '- m -)x] = 0 ;

mais le dernier terme de celle équation peut être mis sous la
forme

( m "- m ')Ax v '[ a ' + (m"-m-)x],

parce que la fonction ? est arbitraire; et l'on voit alors que
l'intégrale de ce terme est ? [a' ■+■ ( m" — m') x], ? désignant
une nouvelle fonction arbitraire dépendante de f'. Par ce
moyen, l'équation précédente s'intègre et donne

z- 1 K JàxfV<ix—i{}—m'x) = b' I

lorsqu'on remet pour n' sa valeur. Il faut bien remarquer que
pour obtenir fAx fVAx, on doit intégrer une première fois
par rapport à x, en substituant au lieu de y sa valeur, tiré-

OigitizBd û/ Google

DE CALCUL DIFF KKBIfTlEL ET DE CALCUL 1HTÉGHAL. q.', I

l'équation y—m'x = a, comme il a élé dit plus haut ; mais
lorsqu'on sera parvenu au résultat, on remettra au lieu de a sa
valeur y — m'x, et avant d'effectuer la seconde intégration,
on changera y en a , 4-m":r, ainsi que l'exige l'équation
y — m"x = a',' trouvée en dernier lieu. En général, quand
on aura plusieurs de ces intégrations successives à effectuer,
on ne pourra jamais employer à leur simplification que les
équations qui doivent avoir lieu en même temps. Avec
ces attentions, l'intégrale seconde de l'équation proposée
Ar+Bj-r-C( = V, sera

*-jfAxf\dx= ? {y-m'x)+*{y-m"x).

Si l'on avait A = i, B = o, C = — c* et V=o, ce qui chan-
gerait l'équation proposée en

r— c't~ o, ou jp — o djJ l h
l'intégrale deviendrait

z = y{y—cx) + $[y.+ cx).

352. Non-seulement la méthode précédente n'embrasse pas
tous les cas de l'équation du premier degré et du second ordre

Ar + Bj + Ci + Dp + E7-t-F* = U,
lors même qu'on y suppose constants les coefficients du pre-
mier membre, mais elle échoue sur l'équation très-simple

qu'elle fait dépendre de l'intégration des équations simulta-
nées

d/=o, i\p-qdx = o (330) ;

car la seconde, qui renferme trois variables, p, q et x, ne sau-
rait devenir une différentielle exacte (339).

Il ne faut pourtant pas conclure de là que l'équation différen-

(■) t'*!lW 6r|uilion «t celle dus cur<i« •ihranto,

- ' W -

ûlgrKad a; Google

4 3 1 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

lielle partielle proposée ne puisse pas être intégrée, et même
d'une manière très-générale. Si d'abord l'on y fait s =A.e™*"',
les lettres A, m cl n désignant des constantes indéterminées,
le coefficient A et l'exponentielle disparaîtront, el il ne restera
que l'équation à deux inconnues

à laquelle on pourra satisfaire d'une infinité de manières. Si
l'on se donne m, on en déduira l'expression

qui vérifie l' équation proposée, quelles que soient les valeurs
de A et de m : si donc on prend pour ces quantités une suite
infinie de valeurs

A,, m L , A,, m,, A,, m,, etc.,
on trouvera autant d'expressions, dont la somme satisfera en-
core à la proposée (309), en sorte qu'on aura

z = Ae~**"J"+ À, A,e*"*~l' + etc.,

série à laquelle on pourra donner autant de termes qu'on von-

Si l'on avait pris m pour inconnue, il en serait résulté

d'où l'on aurait pu déduire pour s deux séries différentes en

apparence, savoir,

a= Ae rV ^ + A, + etc.,

a ■= Air' + A , e— + etc. ;

mais ces résultats ne sont pas plus généraux que le premier,
puisqu'on peut donner à m des valeurs négatives aussi bien
que des valeurs positives.

353. Laplace avait cru d'abord que l'équation proposée ne
pouvait admettre de fonctions arbitraires dans son intégrale;
M. Paoli a le premier reconnu le contraire, lorsque cette inté-
grale était développée en série, suivant les puissances ■■

Oigiiizfid b/ Google

DU CALCUL llll'l'iaiIOM'Iiil. et DE CALCUL IWLtilt AL.

En effet, si l'on pose

z = V + Qj + H -+- Sj J + etc.,
P, 0, H, S, etc., désignant dos fonctions île x, on aura
d"z d'P d'Q d'il

d'où l'on conclura

= ■*<?-

2

cl comme rien ne «(Hermine P, on peut le supposer égal à une
fonction arbitraire de x : on aura ainsi

où

,-W=^'. rt«)=^i. e,c.

Si l'on développait l'intégrale suivant les puissances de
en posant

z = P ■+■ Qx+ lt + Sx> + etc.,

P,.0. S, etc., désignant alors des fonctions de.jj-, les deux
premiers coefficients P, Q, resteraient indéterminés, el l'on
pourrait par conséquent introduire dans l'expression de : deux
fonctions arbitraires; mais M. Poisson a montré que ce second
résultat n'était pas plus général que le premier, et que la même
circonstance s'offrait dans toute équation qui ne contenait pas
en même temps les deux coefficients différentiels de son ordre,
pris par rapport à x seul cl ky seul (*).

351. Ce qui précède suffit pour prouver qu'on ne doit pas
établir une analogie complète entre les fonctions arbitraires
qui entrent dans les intégrales des équations différentielles

(*) Pqt-a le Trnlc to-j», tomcll, p«eo 63g.
6* éd. I. a!)

Digiiized by Google

434 TRAITÉ ÉI.KlUKVrAIUB

partielles, ei les constantes des intégrales des équations diffé-
rentielles ordinaires (298). Le nombre des premières n'est pas
toujours égal à l'exposant de l'ordre de l'équation différentielle
partielle proposée.

Cette remarque peut se faire directement sur l'élimination
des fonctions arbitraires, entre ies équations primitives et leurs
différentielles partielles (140); car soit u = o, une équation
contenant, avec les variables x,y, z, deux fonctions arbitrai-
res f(s), i/[t) des quantités i et r données en x, y, z; si l'on
passe aux dilTcrmiiiHh s premières et secondes, suivant ce qui
a été prescrit dans le n° 137, on trouvera cinq nouvelles équa-
tions, savoir,

d« d«

dar* ' AxAy ' Ay*
et l'on aura iniroduit les quatre fonctions

df T 1 >'

on aura donc à éliminer six fonctions inconnues, c'est-à-dire
autant qu'on a d'équations, ce qui ne pourra se faire que dans
le cas où, par la forme particulière de l'équation a = o, deux
de ces fonctions dispa ni liront en même temps.

355. Les fonctions Arbitraires qui eDlrctil dans les intégrales
des équations différentielles partielles se déterminent, en
supposant que la fonction z prenne des formes particulières,
lorsqu'on assigne des relations entre les variables/ cl x. Voici
deux exemples de celte détermination, dans les cas les plus
simples.

i°. Sil'ona i=Mf[V), M et V désignant des fonctions
données en x, y cl a, et qu'on veuille déterminer la fonction
représentée par la caractéristique f, de manière qu'en posant
¥{x,y, z] = o, on ait en même temps ![x,y, z) = o, les ca-

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 415

raciéristiques F et f désignant des fonctions connues, on fera
V = f, et l'on combinera les trois équations

V=/, F «)*=(,, i[x,y,z) = o,
pour en tirer des valeurs de x, y el z on / ; substituant ces va-
leurs dans M, qui deviendra une fonction de t, que je désigne
par T, on aura

- = T T ((), ou f

et la fonction ¥ sera par conséquent déterminée, si l'on remet
danscette dernière équation pour f et T, leur valeur en x,yc\ z.
2°. Soit

.=M f (V)+N+(V)i
Comme il y a deux fonctions à déterminer, il faut qu'il y ail
deux conditions : on doit supposer que

F( x <Ti donne t(x,y, z) = o,

et que

V'(x,y,z) = o donne f [x, y, z) =o.
Faisant toujours V= (,'ei tirant des trois équations
\ = t, 1{x,y,z)=o, t(x,y,z)=o,
les valeurs de x, y, z en t, on changera M, N en fonctions de (;
et désignant par T el fl ces fonctions, on aura
(') i = T,(/) + »t(0.

On combinera ensuite les équations

\ = t, V(x,y,z)=o, r(x;y,,)= 0 ,
pour en déduire des valeurs de x, y, z en t, afin de transfor-
mer éneore M et N en fonctions de cette seule variable; et si
les résultats sont représentés par T' et 0', il viendra
(a) i=T' T {/) + 9' + |0.

Au moyen des équations {i) et ( a} on déterminera les fonc-
tions f el^en f, puis on remettra à la place de t sa valeur V (•}.

(■) La détermination des fonctions arbitraires relient a faire passer par dos
tourbe* donne» les surfaces qui représenleni Ira équations proposées) et ecs
«orbes peinent étro continues ou discontinues, ainsi que les fonctions elles-
mêmes. Si les fondions t ol $ dépendaient de quantités différentes, on no
pourrai! plus procéder comme ci-dessus. ( Vofe t lo Traité in-i", tome III,
page «8.1

18.

436

TI1AITÉ KLKMOTAIIIE

Do la méthode des variations.
Recherche de. lu variation d'une fonction quelconque.

350. Toutes les applications du calcul différentiel présentées
précédemment supposent que la dépendance des variables
demeure cwisuimmcrH In même dans le cours de. la question ;
mais il y a divers genres de problèmes pour lesquels il faut
concevoir que emie dépendance change : en voici un exemple.
Quand V désigne une fonction contenant elles coefficients
différentiels de r. l'intégrale /'Vd.r est susceptible, entre les
mêmes valeurs de .r, d'une inlinilé de valeurs qui dépendent
de la relation établie entre .r elj-; en sorle qu'on peut deman-
der quelle esl, parmi louies les relations: possibles, celle qui
fait prendre à l'intégrale f\ii x, entre les limites données, la
plus grande ou la plus petite valeur. L'intégrale f\Ax, lors-
qu'on ne particularise pas la relation de y a x, exprimant la
mesure d'une propriété commune à toutes les courbes, on
demande alors pour quelle courbe cette propriété est un maxi-
mum ou un minimum. Il est visible que si CE [Jig. fir] repré-
sente cette courbe, il faudra que pour toute autre, 7:, l'inté-
grale fSAx ait une valeur plus petite dans le premier cas, et
plus grande dans le second. Pour satisfaire à celle condition,
la première chose à chercher est la différence qu'un change-
ment quelconque dans la relation de y a x, ou dans la nature
de la courbi- qui représente cette relation, produit sur l'inté-
grale fVàx. Ce changement s'exprime en faisant varier y in-
dépendamment de x ; car lorsque l'on considère deux courbes
CE et 71, la même abscisse AP répond à deux ordonnées PM ei
Pfi, et leur différence Mji doil èire distinguée des différences
M' Il etfi'p, qui ont lieu entre deux ordonnées consécutives
prises sur la même courbe. ■

Lngntnge, qui marqua le commencement de sa carrière par
la découverte du Calcul des Variations, en a faii aussi à la mé-
canique une application de la plus haute importance, dont on
saisira facilement le but, si l'on observe qu'on peut considérer
les coordonnées des différents points d'un corps qui se meut,
soit pour comparer au même institut deux points île ce corps,

Qigiitzad by Google

DE CALCUL Dirr'LIlEMlEI. ET DE CALCUL I-1TÉ0HAL

soit pour comparer doux positions consécutives du même
point. Dans l'un do cos cas, il n'y a entre les coordonnées, de
dépendance que celle qui résulte des surfaces qui terminent
le corps; dans l'autre, les coordonnées changent suivant les
conditions du mouvement établi, et avec une variable nouvelle
qui est la mesure du lemps : voilà donc encore deux manières
de faire varier tes mêmes quantités, qu'il est à propos de mar-
quer par des signes distincts. Celle de ces manières qui suc-
cède à l'autre constitue le Calcul des Variations, dont on ne
peut embrasser les divers usages qu'eu le regardant comme
ayant pour but lie diffâ.rentier sous un nouveau point fie vue,
da qumlitl, qui o„t déjà lié dijftnnlite, .»«< <m „„m : on
- établit ensuite dans le second mode de différeniiation l'hypo-
thèse convenable à la nature des questions qu'on se propose
de résoudre (*).

357. C'est par la caractéristique S que Lagrange désigne la
nouvelle différeniiation, et cet usage a été adopté. Pour ne pas
sortir des limites de mon sujet, je me bornerai à développer
les principes de l'application du calcul des variations aux ques-
tions géométriques.

Dans ces questions, la caractéristique d s'emploie pour le

lerislique S es! appliquer au cliangcnicnl de n urbe : ainsi M'It
étant représenté par d^-(_/îif.6i], Misera J7; et il suit de laque
P'M' = j- + dj-, P(»=j--M7.
K11 passant du point M' au point [»', puis tirant (ir parallèle
à MM', on verra que

l*'r=j/f>— M'R = d.Pp-d.PM
est le changement de d^, d'une courbe à l'autre, et l'on aura

mais le point f*' étant consécutif au point ji, sur la courbe 7», on

(*) Forci la Jfrcmrifiir analriigac, 1" èiition, psj-i; £0 du lomo 1.

Oigiiized by Google

438

aura aussi

TRAITÉ ÉLËHEKTAIHB

et la comparaison de ces deux expressions donnera
Sdy—dSy.

La même chose peut aussi se prouver sans la considération
des courbes, en représentant par l'état primitif de/, et

par une autre fonction fy[x) son étal après la variation (*).
Alors 3y = ty[x) — <f(.r) sera une certaine fonction de x, et
par conséquent une fonction de y, à cause de la liaison primi-
tive de ces variables : désignant donc par n cette dernière fonc-
tion, on aura

D'aprèscelte loi, et faisant, pour abréger, y + dy=y", on aura
pareillement

v=»(yi.

d'où l'on conclura

V->r='[?)-' (r) = M = «n

mais comme

{*) Afin de donner une orùjine commune im fonctions f et Euler, qui
•'empressa d'adopter et dcclaircir le calcul dos variation, ri'^ifiliiil la iulmir
primitive do y, ou f{'), comme déduite d'uno outre Fonction, contenant, avec
la lorioWo une nouvelle variable t, et ae changeant en ç ( i) lorsque I = o.
(NovtComm. Acad. Pctrop., tome XVI, page 35.) Parce moyen, r-i- o\r devient
T-i--^ûi, ol ^ «tant pria dans l'hypothoM do I = o, ronrérento, tant qu'on
ne particularise point la composition de/ en I, une Foucllun arbitraire de i. Ij
valeur i;r;iH!i'ri!c cic _r ïit.iîi tipriiiiL-o par la série

que Lacron^c, dans lo dernierc édition (Je ses Uqoa m. h Calcul .la fiwtcJ.w
pn-se.nc celui des variations, à l'.^anl duquel il entre dans beaucoup de délai
tivi-inn'ixiiauls.; Yoyei loTrailé in l", tome 11, paQC ;j3.>

DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL 1YTBGRAL. 43g

il viendra, en prenant les variations,
ce qui donne encore

Sdy=dSy.

Il suit de là que id'j»= d3i y= frSy ;"et en continuant ainsi,
on obtiendra le théorème fondamental
3d"j-= û-3y,

en vertu duquel on peut transporter la caractéristique 3 après
la caractéristique d.

Pour donner plus de symétrie an calcul, ainsi que pour em-
brasser des circonstances relatives aux limites des intégrales,
et dont on verra plus loin quelques exemples, on fait varier x
aussi bien que/; mais le théorème ci-dessus ne cesse pas
d'avoir lieu pour cela, parce que la loi de la variation étant
constante, quoique arbitraire, Sx est une fonction de x, do
laquelle se tire Sx', en y changeante en x' : il en resuite
3dx=.d3x, et pareillement JdV=dJV, pour toute fonction
V dépendante de x, de y et de leurs différentielles.

358. Il existe un théorème analogue par rapport au signe /.
En effet, si l'on représeute J U par U, , il viendra

dU, = U, puis JdU, = <rU;

transposant la caractéristique 3 après la caractéristique d, et
passant ensuite aux intégrales, ou trouvera successivement

d3U, = JU, ÏU,=/»U;
puis remettant pour U, sa valeur, on aura enfin
• 3/V=/3V.

359. Cela posé, on voit que pour obtenir la variation d'une
fonction quelconque (J contenant x, y et leurs différentielles
des ordres quelconques, il faut supposer que x ct^se chan-
gent respectivement enr + Sx, y ■+- S y, et regarder 3 x et o_>-
comme des fonctions arbitraires l'une de x, l'autre dey. En se
bornant aux termes où les variations ne passent pas le premier

Ngitlzed by Google

44o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

degré, l'opération revient à diiTérciitier par le procédé ordi-
naire la fonction U, !:i[lt p;ir r;i|i[iort il x i4 il r, que pur rapport
à leurs différentielles considérées comme des variables dis-
tinctes, mais en marquant par lu caractéristique 5 la dernière
différer) lia lion. Il est visible en effet que, dans cette hypo-
thèse, les différentielles de

x, y, Ax, Ay, etc.,

sont

Sx, Sy, SAx, SAy, etc.
Si donc la différentielle ordinaire de U est

d U = M d .r -4- N d 1 j: -4- P d> :r + Q d'à: 4- c te.
-4- mày -H mA'y-{- pA'y + q A'y -+- etc.,
il suffira d'y changer le dernier d en S, et il viendra

S V = MSx + N Jd* + PSA'x -+- QSA'x + etc.
-t- mSy ■+■ nSdy + pii'y ■+■ qSA'y + etc.

Quand la fonction U sera sous la forme Vd x, Y ne conte-
nant alors que

dr dp
x, y, ~- —p, -J- = q, etc.,
Ax r Ax *'

on aura

dV = Md* + Nd^-+- Pd'p + Qdç -f-Rdr-i-etc.,
et la variation de V sera

3V=MSx + NSy + P3p + QSg -h R3r-i- etc.,
en observant que les quantités p, q, r, etc. doivent y être re-
gardées comme renferma m deux variables indépendantes, a;
ely (numéro précédent], et que par conséquent on peut pren-
dre leur variation dans deux hypothèses rtiflércnics, savoir, en
ne faisant varier qu'une de ces quantités, ou en les faisant va-
rier toutes les deux. J'opérerai ici sous ce dernier point de
vue, parce que, comme je l'ai déjà dit, ii est plus général, et
que d'ailleurs on en lire les résultats qui conviennent au pre-
mier, en supprimant les termes relatifs a celle des variables
que l'on veut traiter comme constante. En difféten liant par la

Ngitlzed by Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL IHTESR&L. 44 1

caractéristique 3, lus fractions

dxtidp — dpSAx Alp—qdSx

,1.1,7(1) — AySdx _ rifr — /'d'ÎJ-

d*' — da '

d-rîdv; — dqSdx _ d3q — rdix
dx> ~ dx 1

et à l'aide de ces formules on obtient la variatioo d'une expres-
sion quelconque, renfermant x, y ei leurs différentielles de
quelque ordre que ce soit.

360. Lorsqu'il s'agild'une formule intégrale /U,dans laquelle
U est, comme ci-dessus, une fonction de x, y et de leurs diffé-
rentielles, ona$/"U=/3U(358), et parle numéro précédent

/JU^/fMJtf-i-Nffd^ + PJd^-i-QJd^ + clc.)
-h J [mSy-\-nSdy ■+■ pSd'y -+- gJd'j" -t-etc.)

Cette expression n'est pas réduite à la forme la plus simple
qu'elle paisse avoir : il faut faire en sorte qu'il ne reste sous le
signe /aucun terme contenant à la fois les caractéristiques d
et S appliquées l'une sur l'autre; et c'est à quoi l'on parvient,
en transposant d'abord la caractéristique S après la caractéris-
tique d, et en intégrant ensuite par parties, comme on le voit
ci-dessous.

fQè&'x=fWSx=<ïtfix — fdQfrSx

= Qd>Sx~ dQASx-Y-Jd'<ÏA$x

= Qd>**~d.Qd*»+d'Q^-/d 1 Q**,

fMix —fHix,

jmdx=f^d»x =m* -fdfiîx,
fPSA>x = fPd'3x = PdSx —JAPASx

= PASx —APtx + fd'P3x,

elc.

etc.

Oiginzcd Dy Google

44a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

On aura pareillement
fmiy =Jm3y,

fn3dy = fnd3y = n 3y -fdnty, -
fp3d'yz=fpd , 3y=pd3y —dp3y + fd'piy,
fq3d'y=/qd'3y = qd'3y—dqd3y + d'q3y—/d'q3y,

etc.,

el en substituant, il viendra

fSV = (N — d P + d'Q — etc.) Sx +- ( P — d Q ■+■ etc.) di*
-t-(Q — etc.)d"Jj:-i-etc.
+ [n — dp + d'q — etc.)S_r— (-(/> — dq -+- etc.) dSy
+ [q — olc.)d'3y + c\c.
+ /(M — dN + d'P — d'Q + eic.)3x
+/[m — dn + d'p — d'q + etc.) Sy.

Ce résultat est composé de deux parties semblables, l'une
produite par la variation de x, et l'autre par celle de^*; et il
est aisé de voir qu'on l'étendrait à une fonction d'un nombre
quelconque de variables, en y ajoutant, pour chacune, des
termes pareils à ceux qu'a fournis la variable x ou la varia-

361. Lorsque l'expression f\i est mise sous la forme fVdx,
c'est-à-dire qu'il n'entre dans V que les variables x, y et les
coefficients différentiels de y, le calcul du développement de
la variation paraît un peu plus compliqué, mais il mène à des
conséquences remarquables. Il faut d'abord observer que
3f\dx = f3(Vdx)=JVd3x-hfdx3\,
f\à3x = \3x-fdV3x,
et que par conséquent

3fVdx = \Sx-i-f(dx3X -dVSx).

La quantité dx3V~ dVSx se forme en écrivant pour JV
et dV les valeurs rapportées dans le n° 3o9, et il vient
dxSV - dV3x = X[àx3y— dy3x) + V [dxSp — dpSx)
-f- Q { d x S q — d q 3x] -+- etc. ;

DE CALCUL DII-ÏÉliilïTlEl. ET DE CALCUL IXT1ÎUHAL.

puis mellam pdx pour dy, dans ce qui multiplie?), et la va-
leur de Sp ( 359), dans ce qui mulLiplie P, on trouvera
dxSy — dySx = da: (£ j— pSx),

dxSp — dpSx = dlj — pdSx — dpSx = d (3 y — pSx),
d'où il suit

d*. f -d f *«=d ( "*%-',>■'« ).

Si l'on change en /) et^> en 5, on obtiendra de même

d^,-d,jx=d( dJ, /'-> ,J ),

et ainsi de suite : faisant donc

Sy—pSx = u,

il en résultera

dxSy — dySx = adx, dxS p — dpix = du,
. darJ^ — dça> = d jj^» etc.,
et par conséquent

/{d^JV-dVffx) = /N u d^+/Pd u +/Qd^ + et C .C).

En intégrant par parties, dans le second membre de cette
équation, chacun des termes où il y a des différent La lions indi-
quées sur la quanlilé 011 aura

/ P d.=P.-J-|£..d.,

(*} L'Inlorpri talion f>ëonidlriqtie do lu quantité a Kl fnciloù Tain. Si nu lien

i>l,lii[ii.:uiLTit de 11 ta /1 (fig.Gi), U variation 'fi — St te nnipuwn du deux
parties mr et mp;et l'équolion diffère miel la delà courba CE étant d_>- = />dr,
il l'on fait = èz, il «ieodra ™ =pir, puis

m/t^r/t — wr = «> — j»<ïx= h.

Oigiiizad b/ Google

444 TRAITÉ ÉLEHEKTAMB'

cl, avec ces expressions, on obtiendra

t/Vdx = Vix-t-^ P — ;}§+elc. j.

J I d;r d.r d#

elc. I ud.r.

On étendrait sans peine ce résultat à un plus grand nombre
de variables dépendantes de x, en ajoutant pour chacune, des
termes pareils à ceux qu'on a trouvés en ne considérant nue/;
mais ce qu'il importe d'observer, c'est que si l'on remet pouru
sa valeur Sy—pSx, la partie affectée du signe / prend la
forme

et l'on voit que dans ce cas, le coefficient de 3y et celui de Sx
ont une relation qu'on n'aperçoit point dans le numéro précé-
dent : en désignant le premier de ces coefficients par le
second sera — ij>p.

302. Une remarque non moins digne d'attention, c'est que
si, dans le développement de S/V ( 360 J, on avait
M — d N + d'P - d' Q -+- etc. = o,
m — dn+d'p — d' q ■+■ etc. = o,

la variation /SU serait entièrement délivrée du signe /;mais
ces équations sont précisément celles qui doivent avoir lieu
pour que la fonction U soit intcgrable par elle-même. Cette
proposition, annoncée dans le n" 280, se prouve à priori, en
appliquant à la recherche de ces conditions la méthode même
des variations.

Eu eflcl, soit U la différentielle d'une fonction U, ; on aura
U = dU, ; et par conséquent

-;i"-s*i'

Axty

pdxix;

«J=*dU. = dJU„

Ngitlzed by Google

DB CALCUL DIFFÉnE.VTIËI. ET DE CALCL'I. IVTÉGUAI.. 445

d'où il suii que si U est une différentielle exacte, SU en doit
être pareillement une ; et par conséquent lorsqu'on a fait sor-
tir du signe /, dans l'expression de /SU, tous les termes qui
peuvent s'intégrer, il faut que l'ensemble de ceux qui restent
soit nul par lui-même, sans qu'on ait besoin de supposer au-
cune relation entre x, y, Sx, Sy.

Le développement Av. SJSAx, ne fournissant que la seule
condition

v <ip i ,dQ

tû 5ï dï™ = °'

induire que celle qui se rapporte il kl v;iriiilile .r tlcuciil inu-
tile quand la fonction II est ramenée à la forme Vd.r, V ne con-
tenant que .r, y et des ci >eflicicnls di flérculiels de y { ').

363. Ces remarques ne se bornent pas à l'expression de fU :
elles s'étendent également à celles de / /U, f f fU, etc., quel
que soit le nombre des signes d'intégration ; et en cherchant

équations de condition, qui doivent avoir lieu pour que bi
quantité U suit la différentielle exacte d'une fonction U, d'un
ordre immédiatement inférieur, d'une fonction U, d'un ordre
inférieur de deux unités, et ainsi de suite.
Eu effet, puisque

V, = /V„ V,=fV,

il viendra

et l'on obtiendra SU, en intégrant de nouveau SfU. Or, par le

(') Cette Ira information n'est pu toujours possible. Soient, par exemple,
les item fonctions

d-td'j-t- dj-d'-r cUd'j — djil'i ,

dr en pdl, dV en jdi' + pd'i (151).

d'r ne disparaît que dans la seeondc : on ne peut donc pas, dans !a pre-
mière, remanier y dépendant Immédiatement do x. [Vojvs le Traite
in-i°, lomo I, pojc 117.)

Oigiiizod by Google

446 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

n«3C0,

J/U = (N — dP + d'Q— eic.)*ar + (P — dQ-r-etc.)d**
+ (Q — etc. ) d' J^-i-eic.
+ (n— d/j + d'î — elc.)^r-+ tp — dç + eic.Jdij-

.-(-(? — etc.)d»»r+ etc - '
H-/(M — dN-r-ri'P—d'Q-r-etc.)**
+/ (m — dn -+- A'p — d'g -+- etc.) Jj" :

on aura donc

ai) I= /(N — dP + d'Q-etc.)5j-+/(P — dQ + ctc.) d-J*
-f-/(Q — etc.)d'^^-Heic.
+f{n — &p+ d'ç — e tc.)Sy-i-/{p — d$-|-ctc.)d3j-

+./'/( M — dN-J-d'P — d J Q + eic. ) Sx
~*~ff[ m — dn-J- à'p — il'i -hçlc.)3y;

et intégrant par parties les termes qui conttenneni encore des
différentielles de Sa; ou de iy, on trouvera

JU, = (P— adQ-l-3d>R— elc.)J*-r-(Q — ^dB+etcjdix
+ ( R — etc.) A , Sx etc.
-t- (/?-■- adç + 3d J r — etc.) Sy + (? — ad r+ etc.) do>
I -t- (r — etc.)d'Jj"+etc.

+ /(N — a dP + 3d'Q-4d 1 R + etc.)J^
+/(n — ad/» + 3d'ç — 4 d-V + etc.JSj
+ //(M — dN + d'P— d'Q + d-R — etc.)J*
•+-//{"> — dn-i-d'/> — d'ï -t-d'r — etc.JJj*.

Telle est la variation demandée, qui ne sera délivrée des deux
signes J que quand les équations

N — 2dP + 3d'Q — 4d , R + etc. = o,
n — 2d/H-3d'ç — $<l>r-t-clc. =o,
M — dN n-d'P — d'Q + d* R — etc. = o,
m — dn + d'p — d 3 q ■+■ à' r— eic. —n,

seront identiques; alors SU,, étant intégré une seule fois, par
rapport aux variations, donnera li„ ou l'intégrale seconde de la
proposée.

Lin 1

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL BT DE CALCUL INTÉGRAL. 44j

Soiti pour exemple,

V = xd'y+3dxdy+yd'x;

on a

SU=d>y»x-t-*AyAtx +.yA*tx+A*xty+aAxASy-hxA>3y,
«=d'y, N = ad.r, P=/,
m = d'x, n = ad#, p = x,
cl les équations de condition ci-dessus deviennent
o.dy — adr=o,
adj: — iAx = r>,
d'y — a d'y + d'y = o,
d*x~ld'x + d'x = o:

In fonction proposée est donc immédiatement intégrante. La
partie ylx + xSy, délivrée du signe /, donne, en l'intégrant
par rapport aux variations, 0,= xy + const.

La marche des calculs précédents montre que la première
intégration d'une fonction différentielle de m variables exige
m conditions, quand ces variables sont considérées comme in-
dépendantes, et que pour un nombre n d'intégrations succes-
sives il y aurait mn équations de condition. Il y en aurait seu-
lemenl/n— i pour la première intégration, etn(m — i)pour
toutes ensemble, si la fonction proposée était sous la forme
/•\dx", V ne contenant que des coefficients différentiels.

Des maximums et des minimums des formules intégrales
indéterminées.

364. On. peut appeler intégrales indéterminées les expres-
sions telles que Jyd x, J^dx' + dy 1 , lorsqu'on n'assigne au-
cune forme à la fonction y ; mais pour être susceptibles de
maximum ou de minimum; ces intégrales doivent être défi-
nies (229), puisque ce n'est qu'entre des limites données
qu'elles auront une valeur fixe, quand y sera déterminé en x.

Les principes exposés dans le n* 155, à l'égard des fonctions
dont la forme tsi donnée, s'appliquent aussi , avec le secours
du calcul des variations, aux intégrales indéterminées. En

4^3 TRAITÉ ÉLKÏtUYrAlRE

affct, d'après la marche tracée dans le a* 43, le résultat de la
substitution do

x ■+- Sx, y-\-Sy, ilx + Sii x, d y+ S<iy, etc.,
,à In place des quantités

x, y, Ax, ày, etc.,

dans une fonction quelconque u du ces quantités, pourra s'or-
donner suivant les puissances de

Sx. Sy, Sàx, Sày, etc.,

ci Su contiendra tous les termes de ce développement, dans
lesquels les variations ne montent qu'au premier degré. Ces
termes, changeant de sifrne en même temps que les variations,
doivent, suivant la théorie rappelée ci-dessus, s'anéantir lors
du maximum et du minimum, quels que soient Sx et Sy; il
faut donc que 3u=o. Lorsque u = /U, il vient*u = /SU[358):
au maximum cl au minimum de f(J, on a donc JôU = o, en
observant que c'est entre les limites assignées à /U que JSV
doit s'évanouir.

Il résulte aussi de la même théorie, que la condition 3u=o
n'entraîne pas nécessairement l'existence du maximum ou du
minimum, parce qu'il faut en outre que les termes où les va-
riations s'élèvent ou second degré, conservent toujours le
même si^ne; la discussion de ces dernières conditions est trop
compliquée cl trop délicate pour trouver place ici.

365. Le développement de fSM est composé de deux par-
ties bien distinrles (3G0), puisque l'une est délivrée du signe j
el L'autre y demeure soumise; on peut représenter la première
par

ai x + Ç3y 4- a, d Sx + p. d Sy + etc.,
el la seconde par

f\ySx + ^y\.

Ces parties ne sauraient être comparées entre elles, puisque la
dernière n'est point inté^rable, tant que Sx et S conservent
l'indépendance qu'exige la nature du problème; cl dans cet
état on ne peut la faire évanouir qu'en posant séparément les

Lin I t, Ci

DR CALCUL HIFI Êr.EMlEI, liT rtB CALCUL INTÉGRAL- (f/jg

équations

dont le nombre est généralement égal à celui des variations in-
dépendantes ; maïs lorsqu'il n'y a que deux variables, et que
U peut prendre la forme Xdx, le développement de la varia-
lion de fVà x, dans le n° 361, Tait voir que % — — cl 1 u <:
par conséquent y_Ax + tydjr= o, condition d'ailleurs faeile à
vérifier en particulier sur chaque exemple. U en résulte que
l'une des équations x — $ ~ ° ayant lieu, l'autre s'ensuit, et
qu'il n'y a, entre x et y, qu'une seule relation qu'on aurait
également obtenue en posant Sx = o, c'est-à-dire en ne fai-
sant point variera; mais celle hypothèse restreindrait beau-
coup, comme on va le voir, les propriétés de la partie délivrée
du signe /dans la variation.

Il suit de ce qui précède, que les équations indiquées dans
le n° 362 comme exprimant les conditions qui rendent iniégra-
bles les formules /V et f\dx, et qui sont alors identiques,
déterminent, quand elles cessent de l'être, la relation dej-àx,
par laquelle les intégrales proposées deviennent un maximum
ou un minimum. On reconnaît aisément que ces équations
peuvent s'élever jusqu'à l'ordre dont l'exposant est double de
celui de la plus liante différentielle contenue, soit dans U, soit
dansV.

366. Après l'évanouissement de la partie affectée du signe J,
it reste

aix + «>d5 x+ p,iiSy-h etc..

expression que, pour abréger, je représenterai par ? : on aura
donc fB\} = t + const., et la valeur complète de celte inté-
grale s'obtiendra en prenant la différence de celles que reçoit
la quantité y, à chacune des deux limites (229) ; en sorte que
si t' désigne celte valeur pour la première limite, et ?" pour la
dernière, on aura JS U = <f — y', d'où il résultera encore, pour
le maximum et le minimum de l'intégrale /U, la condition

mais il faut bien remarquer que celle équation ne contient
plus que des quantités qui se rapportent aux limites de l'intc-

6"< U. I. -9

45o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

grale /"U, et qu'alors les variations Sx, Sy, SAx, SAy, etc.,
peuvent être nulles, ou seulement liées entre elles par des re-
plions données, selon que ces limites seront fixes ou variables.
L'explication géométrique de ces diverses circonstances les
éclaire ira sufTisammcnl.

La première a lieu lorsque la courbe qui rend maximum ou
minimum l'intégrale proposée doit être prise entre toutes les
courbes assujetties à passer par deux points dont les coordon-
nées sont déterminées, ainsi que tout ce qui s'y rapporte, et
que l'intégrale doit commencer à l'un de ces points et finir à
l'autre. Si x' ciy J désignent les coordonnées du premier,*"
et y celles du second, ces quantités, appartenant à toutes les
courbes qu'on pourra considérer dans la question dont il
s'agit, n'éprouveront aucune variation : quand dune on chan-
gera x et y en x 1 et en y", puis en ^"et en y", il faudia faire

Sx' = o, i?=:a, Sx" = o, 3y" = o.
Alors les termes affectés de ces variations disparaîtront d'eux-
mêmes de l'équation f* — î' = °, qui sera par conséquent vé-
rifiée si elle ne contient que ces termes; et la courbe déduite
de l'équation z — o, résoudra complètement le problème,
pourvu qu'on l'assujettisse à passer parles deux points donnés;
ce qui s'effectuera, en général, par la détermination des con-
stantes arbitraires comprises dans l'intégrale de l'équation
citée, qui sera alors du second ordre.

Si l'équation ç" — y' = o contenait de plus les termes affectés
de iAx', SAy J , 3<lx", 3ày", et qu'outre la condition précé-
dente, les tangentes de la courbi: cherchée dussent avoir, aux
limites de l'intégrale, une inclinaison donnée, ces termes dis-
paraîtraient aussi d'eux-mêmes, parce que les diiïéreniielles
Ax et Ay n'éprouvant aucun cbaiigenienioux limites, les varia-
tions SAx', SA/, iAx", My" seraient zéro, cl feraient évanouir
les produits où elles entrent : mais pour assujettir la courbe
cherchée à cette condition, par rapport aux tangentes de ses
points extrêmes, il faudrait que son équation contint deux
constantes arbitraires de plus que dans le cas précédemment
examiné, et que par conséquent l'équation différentielle — o
fût du quatrième ordre. En voilà assez pour montrer comment

Oigiiizcd By Google

DB CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. ,\;.\

doil se vérifier l'équation — y' = o, lorsque les coordonnées
des limites cl leurs coeflu-ietiis différentiels ont des valeurs
fixes ; je passe aux cas où les limites doivent être regardées
comme variables.

3C7. On peut demander que la courbe douée du maximum
ou du minimum de la propriété proposé!; suit prise, non parmi
toutes les courbes qui passent par deux points donnes, mais
parmi toutes celles qui seraient menées entre deux courbes
données AVel BB' (Jig. 63), sans déterminer les points où ces
, dernières sont coupées par celle qu'on cherche. 11 est visible
qu'en passant alors de la courbe AB à une autre .VU'. les ex-
trémités A et B se meuvent; les abscisses qui répondent au
commencement et à la fin de l'intégrale, après qu'elle a varié,
ne sont plus celles qui convenaient à son état primitif, et les
ordonnées qui s'y rapportent mu changé suivant la loi établie
par les courbes AA' et BB'. Dans cette circonstance, les varia-
tions des ordonnées m celles de leurs abscisses doivent avoir
les mêmes relations que les différentielles dans les courbes
AA', BB', relations exprimées par les équations de- ces courbes,
qui sont données : il est donc nécessaire de les introduire dans
l'équation j" — / = o; et pour la vérifier ensuite, il faudra
égaler séparément à zéro les coefficients des variations qui res-
teront indépendantes.

A mesure que la fonction /U contiendra des différentielles
d'un ordre plus élevé, le nombre de termes de l'équation
î" — ï' = o augmentant, on pourra ajouter de nouvelles con-
ditions aux limites; supposer, par exemple, que la courbe AB
doit être prise parmi toutes celles qui touchent à la fois les
deux courbes AA' et BB'. Par cette dernière condition, non-
seulement les coordonnées a; et / doivent avoir, aux limites
de l'intégrale, les relations exprimées par les équations de ces
courbes, mais il en doit être de même de leurs différentielles:
ainsi les variations SAaf, iAf, SAx", SA?" ne sont plus indé-
pendantes, et doivent coïncider avec les différentielles secondes
relatives aux courbes proposées. On pourra, par ces relations,
éliminer quelques-unes des variations SAx', tdy, SAx', 3Ay'',
de l'équation y" — ? — o ; et ensuite on la vérifiera en égalant

,{5a TIUIÏ'IÏ KI.KMKSTAll'.K

séparément à zéro les coefficients des variations restantes,
lesquelles seront entièrement arbitraires.

Les équations qu'on se procurera par ce moyen, établissant
des relations entre les coordonnées des points extrêmes de la
courbe proposée, porteront nécessairement sur les constantes
introduites par l'intégration de l'équation x = Q < et serviront à
les déterminer.

368. On doit ensuite remarquer que puisqu'il y a des cir-
constances où il faut avoir égard aux variations des limites des
intégrales, si les coordonnées x',y, x",y de ces limites en-
traient dans l'expression de U, il serait nécessaire de les y
faire varier, aussi bien que x et/, et d'augmenter par consé-
quent des termes

VJ.r' +B' 0 y -t-À**** H-B'J>*
-h A; iiSx' -+■ H', d S / + A: dix" + B' d if 4- etc.

Or comme, les variations Sx', Sy, Sx", if sont indépendantes
des coordonnées indéterminées j' i l l y, elles |iasseraient hors
du signe J, tandis que les fonctions A', A", cte., A',, A", etc.,
y resteraient soumises: il faudrait donc introduire dans la pre-
mière partie de la variation fàV, les termes

ix-fk' +3/ fit- +ix"fhr + syfw

+ d$x'fk\ -hdSf/K +di*"/A" -r-dij'/ 8 ". + elC.,

en ayant soin de prendre ces intégrales entre les mêmes limites
que la proposée.

On ne volt pas tout de suite ce que deviendraient les termes
précédents, si l'une des limites était en même temps l'origine
des coordonnées. On évite cette difficulté, en faisant d'abord

*=X — x', y=Y—y,
et en concevant que l'origine des coordonnées X, Y soit fixe,
mais que les quantités x' et f soient variables ; il vient alors

Sx = SX — Sx?, 3y = SY—3y.
Quant aux différentielles dx, dy, etc., elles ne dépendent
point des quantités x' et y, et ne prennent par conséquent

DE CALCUL DIFFÏtlEXTlKL F/T DE CALCUL INTÉGRAL. 453

aucune variation : l'expression de SU devient donc seulement
M (3 X — ix 1 ) -t- NJdX -i- etc.
+ m[SY— J/) + n 5dY + etc.

Il est permis de faire ensuileV, / égaux à zéro, pourvu qu'on
laisse subsister les variations S ^,3 y, qui peuvent être considé-
rées comme le premier degré de grandeur de ces quantités;
alors X et Y redeviennent x et y, et le changement de l'ex-
pression de fSV se réduit aux termes — tx"/M — &yjm,
dont il faut prendre les intégrales dans les limites primitives.

3G9. Soit proposé de déterminer/ en x, pour que l'intégrale
f\Jtlx' + ûy", prise entre deux limites données, devienne un
minimum, ou, ce qui est la même chose, trouver la plus courte
ligne qu'on puisse mener entre deux points, sur un plan. On a

en faisant i/dx' -t- dy — ds, et en transposant la caractéris-
tique i. Intégrant ensuite par parties, on trouve

et la partie affectée du signe 'f donne (363)

'S-

d'où

Ce résultat, ainsi qu'on devait s'y attendre, désigne la ligne
droite,' et les constantes qu'il renferme serviront à remplir les
conditions relatives aux points entre lesquels elle doit être

La partie qui est délivrée du signe /, ou ^(360), ne conte-
nant que les variations des coordonnées des points extrêmes.

TRAITÉ ÉLKIIEKTAIRE

s'évanouit quand ils sont fixes, et les constantes C et C" se
déterminent alors en assujettissant la droite proposée à passer
par ces points.

Quand ils ne sont pas fixes, mais qu'ils doivent seulement
se trouver sur des courbes données, il faut que les quantités
x' et y, x" m y", qui sont inconnues, satisfassent, ainsi que
leurs variations, à l'équation ç" — t' = o, qui devient

et aux équations des courbes données, dont je représente»!
les différentielles par

ây = màx, Ay=nAx;
on aura donc (367),

Sf = m' Sx', »y Sx",

' A cause de l'indépendance des variations Sx" et Sx 1 , cette
équation se partage dans les suivantes :

Ax" + n"Ay* = o, ou ^1=;——,
d^ + m'd/ = o, ou g$=-^.

qui expriment que la droite proposée doit être normale à cha-
cune des courbes données.

D'après l'équation /=C'^+C", on a dr^C'darpour tous
les points de la droite, cl les équations précédentes devien-
nent en conséquence

mais la constante C dépend des coordonnées des points ex-
trêmes, puisque l'équation de la droite menée par ces points,
étant

>•-/=£=£<*-*■>.

OigitizM bjr Google

CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL. 455

donne

et substituant cette valeur de C, il en résulte les équations

dont la combinaison avec celles des courbes données déter-
mine les points par ou passe la plus courte distance de ces
courbes, et complète la solution du problème proposé.

On arriverait aux mêmes équations, en supposant d'abord
que les points extrêmes soient fixes, circonstance dans laquelle
on a, entre x et y, l'équation

En effet, par celle relation, l'intégrale _/Vu*' + (l :> a devient,
entre les abscisses x' et x",

et la seule application du calcul différentiel suffit pour déter-
miner le minimum de celte expression, en ayant égard à la
dépendance qu'établissent entre x 1 el /, x' ùiy, les équa-
tions des courbes données.

C'est ainsi qu'on pouvait achever, sans le secours de l'équa-
tion <f' — f' — o, que les méthodes de Bernoulli et d'Euler ne
donnaient pas, la solution des problèmes semblables au précè-
dent, toutes les fois que l'on savait obtenir l'intégrale propo-
sée ; mais en considérant que celle intégrale est une fonction
implicite des quantités qui se rapportent à ses limites, M. Pois-
son, au moyen de la différentialion sous le signe /(281),a
cherché immédiatement, par rapport à ces quantités, les con-
ditions du maximum absolu de l'intégrale proposée, et est
parvenu à l'équation ¥ "— <p' = o,- telle qu'elle résulte de la
méthode des variations {*).

(') foj-fi le Traite lo-4«, lomo 11, pp B e 'M

[*•_*•) y/ h- =vV-*'i , -HJ J -r')'ï

DignizM bf Google

456 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

370. Le problème du n" précédent étant transporté dans l'es-
pace, conduit à déterminer z et y en fonctions de x, dans l'ex-
pression / i/dx'+d^+di 1 . En faisant Vd^+dj^+dT'=dï,
il vient

Ji jAx> + Ay< + Az- = J a £dsx+j'^ds r +p^àiz
Ax , dv, Az . CI.Ax. ,Ar , ,dï. \

La partie affectée du signe f fournil les trois équations

d^ = o, d£ = „, dji = .,
ds d* d*

dont toutes les combinaisons deux à deux s'accordent à donner

ei montrent que la ligne cherchée est droite.

Si cette droite doit être menée entre un point donné dans
l'espace etunesurface courbe dont l'équation différentielle soit

dz = pdx + qAy,
il faudra qu'à la dernière limite. Ja" = p" Sx" ■+- q" if. La pre-
mière étant fixe, rendra = o, et la valeur de 3 z" changera
f° = »en

{d x" + p» d z" ) 3 x" -t- ( Af -+- q" A z" ) 3f = o ;

égalant à zéro les coefficients des variations indépendantes, il
viendra

dx" -hp"Az"=o, d/" -t-q"dz" = o,

d'où l'on verra, par le n° 150, que la droite cherchée est nor-
male à In surface donnée.

Si cette plus courte ligne doit être tout entière sur une sur-
face courbe donnée, il faudra que les variations Sx, 3y, Sz sous
le signe /, satisfassent à l'équation différentielle de celle sur-
face, que je représenterai par As — pd x qAy : on fera
donc

Sz=pSx->rq8y

Oigiiized b/ Google

DE CALCUL MFFÉREÏTIËL ET DE CALCUL I5TÉGKAL. .\";~

il.uis /SU, qui deviendra, par cette substitution,

De la partie affectée du signe on lire les .équations
,dr . dz .dr . dz

dont une seule suffit (361], conjointement avec celle de la
surface donnée, pour déterminer la nature de la ligne la plus
courir iiu'ori puisse mener sur roue surface entre deux de ses
pointa.

En supposant que cette ligne doive cire menée entre un
point li\r iri une courbe prNc sur l.i un'iiic surface. On aura
d'abord tf =o; et dési-nutit par Ay — «i|r l'équuliiin diffé-
rentielle de la priijerlion sur le plan des xy, de la couibe
donnée, il viendra iy""— n"3x"\ puis l'équation î " = o,\r
changeant en

dx* -i- p'&z" •+■ [dy" -+■ $"d*") n." = o,

exprimera que- les deux courbes dont il s'agit se coupent à
angle droit.

37). Je vais encore chercher la relation de x à y, propre à

rendre minimum l'expression / ^ ■ ■ dans laquelle M'

considérerai Y comme une fonction des coordonnées el) J ,
xf et 7", relatives aux limites (*).

Pour résoudre la question dans toute sa généralité, il faut
faire varier V, aussi bien que y (368). Soient

i/*(y — Y) = u, \jdx> + dy' = ds;

il viendra

( " ) Ce problème est celui do la brachislochrono, conrbo lu long do laquelle
un corps deicend dans le moins do temps possible, d'un point k nu notre.

.fÛS THA(TK EL LU EXT A IRE

On lire des termes, où 3x ei 5/ sont affectés du signe /, les
équations

uAs W . (idi

la première, qui esi la plus simple, donne

Ce résultat indique une cycloîde (114); car si l'on y I
y— Y = z, on en déduira

dajâ gVjg ^ d_a

' Lorsque JY=o, la quantité ? donne," pour les limites, les
équations '.

Ax e Sx" + àfSf = o, àx-èx' + =o,

d'après lesquelles on reconnaîtra, comme dans le n* 369, que,
si la courbe cherchée est menée entre deux autres, elle doit
les rencontrer à angle droit.

Quand SY n'est pas nul, il faut calculer la valeur de J"~^ >
entre les limites de l'intégrale proposée; or, l'équation

fournie par le coefficient de Sy sous le signe /, donne

y jj — d r { çonst ■

et en observant que S Y, ne dépendant'poihl des variables in-
déterminées x et y, ne doit pus changer d'une limite à. l'autre, .

DigiiizM 0/ Google

DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DE CALCUL lYTÉGIlAX.

l'équation y" — •/ — o, devient

d/ d*" d/
h ÏÏT7 JV - i7d7 ,x ~ ro-

si l'on prend seulement V = f, d'où il suli SY = 5/, on
aura, en réduisant et séparant les variations relatives à chaque

d.r" , . d>" , „ Ax< ,_. dr"

uW^ + OT*' =°' ro w+ 7J7

puis faisant, comme dans le n° 369,

Sf = n"Sx", i/ = m'lx',
cl se rappelant que ~^ = C, les équations ci-dessus prendront
la forme

c + ys7"" = °' c+ l?3?'"'=°-

d'après laquelle n" = m'. Ce résultai fait voir qu'aux points où
la courbe cherchée rencontre les courbes données, celles-ci
doivent avoir leurs tangentes parallèles. De plus, l'équation
relaliveala dernière limite, revenant à

dx"Sx" + àfSf = 0 ,
montre encore que la courbe cherchée doit couper à angle
droit la seconde courbe donnée.

372. Les problèmes précédents se rapportent à des maxi-
mums ou à des minimunu absolus; en voici un où il s'agit de
maximum» c( de minimums relatifs : Parmi toutes tes relations
que peuvent avoir entre elles les variables x, y et qui donnent
une même valeur à l'intégrale indéterminée fU,, prise depuis
. x = x' jusqu'à x = x", trouver celle qui rend la formule JU un
maximum ou un minimum, dans les mêmes circonstances. Ce
problème se résout en égalant à zéro la variation de h fonc-
tion fU + a JV„ a étant un coefficient constant indéterminé.
Ce n'est pas ici le lieu de démontrer en détail cette règle; on
conçoit d'ailleurs que si la fonction ci-dessus est un maximum
ou un minimum, el que l'on fasse /U, = A, l'intégrale /Uaura
toujours la plus grande ou la plus petite des valeurs qu'elle

46<> TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE CALCUL DIFFÉRENTIEL , ETC.

pourrait prendre dans celte hypothèse (*). Le coefficient indé-
terminé a sert à remplir la cendilion /U, == A.

Si, par exemple, on demandait la courbe qui, sous un péri-
mètre donné, renferme le plus grand au h> plus petit espace,
on aurait

/U + a/U^/jjd^ + flVd^+dj-j;
en faisant l Jdx 7 + Ay = ûs, la partie de la variation affectée du
signe J serait

-/{(<r+<0 .d£).r|.

et donnerait les équations

dj--(-ad~ = o, Ax — ad^j=o,

don tune seule suffit pour déterminer la courbe cherchée (365);
mais le calcul eslplus simple lorsqu'on les emploie toutes deux.
Leurs intégrales

étant mises sous la forme

ensuite élevées au carré, puis ajoutées membre à membre,
conduisent à

ce qui désigne un cercle dont le rayon est a.

Ce rayon se détermine d'après la valeur assignée au péri-
mètre / v'd** -i-dj J ; les constantes C ci C peuvent servir à
faire passer le cercle par des limites fixes et données. Il «si
doué du maximum d'aire, lorsqu'il tourne sa concavité v^re
l'axe des abscisses, et du minimum, si le contraire a l.eu. Tel
est le cas le plus simple du problème des isopérimètres, ainsi
nommé parce que l'on n'y considéra d'abord que des .uurl *
de même périmètre.

(*) Vv« lo Traité io-fo K»»° », P=B« Boî.

FIN DU FBEMIEH VOLVXB.

2

OigilizM by Google

ùitad rfi/feronlicl H M-

f,4

LIBRAIRIE DE HLVLLET-BACHELIER,

Quai des Grands-Angusiini, 55.

E4BINET, Membre de l'Institut [Académie des Sciences), et HOUSEL, Pro-
fesseur de Malhèmaliques. — Calculs pratiques appliqués aux sciences
d'observation. In-8 avec ;î ligures dans le le\le; 1837 6 fr

BARRE5W1L st DAVANNE. — Chimie photographique , contenant (ei
éléments île Lliimie u\|ilu|ucs par de- . ■ _v ■ [ 1 1 5 1 1 . ■ ~ empruntés a la Phologra
jiliii': les pruce<les 'le l'ImlniT.ipliii' >'ir .'lace 1 ei.ll.nliou humide, sec 01
albuminé], sur papiers. , sur plii.pn la manière de prc|iarcr soi-même. ,
d'essayer, d'employer tous les roaruTs el d'utiliser les résidus, etc.;
3" édition, onliercm'ciil retondue t;t urnéc de <i ligures dans le teite. In-8

1SG1 7 fr, 5o c

BERTHELOT (Marcellin), Professeur de Chimie urgam'rjue à l'École de
Pharmacie. — Chimie organique fondée sur la SynthâsD. 1 Torts vol.

in-8 (t5an pages) tirés sur grand raisin; rB6o 30 fr.

BILLET (F.), Prolisseur rie i'hv^iipie à In l'acuité des Sciences de Dijon.
— Traité d'Optique physique, a forts volumes in-8 avec ij planche*

composées de 337 figures i5 *~

BRESSON (C). — Traité élémentaire de Mécanique appliquée s
sciences physiques et aux arts. (Mécanique des corps solides.) ln-i

et Allas de 18 planches doubles: 184-1 10 fr.

Les principes de la Mécanique appliquer aux sciences physiques sont
démontrés dans cet uni ra^e aiec les ne' 1 lin nies les plus élémentaires dos
diverses branches de l'anali se mntliéiiialique, et les relies qui s'en dédui-
sent sont éclairrits par des j| >\ il i cations numériques à un grand nombre
d'exemples.

BRIOSCHI (F.), Professeur de Mntliomaliques appliquées à l'Université de

Pavie. — Théorie des Déterminants et leurs principales applications;

traduit de l'italien par M, Edi.itar-.l L'^mbeseure, l'r.hf. ,:r île Malhé-ma-

tiques. In-8; 18» S fr.

BRIOT, Professeur 1I0 M.uhcma tiques au Lveée Su -Louis, Maître de
conférences i l'tà'ulu Normale supérieure, »l BOTJQi .T 'Professeur de
Mathématiques spéciales ,111 l.nv l.Niiis-lo-1 iranil . tir .'lleur a l'École
Polytechnique, — Théorie des' Fonctions doublement périodiques et,
en particulier, des Fonctions elliptiques, ln-8 avec ligures dai '

CHASLES, Membre de l'Institut. — Les trois livres de Forismes d'Eu-
clîde, rétablis peur la première fois, d'après la Notice et les Lemmes
de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme
des énoncés do ces propositions. ln-H , avec Ftg, dans le texte; i" 11 -

CHOQUET, Docteur es Sciences, Professeur de Mathématiques. - Traité
d'Algèbre, ln-8 ; i850. 1 LiMrotlucmii de rei Ouvrage dam Ici Ecole'
i,i:Uk<iiw~ n( i::iJon.ri iiar dreisfm du Minhlrr île { Inylrurliuil puUitp
et ttc* Cultes en ilale du 3o juillet 186c) 7 fr. 5oi

DOHAMEL, Membre de l'Institut. — Eléments dn Calcul infinitésimal,
a vol. in-a, pl.; a* édition; 1860-1861 1a fr.

SERRET (J.-A.), Membre île l'iuslilut, examinateur d admission à l'École
Polytechnique. - Cours d'Algèbre supérieure, prufe--é a la Faculté des
Sciences de Paris; a" éditiuu. renie cl augmentée; fort vol. in-8,

planches •• 1

3T0RM, Membre de l'Institut 1 Académie îles Science* ). — Cours d'.
Ivse do l'Ecole Polytechnique, jml'Ué, d'après- le vœu de l'nu 1
par M. F- l'nmhrl, lte|-'lileui a l'Kcule IVlMerlmapie. a vol. in-8
figure* da ns le texte; i85 7 1

PARIS. — IMPRIMERIE DE MA [,I ,ET-B A CH ELI E R ,